{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n5\nAC\nBC\n\n\noraz wysokość\n2\nCD \nPodstawa AB tego trójkąta ma długość\nA. 6\nB. 2 21\nC. 2 29\nD. 14\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość A. 6, B. 2pierwiastki z 21, C. 2pierwiastki z 29, D. 14","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[(x-2)^2+(y-1)^2 = 9\\]\n\n## Sposób 1 - odczyt ze środka i promienia\n\nZ opisu rysunku wiemy, że środek okręgu to \\(O = (2, 1)\\), a promień \\(r = 3\\).\n\nPodstawiamy do wzoru kanonicznego okręgu:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\ngdzie \\((a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień. Mamy \\(a = 2\\), \\(b = 1\\), \\(r = 3\\), więc:\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2\\]\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nWiemy, że okrąg przechodzi przez punkt \\((5, 1)\\) (punkt leżący na okręgu po prawej stronie).\n\nPodstawiamy \\(x = 5\\), \\(y = 1\\) do odpowiedzi A:\n\n\\[(5-2)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z prawą stroną równania. Odpowiedź A jest poprawna.\n\nSprawdźmy jeszcze punkt \\((2, 4)\\):\n\n\\[(2-2)^2 + (4-1)^2 = 0 + 3^2 = 9 \\checkmark\\]\n\nOba punkty leżą na okręgu - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, \\(r\\) to promień. To właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Wzięto \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(r^2 = 3^2 = 9\\) - pomylono promień z jego kwadratem |\n| C | Zamieniono znaki: napisano \\((x+2)^2\\) zamiast \\((x-2)^2\\) - środek wyglądałby jak \\((-2, -1)\\), nie \\((2,1)\\) |\n| D | Podwójny błąd: złe znaki przy środku **i** \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi **kwadrat** promienia. Jeśli \\(r = 3\\), to \\(r^2 = 9\\), nie \\(3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki przy środku są odwrócone - środek \\((2, 1)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 1)\\), a nie \\((x+2)\\). Łatwo tu pomylić się o znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze odczytuj środek i promień bezpośrednio z rysunku - nie zgaduj. Tu rysunek jednoznacznie wskazuje \\(O = (2, 1)\\) i \\(r = 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczytanie środka i promienia z rysunku\nZ rysunku: środek okręgu \\(O = (2, 1)\\), promień \\(r = 3\\) (okręg przecina oś \\(x\\) w \\(-1\\) i \\(5\\), a oś \\(y\\) w \\(-2\\) i \\(4\\) tj. rozpiętość w poziomie od \\(2-3=-1\\) do \\(2+3=5\\)).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\nOkrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.\\]\nPodstawiamy \\(a=2, b=1, r=3\\):\n\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3}\\) (za mały).\n- **C.** Zły znak współrzędnych środka (wskazywałoby środek \\((-2, -1)\\)).\n- **D.** Oba błędy naraz.\n\n**Pamiętaj:** równanie okręgu \\((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\\) - prawa strona to **kwadrat** promienia.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są
5
AC
BC


oraz wysokość
2
CD 
Podstawa AB tego trójkąta ma długość
A. 6
B. 2 21
C. 2 29
D. 14

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość A. 6, B. 2pierwiastki z 21, C. 2pierwiastki z 29, D. 14

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Znalezienie związków miarowych
w figurach płaskich. Zastosowanie
twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\[(x-2)^2+(y-1)^2 = 9\\]

\n

Sposób 1 - odczyt ze środka i promienia

\n

Z opisu rysunku wiemy, że środek okręgu to \\(O = (2, 1)\\), a promień \\(r = 3\\).

\n

Podstawiamy do wzoru kanonicznego okręgu:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]

\n

gdzie \\((a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień. Mamy \\(a = 2\\), \\(b = 1\\), \\(r = 3\\), więc:

\n

\\[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2\\]

\n

\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu

\n

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt \\((5, 1)\\) (punkt leżący na okręgu po prawej stronie).

\n

Podstawiamy \\(x = 5\\), \\(y = 1\\) do odpowiedzi A:

\n

\\[(5-2)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się z prawą stroną równania. Odpowiedź A jest poprawna.

\n

Sprawdźmy jeszcze punkt \\((2, 4)\\):

\n

\\[(2-2)^2 + (4-1)^2 = 0 + 3^2 = 9 \\checkmark\\]

\n

Oba punkty leżą na okręgu - wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu w postaci kanonicznej:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]
gdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, \\(r\\) to promień. To właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Wzięto \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(r^2 = 3^2 = 9\\) - pomylono promień z jego kwadratem |
| C | Zamieniono znaki: napisano \\((x+2)^2\\) zamiast \\((x-2)^2\\) - środek wyglądałby jak \\((-2, -1)\\), nie \\((2,1)\\) |
| D | Podwójny błąd: złe znaki przy środku i \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(9\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi kwadrat promienia. Jeśli \\(r = 3\\), to \\(r^2 = 9\\), nie \\(3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Znaki przy środku są odwrócone - środek \\((2, 1)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 1)\\), a nie \\((x+2)\\). Łatwo tu pomylić się o znak.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze odczytuj środek i promień bezpośrednio z rysunku - nie zgaduj. Tu rysunek jednoznacznie wskazuje \\(O = (2, 1)\\) i \\(r = 3\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Odczytanie środka i promienia z rysunku
\n

Z rysunku: środek okręgu \\(O = (2, 1)\\), promień \\(r = 3\\) (okręg przecina oś \\(x\\) w \\(-1\\) i \\(5\\), a oś \\(y\\) w \\(-2\\) i \\(4\\) tj. rozpiętość w poziomie od \\(2-3=-1\\) do \\(2+3=5\\)).

\n
Sposób 2 - Wzór ogólny
\n

Okrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):
\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.\\]
Podstawiamy \\(a=2, b=1, r=3\\):
\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: równanie okręgu \\((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\\) - prawa strona to kwadrat promienia.

"}]}