{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest\nrówny\nA. 16 6\nB. 14 6\nC. 12\n4 6\n\nD. 12\n2 6\n\nW trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy A. 16pierwiastków z 6, B. 14pierwiastków z 6, C. 12+4pierwiastki z 6, D. 12+2pierwiastki z 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa (II.7.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\n\nChcemy odjąć dwa ułamki o **różnych mianownikach**: \\((x-2)\\) i \\((x+3)\\).\n\n**Krok 1.** Wspólny mianownik to iloczyn obu mianowników:\n\\[(x-2)(x+3)\\]\n\n**Krok 2.** Rozszerzamy każdy ułamek do wspólnego mianownika:\n\\[\\frac{3x+1}{x-2} - \\frac{2x-1}{x+3} = \\frac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy liczniki:\n\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3\\]\n\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy liczniki (uwaga na nawias przy odejmowaniu!):\n\\[\\frac{3x^2 + 10x + 3 - (2x^2 - 5x + 2)}{(x-2)(x+3)}\\]\n\\[= \\frac{3x^2 + 10x + 3 - 2x^2 + 5x - 2}{(x-2)(x+3)}\\]\n\\[= \\frac{x^2 + 15x + 1}{(x-2)(x+3)}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\) - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy dla \\(x = 1\\) (wygodna liczba, \\(x \\neq 2\\) i \\(x \\neq -3\\)):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{3\\cdot1+1}{1-2} - \\frac{2\\cdot1-1}{1+3} = \\frac{4}{-1} - \\frac{1}{4} = -4 - \\frac{1}{4} = -\\frac{17}{4}\\]\n\n**Odpowiedź A** dla \\(x=1\\):\n\\[\\frac{1^2 + 15\\cdot1 + 1}{(1-2)(1+3)} = \\frac{17}{(-1)(4)} = \\frac{17}{-4} = -\\frac{17}{4}\\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - odpowiedź A jest poprawna.\n\nDla pewności sprawdzamy jeszcze odpowiedź B dla \\(x=1\\):\n\\[\\frac{1+2}{(1-2)(1+3)} = \\frac{3}{-4} = -\\frac{3}{4} \\neq -\\frac{17}{4}\\]\nB odpada - potwierdzamy, że tylko A jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działań na ułamkach algebraicznych (sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz wzoru:\n\\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\\]\nczyli zwykłe mnożenie dwumianów (technika \"każdy z każdym\").\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Odjęto same liczniki bez rozwijania: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), a mianownik zostawiono jako \\((x-2)(x+3)\\). Zapominamy, że po rozszerzeniu do wspólnego mianownika liczniki nabierają dodatkowych czynników |\n| **C** | Trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do \\(x\\) - najpewniej błąd rachunkowy przy rozwijaniu nawiasów lub mylne uproszczenie wyrażenia \\(x+2\\) do \\(x\\) |\n| **D** | **Klasyczny błąd**: odjęto mianowniki jak gdyby były osobnymi liczbami: \\((x-2)-(x+3) = -5\\) i liczniki: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), co daje \\(\\frac{x+2}{-5}\\). Ułamków **NIE** odejmujemy \"licznik minus licznik, mianownik minus mianownik\"! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu licznika trzeba uważać na znak - \\(-(2x^2 - 5x + 2)\\) zmienia znaki WSZYSTKICH składników: \\(-2x^2 + 5x - 2\\). Pominięcie tego jest najczęstszym błędem w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamków nie odejmujemy przez odjęcie mianowników - to błąd B i D. Jedyna poprawna metoda to **wspólny mianownik**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uproszczeniu sprawdź, czy licznik \\(x^2 + 15x + 1\\) da się rozłożyć i skrócić z mianownikiem - tu się nie da (wyróżnik \\(\\Delta = 225 - 4 = 221\\) nie jest kwadratem), więc wynik jest ostateczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wspólny mianownik\nWspólny mianownik: \\((x-2)(x+3)\\). Sprowadzamy:\n\\[\\dfrac{3x+1}{x-2} = \\dfrac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)},\\qquad \\dfrac{2x-1}{x+3} = \\dfrac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\\]\n\n**Liczniki:**\n\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3.\\]\n\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2.\\]\n\n**Różnica liczników:**\n\\[3x^2+10x+3 - (2x^2-5x+2) = 3x^2+10x+3 - 2x^2+5x-2 = x^2+15x+1.\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem \\(x=0\\)\nL \\(= \\dfrac{1}{-2} - \\dfrac{-1}{3} = -\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{1}{3} = -\\tfrac{1}{6}\\).\nP (odp. A): \\(\\dfrac{1}{(-2)\\cdot 3} = -\\tfrac{1}{6}\\) ✓\nP (odp. B): \\(\\dfrac{2}{-6} = -\\tfrac{1}{3}\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C.** Zgubiono kwadratowe wyrazy podczas odejmowania liczników.\n- **D.** Nie uwzględniono iloczynu mianowników.\n\n**Pamiętaj:** przy odejmowaniu ułamków zmieniaj znak drugiego licznika przy rozwijaniu: \\(\\tfrac{a}{p}-\\tfrac{b}{q} = \\tfrac{aq-bp}{pq}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest
równy
A. 16 6
B. 14 6
C. 12
4 6

D. 12
2 6

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy A. 16pierwiastków z 6, B. 14pierwiastków z 6, C. 12+4pierwiastki z 6, D. 12+2pierwiastki z 6

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Znalezienie związków miarowych
w figurach płaskich. Zastosowanie
twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\]

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika

\n

Chcemy odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach: \\((x-2)\\) i \\((x+3)\\).

\n

Krok 1. Wspólny mianownik to iloczyn obu mianowników:
\\[(x-2)(x+3)\\]

\n

Krok 2. Rozszerzamy każdy ułamek do wspólnego mianownika:
\\[\\frac{3x+1}{x-2} - \\frac{2x-1}{x+3} = \\frac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}\\]

\n

Krok 3. Rozwijamy liczniki:
\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3\\]
\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2\\]

\n

Krok 4. Odejmujemy liczniki (uwaga na nawias przy odejmowaniu!):
\\[\\frac{3x^2 + 10x + 3 - (2x^2 - 5x + 2)}{(x-2)(x+3)}\\]
\\[= \\frac{3x^2 + 10x + 3 - 2x^2 + 5x - 2}{(x-2)(x+3)}\\]
\\[= \\frac{x^2 + 15x + 1}{(x-2)(x+3)}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości

\n

Sprawdzamy dla \\(x = 1\\) (wygodna liczba, \\(x \\neq 2\\) i \\(x \\neq -3\\)):

\n

Wyrażenie wyjściowe:
\\[\\frac{3\\cdot1+1}{1-2} - \\frac{2\\cdot1-1}{1+3} = \\frac{4}{-1} - \\frac{1}{4} = -4 - \\frac{1}{4} = -\\frac{17}{4}\\]

\n

Odpowiedź A dla \\(x=1\\):
\\[\\frac{1^2 + 15\\cdot1 + 1}{(1-2)(1+3)} = \\frac{17}{(-1)(4)} = \\frac{17}{-4} = -\\frac{17}{4}\\checkmark\\]

\n

Wyniki się zgadzają - odpowiedź A jest poprawna.

\n

Dla pewności sprawdzamy jeszcze odpowiedź B dla \\(x=1\\):
\\[\\frac{1+2}{(1-2)(1+3)} = \\frac{3}{-4} = -\\frac{3}{4} \\neq -\\frac{17}{4}\\]
B odpada - potwierdzamy, że tylko A jest prawidłowa.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działań na ułamkach algebraicznych (sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz wzoru:
\\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\\]
czyli zwykłe mnożenie dwumianów (technika "każdy z każdym").

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Odjęto same liczniki bez rozwijania: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), a mianownik zostawiono jako \\((x-2)(x+3)\\). Zapominamy, że po rozszerzeniu do wspólnego mianownika liczniki nabierają dodatkowych czynników |
| C | Trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do \\(x\\) - najpewniej błąd rachunkowy przy rozwijaniu nawiasów lub mylne uproszczenie wyrażenia \\(x+2\\) do \\(x\\) |
| D | Klasyczny błąd: odjęto mianowniki jak gdyby były osobnymi liczbami: \\((x-2)-(x+3) = -5\\) i liczniki: \\((3x+1)-(2x-1) = x+2\\), co daje \\(\\frac{x+2}{-5}\\). Ułamków NIE odejmujemy "licznik minus licznik, mianownik minus mianownik"! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu licznika trzeba uważać na znak - \\(-(2x^2 - 5x + 2)\\) zmienia znaki WSZYSTKICH składników: \\(-2x^2 + 5x - 2\\). Pominięcie tego jest najczęstszym błędem w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Ułamków nie odejmujemy przez odjęcie mianowników - to błąd B i D. Jedyna poprawna metoda to wspólny mianownik.
\n
⚠️ Uwaga: Po uproszczeniu sprawdź, czy licznik \\(x^2 + 15x + 1\\) da się rozłożyć i skrócić z mianownikiem - tu się nie da (wyróżnik \\(\\Delta = 225 - 4 = 221\\) nie jest kwadratem), więc wynik jest ostateczny.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wspólny mianownik
\n

Wspólny mianownik: \\((x-2)(x+3)\\). Sprowadzamy:
\\[\\dfrac{3x+1}{x-2} = \\dfrac{(3x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)},\\qquad \\dfrac{2x-1}{x+3} = \\dfrac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\\]

\n

Liczniki:
\\[(3x+1)(x+3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3.\\]
\\[(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2.\\]

\n

Różnica liczników:
\\[3x^2+10x+3 - (2x^2-5x+2) = 3x^2+10x+3 - 2x^2+5x-2 = x^2+15x+1.\\]

\n

Wynik:
\\[\\dfrac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem \\(x=0\\)
\n

L \\(= \\dfrac{1}{-2} - \\dfrac{-1}{3} = -\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{1}{3} = -\\tfrac{1}{6}\\).
P (odp. A): \\(\\dfrac{1}{(-2)\\cdot 3} = -\\tfrac{1}{6}\\) ✓
P (odp. B): \\(\\dfrac{2}{-6} = -\\tfrac{1}{3}\\) ✗

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: przy odejmowaniu ułamków zmieniaj znak drugiego licznika przy rozwijaniu: \\(\\tfrac{a}{p}-\\tfrac{b}{q} = \\tfrac{aq-bp}{pq}\\).

"}]}