Zadanie 14. (1 pkt)
Odcinki AB i CD są równoległe i
5
AB
,
2
AC
,
7
CD
(zobacz rysunek). Długość
odcinka AE jest równa
A.
7
10
B. 14
5
C. 3
D. 5
Odcinki AB i CD są równoległe i |AB|=5, |AC|=2, |CD|=7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa A. 10/7, B. 14/5, C. 3, D. 5
Zadanie 14. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Posłużenie się własnościami figur
podobnych do obliczania długości
odcinków (I.7.b)
D
C
Z rysunku: \\(E\\) to wierzchołek trójkąta, \\(C\\) i \\(D\\) to wierzchołki podstawy, a \\(A\\) leży na boku \\(EC\\), \\(B\\) na boku \\(ED\\), przy czym \\(AB \\parallel CD\\).
\nSkoro \\(AB \\parallel CD\\), to z twierdzenia Talesa trójkąt \\(EAB\\) jest podobny do trójkąta \\(ECD\\):
\\[\\triangle EAB \\sim \\triangle ECD\\]
Współczynnik podobieństwa to stosunek odpowiadających boków:
\\[k = \\frac{|AB|}{|CD|} = \\frac{5}{7}\\]
Zatem stosunek każdej pary odpowiadających odcinków jest taki sam:
\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{5}{7}\\]
Wiemy, że:
\\[|CE| = |AE| + |AC| = |AE| + 2\\]
Podstawiamy do proporcji:
\\[\\frac{|AE|}{|AE| + 2} = \\frac{5}{7}\\]
Mnożymy krzyżowo:
\\[7 \\cdot |AE| = 5 \\cdot (|AE| + 2)\\]
\\[7|AE| = 5|AE| + 10\\]
\\[2|AE| = 10\\]
\\[\\boxed{|AE| = 5}\\]
Sprawdzamy wynik z drugiej strony.
\nJeśli \\(|AE| = 5\\), to:
\\[|CE| = |AE| + |AC| = 5 + 2 = 7\\]
Sprawdzamy, czy zachodzi podobieństwo:
\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{5}{7} = \\frac{|AB|}{|CD|} = \\frac{5}{7} \\quad \\checkmark\\]
Stosunek odpowiadających boków jest równy - podobieństwo trójkątów potwierdzone. Wynik \\(|AE| = 5\\) jest poprawny.
\nDział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:
\nJeśli prosta równoległa do podstawy trójkąta przecina jego boki (lub ich przedłużenia), to dzieli te boki proporcjonalnie:
\\[\\frac{|AE|}{|CE|} = \\frac{|BE|}{|DE|} = \\frac{|AB|}{|CD|}\\]
Użyliśmy tej proporcji wprost, aby wyznaczyć \\(|AE|\\) z równania \\(\\frac{|AE|}{|AE|+2} = \\frac{5}{7}\\).
\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(\\dfrac{10}{7}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} \\cdot |AC| = \\dfrac{5}{7} \\cdot 2\\) - mnoży stosunek przez \\(|AC|\\), zamiast ustawić proporcję z nieznaną \\(|AE|\\) |
| B | \\(\\dfrac{14}{5}\\) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\dfrac{|CD|}{|AB|} \\cdot |AC| = \\dfrac{7}{5} \\cdot 2\\) - myli, który trójkąt jest "większy" |
| C | \\(3\\) | Uczeń błędnie zakłada, że \\(|EC| = 5\\) (myląc \\(|EC|\\) z \\(|AB|\\)) i liczy \\(|AE| = 5 - 2 = 3\\) |
⚠️ Uwaga: Proporcja z twierdzenia Talesa dotyczy odcinków na bokach trójkąta (\\(|AE|\\) i \\(|CE|\\)), a nie samego odcinka \\(|AC|\\). Najczęstszy błąd to wstawienie \\(|AC| = 2\\) zamiast \\(|CE| = |AE| + 2\\) do proporcji.\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, który trójkąt jest mniejszy (tu \\(\\triangle EAB\\) z \\(|AB|=5\\) jest mniejszy niż \\(\\triangle ECD\\) z \\(|CD|=7\\)), żeby poprawnie napisać \\(\\frac{5}{7}\\), a nie \\(\\frac{7}{5}\\).\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(|AE| = 5 = |AB|\\) może wydawać się "podejrzany" - ale to zupełnie możliwe! Gdy \\(|AC| = 2\\) i stosunek wynosi \\(\\frac{5}{7}\\), trójkąt \\(EAB\\) jest akurat dokładnie kwadratem podobieństwa do \\(|CE| = 7\\).\n
Poprawna odpowiedź: D
\nNa rysunku odcinki \\(AB\\) i \\(CD\\) są równoległe. Wierzchołek \\(E\\) leży na przedłużeniu, a punkty \\(A, B\\) leżą na odcinkach \\(EC\\), \\(ED\\) (odpowiednio).
\nTrójkąty \\(EAB\\) i \\(ECD\\) są podobne (wspólny kąt przy \\(E\\) i \\(AB\\parallel CD\\)).
\nZ własności podobieństwa:
\\[\\dfrac{|AE|}{|CE|} = \\dfrac{|AB|}{|CD|}.\\]
Ponieważ \\(|CE| = |AE| + |AC| = |AE| + 2\\), otrzymujemy:
\\[\\dfrac{|AE|}{|AE|+2} = \\dfrac{5}{7}.\\]
\\[7|AE| = 5(|AE|+2)\\]
\\[7|AE| - 5|AE| = 10\\]
\\[2|AE| = 10\\]
\\[|AE| = 5.\\]
Proste równoległe \\(AB\\parallel CD\\) przecinane promieniami z \\(E\\) dają proporcje:
\\[\\dfrac{|EA|}{|EC|} = \\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{5}{7}.\\]
Oznaczając \\(|EA| = x\\), mamy \\(|EC| = x+2\\) (bo \\(|AC|=2\\)):
\\[\\dfrac{x}{x+2} = \\dfrac{5}{7} \\Rightarrow 7x = 5x+10 \\Rightarrow x = 5.\\]
Pamiętaj - twierdzenie Talesa: równoległe proste dają proporcjonalne odcinki.
"}]}