{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nPole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe\nA. 25\nB. 50\nC. 75\nD. 100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie związku między\npromieniem koła opisanego na kwadracie\ni długością jego boku (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(50\\)\n\n## Sposób 1 - przekątna kwadratu = średnica okręgu\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Kwadrat wpisany w okrąg ma swoje wierzchołki na okręgu. Przekątna kwadratu jest jednocześnie średnicą okręgu.\n\nPromień okręgu \\(r = 5\\), więc średnica (= przekątna kwadratu):\n\\[d = 2r = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\nOznaczmy bok kwadratu jako \\(a\\). Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, który tworzy połowa kwadratu:\n\\[a^2 + a^2 = d^2\\]\n\\[2a^2 = 10^2 = 100\\]\n\\[a^2 = 50\\]\n\nPole kwadratu to \\(P = a^2\\), więc:\n\\[\\boxed{P = 50}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór przez promień wprost\n\nPrzekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), skąd:\n\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}}\\]\n\nPole:\n\\[P = a^2 = \\left(\\frac{10}{\\sqrt{2}}\\right)^2 = \\frac{100}{2} = \\mathbf{50}\\]\n\nTen sam wynik - pole wynosi \\(50\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go, by wyznaczyć bok kwadratu z przekątnej (trójkąt prostokątny równoramienny z przyprostokątnymi \\(a, a\\) i przeciwprostokątną \\(d\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)** - koło, promień i średnica:\n\\[d = 2r\\]\nPrzekątna kwadratu wpisanego = średnica okręgu opisanego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(25\\) | Pomylono pole z \\(r^2 = 5^2 = 25\\) - to kwadrat promienia, nie pole kwadratu |\n| C - \\(75\\) | Wartość bez sensu geometrycznego; brak typowej drogi prowadzącej do tego wyniku |\n| D - \\(100\\) | Wzięto pole kwadratu o boku równym średnicy: \\(10^2 = 100\\) - ale bok kwadratu ≠ średnica, to przekątna jest równa średnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że **bok** kwadratu = promień (lub średnica). Pamiętaj: to **przekątna** kwadratu wpisanego w okrąg jest równa średnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać \\(a\\) - wystarczy znaleźć \\(a^2\\) (bo \\(P = a^2\\)). Z \\(2a^2 = 100\\) od razu odczytujesz \\(a^2 = 50\\) bez potrzeby liczenia pierwiastka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kwadratu **wpisanego** w okrąg (wierzchołki na okręgu) z kwadratem **opisanym** na okręgu (okrąg wewnątrz - boki styczne). W tym zadaniu chodzi o kwadrat wpisany.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu = średnica okręgu\nKwadrat wpisany w okrąg ma przekątną równą średnicy okręgu:\n\\[d = 2r = 2\\cdot 5 = 10.\\]\nPrzekątna kwadratu wyraża się przez bok jako \\(d = a\\sqrt{2}\\):\n\\[a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}.\\]\nPole:\n\\[P = a^2 = (5\\sqrt{2})^2 = 50.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór pole = \\(\\tfrac{d^2}{2}\\)\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\):\n\\[P = \\dfrac{d^2}{2} = \\dfrac{100}{2} = 50.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(25\\)** - pole kwadratu o boku \\(5\\) (pomylono promień z bokiem).\n- **C. \\(75\\)** - błędne obliczenie.\n- **D. \\(100\\)** - pole kwadratu o boku \\(10\\), czyli z \\(d=10\\) jako bokiem.\n\n**Pamiętaj:** kwadrat **wpisany w** okrąg → przekątna = \\(2r\\); kwadrat **opisany na** okręgu → bok = \\(2r\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie związku między
promieniem koła opisanego na kwadracie
i długością jego boku (II.7.c)
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(50\\)

\n

Sposób 1 - przekątna kwadratu = średnica okręgu

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Kwadrat wpisany w okrąg ma swoje wierzchołki na okręgu. Przekątna kwadratu jest jednocześnie średnicą okręgu.

\n

Promień okręgu \\(r = 5\\), więc średnica (= przekątna kwadratu):
\\[d = 2r = 2 \\cdot 5 = 10\\]

\n

Oznaczmy bok kwadratu jako \\(a\\). Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, który tworzy połowa kwadratu:
\\[a^2 + a^2 = d^2\\]
\\[2a^2 = 10^2 = 100\\]
\\[a^2 = 50\\]

\n

Pole kwadratu to \\(P = a^2\\), więc:
\\[\\boxed{P = 50}\\]

\n

Sposób 2 - wzór przez promień wprost

\n

Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), skąd:
\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Pole:
\\[P = a^2 = \\left(\\frac{10}{\\sqrt{2}}\\right)^2 = \\frac{100}{2} = \\mathbf{50}\\]

\n

Ten sam wynik - pole wynosi \\(50\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy go, by wyznaczyć bok kwadratu z przekątnej (trójkąt prostokątny równoramienny z przyprostokątnymi \\(a, a\\) i przeciwprostokątną \\(d\\)).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 18-19) - koło, promień i średnica:
\\[d = 2r\\]
Przekątna kwadratu wpisanego = średnica okręgu opisanego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(25\\) | Pomylono pole z \\(r^2 = 5^2 = 25\\) - to kwadrat promienia, nie pole kwadratu |
| C - \\(75\\) | Wartość bez sensu geometrycznego; brak typowej drogi prowadzącej do tego wyniku |
| D - \\(100\\) | Wzięto pole kwadratu o boku równym średnicy: \\(10^2 = 100\\) - ale bok kwadratu ≠ średnica, to przekątna jest równa średnicy |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to przyjęcie, że bok kwadratu = promień (lub średnica). Pamiętaj: to przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest równa średnicy.
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz wyznaczać \\(a\\) - wystarczy znaleźć \\(a^2\\) (bo \\(P = a^2\\)). Z \\(2a^2 = 100\\) od razu odczytujesz \\(a^2 = 50\\) bez potrzeby liczenia pierwiastka.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić kwadratu wpisanego w okrąg (wierzchołki na okręgu) z kwadratem opisanym na okręgu (okrąg wewnątrz - boki styczne). W tym zadaniu chodzi o kwadrat wpisany.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Przekątna kwadratu = średnica okręgu
\n

Kwadrat wpisany w okrąg ma przekątną równą średnicy okręgu:
\\[d = 2r = 2\\cdot 5 = 10.\\]
Przekątna kwadratu wyraża się przez bok jako \\(d = a\\sqrt{2}\\):
\\[a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}.\\]
Pole:
\\[P = a^2 = (5\\sqrt{2})^2 = 50.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór pole = \\(\\tfrac{d^2}{2}\\)
\n

Dla kwadratu o przekątnej \\(d\\):
\\[P = \\dfrac{d^2}{2} = \\dfrac{100}{2} = 50.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kwadrat wpisany w okrąg → przekątna = \\(2r\\); kwadrat opisany na okręgu → bok = \\(2r\\).

"}]}