{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta\nwpisanego ACD jest równa\nA. 90\nB. 60\nC. 45\nD. 30\nPunkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta A. 90 stopni, B. 60 stopni, C. 45 stopni, D. 30 stopni.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWykorzystanie związków między kątem\nwpisanym i środkowym do obliczenia\nmiary kąta (I.7.a)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(45°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\n\n**Ustalamy miary łuków.**\n\nPunkty \\(A, B, C, D\\) dzielą okrąg na 4 równe łuki, więc każdy z nich wynosi:\n\\[\\frac{360°}{4} = 90°\\]\n\nPrzyjmijmy kolejność punktów na okręgu: \\(A, B, C, D\\) (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie - wynik jest ten sam).\n\n**Wyznaczamy, jaki łuk subtenduje kąt \\(ACD\\).**\n\nKąt wpisany \\(ACD\\) ma wierzchołek w \\(C\\), a jego ramiona przechodzą przez \\(A\\) i \\(D\\).\n\nKąt wpisany oparty jest na cięciwie \\(AD\\) i subtenduje **łuk \\(AD\\) niezawierający punktu \\(C\\)**.\n\nŁuk \\(AD\\) niezawierający \\(C\\) (czyli droga „na skróty\" od \\(A\\) do \\(D\\), z pominięciem \\(B\\) i \\(C\\)):\n\\[\\text{łuk } AD = 90°\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\angle ACD = \\frac{1}{2} \\cdot 90° = \\boxed{45°}\\]\n\n## Sposób 2 - Własności kwadratu wpisanego w okrąg\n\nCztery punkty dzielące okrąg na równe łuki po \\(90°\\) tworzą **kwadrat wpisany w okrąg**.\n\nZatem \\(ABCD\\) jest kwadratem. Jego przekątna \\(AC\\) jest średnicą koła.\n\nRozważmy trójkąt \\(ACD\\):\n- \\(CD\\) - bok kwadratu\n- \\(AC\\) - przekątna kwadratu (= średnica)\n\nPrzekątna kwadratu tworzy kąt \\(45°\\) z bokiem (bo w kwadracie kąty są równe \\(90°\\), a przekątna dzieli każdy kąt na pół):\n\\[\\angle ACD = 45°\\]\n\nWynik zgodny - **\\(45°\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: kąt środkowy oparty na łuku \\(AD = 90°\\), więc kąt wpisany \\(= 45°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(90°\\) | Uczeń myli kąt środkowy (\\(90°\\)) z kątem wpisanym - bierze wartość bez dzielenia przez 2 |\n| B - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(360°\\) na **3** równe części (\\(120°\\)) i bierze połowę - błędna liczba punktów |\n| D - \\(30°\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60°\\), np. zakładając błędnie, że łuk \\(AD = 60°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany subtenduje łuk **po drugiej stronie** cięciwy niż wierzchołek kąta. Sprawdź zawsze, który łuk \\(AD\\) nie zawiera wierzchołka \\(C\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kąta środkowego (\\(90°\\)) z kątem wpisanym (\\(45°\\)) - to częsty błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkty są ustawione w kolejności \\(A, B, C, D\\), łuk \\(AD\\) „na skróty\" (bez \\(B, C\\)) wynosi \\(90°\\), nie \\(270°\\). Zawsze bierz łuk **niezawierający wierzchołka**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku\nOkrąg dzielony na \\(4\\) równe łuki daje łuki po \\(90^{\\circ}\\) każdy (pełny kąt \\(360^{\\circ}\\)).\n\nKąt wpisany \\(ACD\\) oparty jest na łuku \\(AD\\), który jest jednym z tych czterech łuków, więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę \\(90^{\\circ}\\).\n\nKąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[|\\angle ACD| = \\dfrac{90^{\\circ}}{2} = 45^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza czworokąta wpisanego\nPunkty \\(A, B, C, D\\) tworzą kwadrat (dzielą okrąg na 4 równe łuki → wierzchołki kwadratu wpisanego). Przekątna kwadratu to średnica okręgu. Kąt \\(ACD\\) to kąt przy wierzchołku trójkąta \\(ACD\\), gdzie \\(AD\\) jest bokiem, a \\(AC\\) - przekątną kwadratu (czyli średnicą).\n\nKąt między bokiem i przekątną kwadratu wynosi \\(45^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(90^{\\circ}\\)** - kąt środkowy, nie wpisany.\n- **B. \\(60^{\\circ}\\)** - podział okręgu na 6 części, nie 4.\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - podział na 12 lub zły podział.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany to połowa kąta środkowego (oparte na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (1 pkt)
Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta
wpisanego ACD jest równa
A. 90
B. 60
C. 45
D. 30
Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta A. 90 stopni, B. 60 stopni, C. 45 stopni, D. 30 stopni.

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Wykorzystanie związków między kątem
wpisanym i środkowym do obliczenia
miary kąta (I.7.a)
C
B
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(45°\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym

\n

Ustalamy miary łuków.

\n

Punkty \\(A, B, C, D\\) dzielą okrąg na 4 równe łuki, więc każdy z nich wynosi:
\\[\\frac{360°}{4} = 90°\\]

\n

Przyjmijmy kolejność punktów na okręgu: \\(A, B, C, D\\) (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie - wynik jest ten sam).

\n

Wyznaczamy, jaki łuk subtenduje kąt \\(ACD\\).

\n

Kąt wpisany \\(ACD\\) ma wierzchołek w \\(C\\), a jego ramiona przechodzą przez \\(A\\) i \\(D\\).

\n

Kąt wpisany oparty jest na cięciwie \\(AD\\) i subtenduje łuk \\(AD\\) niezawierający punktu \\(C\\).

\n

Łuk \\(AD\\) niezawierający \\(C\\) (czyli droga „na skróty" od \\(A\\) do \\(D\\), z pominięciem \\(B\\) i \\(C\\)):
\\[\\text{łuk } AD = 90°\\]

\n

Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:

\n

Kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\angle ACD = \\frac{1}{2} \\cdot 90° = \\boxed{45°}\\]

\n

Sposób 2 - Własności kwadratu wpisanego w okrąg

\n

Cztery punkty dzielące okrąg na równe łuki po \\(90°\\) tworzą kwadrat wpisany w okrąg.

\n

Zatem \\(ABCD\\) jest kwadratem. Jego przekątna \\(AC\\) jest średnicą koła.

\n

Rozważmy trójkąt \\(ACD\\):

\n\n

Przekątna kwadratu tworzy kąt \\(45°\\) z bokiem (bo w kwadracie kąty są równe \\(90°\\), a przekątna dzieli każdy kąt na pół):
\\[\\angle ACD = 45°\\]

\n

Wynik zgodny - \\(45°\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1: kąt środkowy oparty na łuku \\(AD = 90°\\), więc kąt wpisany \\(= 45°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(90°\\) | Uczeń myli kąt środkowy (\\(90°\\)) z kątem wpisanym - bierze wartość bez dzielenia przez 2 |
| B - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(360°\\) na 3 równe części (\\(120°\\)) i bierze połowę - błędna liczba punktów |
| D - \\(30°\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60°\\), np. zakładając błędnie, że łuk \\(AD = 60°\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany subtenduje łuk po drugiej stronie cięciwy niż wierzchołek kąta. Sprawdź zawsze, który łuk \\(AD\\) nie zawiera wierzchołka \\(C\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić kąta środkowego (\\(90°\\)) z kątem wpisanym (\\(45°\\)) - to częsty błąd prowadzący do odpowiedzi A.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli punkty są ustawione w kolejności \\(A, B, C, D\\), łuk \\(AD\\) „na skróty" (bez \\(B, C\\)) wynosi \\(90°\\), nie \\(270°\\). Zawsze bierz łuk niezawierający wierzchołka.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku
\n

Okrąg dzielony na \\(4\\) równe łuki daje łuki po \\(90^{\\circ}\\) każdy (pełny kąt \\(360^{\\circ}\\)).

\n

Kąt wpisany \\(ACD\\) oparty jest na łuku \\(AD\\), który jest jednym z tych czterech łuków, więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę \\(90^{\\circ}\\).

\n

Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[|\\angle ACD| = \\dfrac{90^{\\circ}}{2} = 45^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Analiza czworokąta wpisanego
\n

Punkty \\(A, B, C, D\\) tworzą kwadrat (dzielą okrąg na 4 równe łuki → wierzchołki kwadratu wpisanego). Przekątna kwadratu to średnica okręgu. Kąt \\(ACD\\) to kąt przy wierzchołku trójkąta \\(ACD\\), gdzie \\(AD\\) jest bokiem, a \\(AC\\) - przekątną kwadratu (czyli średnicą).

\n

Kąt między bokiem i przekątną kwadratu wynosi \\(45^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kąt wpisany to połowa kąta środkowego (oparte na tym samym łuku).

"}]}