{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nMiary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20. Najmniejszy kąt tego\nczworokąta ma miarę\nA. 40\nB. 50\nC. 60\nD. 70\nMiary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20 stopni. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 70 stopni.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nObliczenie wyrazów ciągu\narytmetycznego (III.5.a)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania mianownika\n\nFunkcja \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x+a}\\) jest ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Jedynym problemem z dziedziną jest sytuacja, gdy **mianownik równa się zero** - wtedy funkcja nie jest określona.\n\n**Dziedzina to \\((-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\)**, czyli wszystkie liczby rzeczywiste **z wyjątkiem \\(x = 2\\)**.\n\nSkoro z dziedziny wyłączone jest dokładnie \\(x = 2\\), mianownik musi zerować się właśnie w tym punkcie:\n\n\\[2x + a = 0 \\quad \\text{dla } x = 2\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\n\\[2 \\cdot 2 + a = 0\\]\n\n\\[4 + a = 0\\]\n\n\\[\\boxed{a = -4}\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nZnamy wynik: \\(a = -4\\). Sprawdźmy, czy faktycznie daje żądaną dziedzinę.\n\nFunkcja przyjmuje postać:\n\n\\[f(x) = \\frac{x - 7}{2x - 4} = \\frac{x-7}{2(x-2)}\\]\n\nMianownik zeruje się, gdy:\n\n\\[2(x-2) = 0 \\implies x = 2\\]\n\nDziedzina funkcji to zatem \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{2\\} = (-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\) ✓\n\nZgadza się z treścią zadania - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja dziedziny funkcji wymiernej:\n\n> Funkcja \\(\\frac{P(x)}{Q(x)}\\) jest określona dla wszystkich \\(x\\), dla których \\(Q(x) \\neq 0\\).\n\nTo podstawowa własność z zakresu funkcji, niewymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(a = 2\\) | Uczeń wpisuje \\(a = x = 2\\) bez żadnych obliczeń - mechaniczne przepisanie wartości wyłączonej z dziedziny |\n| B - \\(a = -2\\) | Uczeń rozwiązuje \\(x + a = 0\\) zamiast \\(2x + a = 0\\) - pomija współczynnik 2 przy \\(x\\) |\n| C - \\(a = 4\\) | Uczeń poprawnie podstawia \\(x = 2\\), ale rozwiązuje równanie ze złym znakiem: \\(4 + a = 0 \\Rightarrow a = 4\\) zamiast \\(a = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt wyłączony z dziedziny (\\(x = 2\\)) to NIE jest wartość \\(a\\). Trzeba go podstawić do mianownika i rozwiązać równanie względem \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu łatwo zapomnieć o współczynniku przy \\(x\\) - tu mianownik to \\(2x + a\\), więc dla \\(x=2\\) dostajemy \\(4 + a\\), nie \\(2 + a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy licznik nie zeruje się w tym samym miejscu co mianownik - gdyby \\(x = 2\\) zerowało też licznik, mielibyśmy usuwalną nieciągłość i punkt \\(x=2\\) mógłby należeć do dziedziny po uproszczeniu. Tu \\(f(2) = \\frac{2-7}{\\ldots} = \\frac{-5}{\\ldots}\\) - licznik nie zeruje się, więc \\(x=2\\) rzeczywiście jest wykluczone z dziedziny.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek na dziedzinę\nDziedzina wyklucza \\(x = 2\\), więc mianownik \\(2x+a\\) zeruje się dla \\(x=2\\):\n\\[2\\cdot 2 + a = 0\\]\n\\[4 + a = 0\\]\n\\[a = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(a=-4\\): \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x-4}\\). Mianownik zeruje się w \\(x=2\\) ⇒ dziedzina: \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{2\\}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=2\\)** - \\(2x+2 = 0\\) dla \\(x=-1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-1\\}\\).\n- **B. \\(a=-2\\)** - \\(2x-2 = 0\\) dla \\(x=1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}\\).\n- **C. \\(a=4\\)** - \\(2x+4=0\\) dla \\(x=-2\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-2\\}\\).\n\n**Pamiętaj:** dziedzina funkcji wymiernej: \\(\\{x: \\text{mianownik}\\ne 0\\}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20. Najmniejszy kąt tego<br>czworokąta ma miarę<br>A. 40<br>B. 50<br>C. 60<br>D. 70<br>Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20 stopni. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 70 stopni.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Modelowanie matematyczne<br>Obliczenie wyrazów ciągu<br>arytmetycznego (III.5.a)<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek zerowania mianownika</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x+a}\\) jest ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Jedynym problemem z dziedziną jest sytuacja, gdy <strong>mianownik równa się zero</strong> - wtedy funkcja nie jest określona.</p>\n<p><strong>Dziedzina to \\((-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\)</strong>, czyli wszystkie liczby rzeczywiste <strong>z wyjątkiem \\(x = 2\\)</strong>.</p>\n<p>Skoro z dziedziny wyłączone jest dokładnie \\(x = 2\\), mianownik musi zerować się właśnie w tym punkcie:</p>\n<p>\\[2x + a = 0 \\quad \\text{dla } x = 2\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 2\\):</p>\n<p>\\[2 \\cdot 2 + a = 0\\]</p>\n<p>\\[4 + a = 0\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{a = -4}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Znamy wynik: \\(a = -4\\). Sprawdźmy, czy faktycznie daje żądaną dziedzinę.</p>\n<p>Funkcja przyjmuje postać:</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{x - 7}{2x - 4} = \\frac{x-7}{2(x-2)}\\]</p>\n<p>Mianownik zeruje się, gdy:</p>\n<p>\\[2(x-2) = 0 \\implies x = 2\\]</p>\n<p>Dziedzina funkcji to zatem \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{2\\} = (-\\infty, 2) \\cup (2, +\\infty)\\) ✓</p>\n<p>Zgadza się z treścią zadania - wynik jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu <strong>nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE</strong> - wystarczy definicja dziedziny funkcji wymiernej:</p>\n<blockquote>Funkcja \\(\\frac{P(x)}{Q(x)}\\) jest określona dla wszystkich \\(x\\), dla których \\(Q(x) \\neq 0\\).</blockquote>\n<p>To podstawowa własność z zakresu funkcji, niewymagająca karty wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\(a = 2\\) | Uczeń wpisuje \\(a = x = 2\\) bez żadnych obliczeń - mechaniczne przepisanie wartości wyłączonej z dziedziny |<br>| B - \\(a = -2\\) | Uczeń rozwiązuje \\(x + a = 0\\) zamiast \\(2x + a = 0\\) - pomija współczynnik 2 przy \\(x\\) |<br>| C - \\(a = 4\\) | Uczeń poprawnie podstawia \\(x = 2\\), ale rozwiązuje równanie ze złym znakiem: \\(4 + a = 0 \\Rightarrow a = 4\\) zamiast \\(a = -4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt wyłączony z dziedziny (\\(x = 2\\)) to NIE jest wartość \\(a\\). Trzeba go podstawić do mianownika i rozwiązać równanie względem \\(a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy podstawianiu łatwo zapomnieć o współczynniku przy \\(x\\) - tu mianownik to \\(2x + a\\), więc dla \\(x=2\\) dostajemy \\(4 + a\\), nie \\(2 + a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź zawsze, czy licznik nie zeruje się w tym samym miejscu co mianownik - gdyby \\(x = 2\\) zerowało też licznik, mielibyśmy usuwalną nieciągłość i punkt \\(x=2\\) mógłby należeć do dziedziny po uproszczeniu. Tu \\(f(2) = \\frac{2-7}{\\ldots} = \\frac{-5}{\\ldots}\\) - licznik nie zeruje się, więc \\(x=2\\) rzeczywiście jest wykluczone z dziedziny.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek na dziedzinę</h5>\n<p>Dziedzina wyklucza \\(x = 2\\), więc mianownik \\(2x+a\\) zeruje się dla \\(x=2\\):<br>\\[2\\cdot 2 + a = 0\\]<br>\\[4 + a = 0\\]<br>\\[a = -4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<p>Dla \\(a=-4\\): \\(f(x) = \\dfrac{x-7}{2x-4}\\). Mianownik zeruje się w \\(x=2\\) ⇒ dziedzina: \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{2\\}\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a=2\\)</strong> - \\(2x+2 = 0\\) dla \\(x=-1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-1\\}\\).</li><li><strong>B. \\(a=-2\\)</strong> - \\(2x-2 = 0\\) dla \\(x=1\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}\\).</li><li><strong>C. \\(a=4\\)</strong> - \\(2x+4=0\\) dla \\(x=-2\\); dziedzina \\(\\mathbb{R}\\setminus\\{-2\\}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dziedzina funkcji wymiernej: \\(\\{x: \\text{mianownik}\\ne 0\\}\\).</p>"}]}