{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDany jest ciąg \n\nna\nokreślony wzorem\n2\n2\n( 1)\n\n\n\nn\nn\nn\na\nn\ndla\n1\n\nn\n. Wówczas wyraz\n5a tego\nciągu jest równy\nA.\n3\n25\n\nB.\n3\n25\nC.\n7\n25\n\nD.\n7\n25\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = (-1)^n * {2-n / n^2} dla n >= 1. Wówczas wyraz a_5 tego ciągu jest równy A. -3/25, B. 3/25, C. -7/25, D. 7/25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nObliczenie wyrazu ciągu określonego\nwzorem ogólnym (I.5.a)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - analiza warunków na \\(a\\) i \\(b\\)\n\nMamy funkcję \\(f(x) = ax + b\\). Warunki zadania:\n- \\(a > 0\\) - współczynnik kierunkowy jest **dodatni**\n- \\(b < 0\\) - wyraz wolny jest **ujemny**\n\n**Co to oznacza graficznie?**\n\n**Warunek \\(a > 0\\):** współczynnik kierunkowy to \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\). Gdy \\(a > 0\\), prosta jest **rosnąca** - idzie \"od lewego dołu do prawego góry\".\n\n**Warunek \\(b < 0\\):** wyraz wolny \\(b = f(0)\\), czyli wartość funkcji dla \\(x = 0\\). To punkt przecięcia prostej z osią \\(Oy\\). Gdy \\(b < 0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) **poniżej zera**.\n\n**Szukamy zatem prostej, która:**\n1. Jest **rosnąca** (nachylona w prawo ku górze), **oraz**\n2. Przecina oś \\(Oy\\) w punkcie **poniżej początku układu**\n\nSpośród wykresów A, B, C, D - tylko wykres **C** spełnia oba warunki jednocześnie.\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - eliminacja po jednym warunku\n\nZamiast szukać od razu właściwego wykresu, eliminujemy błędne jeden po jednym.\n\n**Krok 1 - eliminuj nierosnące (odrzucamy wykresy z \\(a \\leq 0\\)):**\n\nPatrząc na kierunek prostych:\n- Wykresy malejące (opadające) → \\(a < 0\\) → **ODRZUCAMY**\n- Wykresy rosnące (wznoszące) → \\(a > 0\\) → **ZOSTAJĄ**\n\nPo tym kroku zostają tylko wykresy z prostymi rosnącymi.\n\n**Krok 2 - eliminuj te, gdzie prosta przecina \\(Oy\\) powyżej zera (odrzucamy \\(b \\geq 0\\)):**\n\nSpośród rosnących:\n- Prosta przecina \\(Oy\\) powyżej \\(0\\) → \\(b > 0\\) → **ODRZUCAMY**\n- Prosta przecina \\(Oy\\) poniżej \\(0\\) → \\(b < 0\\) → **ZOSTAJE**\n\nPozostaje dokładnie jeden wykres: **C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników \\(a\\) i \\(b\\).\n\nWarto jednak zapamiętać z **Działu 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n- \\(a\\) - współczynnik kierunkowy (decyduje o nachyleniu i kierunku)\n- \\(b\\) - wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Prosta jest **malejąca** (\\(a < 0\\)) - narusza warunek \\(a > 0\\) |\n| B | Prosta jest **rosnąca**, ale przecina oś \\(Oy\\) **powyżej zera** (\\(b > 0\\)) - narusza warunek \\(b < 0\\) |\n| D | Prosta jest **malejąca** (\\(a < 0\\)) i dodatkowo przecina \\(Oy\\) powyżej zera - narusza oba warunki |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często mylą warunek \\(b < 0\\) z \"prosta przechodzi przez lewą część układu\". Pamiętaj: \\(b\\) to **tylko** punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) - sprawdzasz go, patrząc gdzie prosta krzyżuje pionową oś!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"rosnąca\" z \"nachylona w lewo\". Rosnąca znaczy: im większe \\(x\\), tym większe \\(y\\) - prosta idzie z lewego dołu do prawego góry.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy obydwa warunki (\\(a > 0\\) i \\(b < 0\\)) - sprawdzaj je **niezależnie** i **oba naraz**. Wykres spełniający tylko jeden z nich jest błędny!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Interpretacja współczynników\nDla \\(f(x) = ax+b\\):\n- \\(a>0\\) ⇒ funkcja rosnąca (wykres wznosi się w prawo).\n- \\(b<0\\) ⇒ punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) leży poniżej osi \\(Ox\\).\n\nSzukamy rysunku z prostą rosnącą, przecinającą oś \\(Oy\\) poniżej punktu \\((0,0)\\).\n\n### Sposób 2 - Miejsce zerowe\nMiejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Przy \\(a>0, b<0\\): \\(x_0 = -\\tfrac{\\text{ujemna}}{\\text{dodatnia}} > 0\\). Prosta przechodzi przez oś \\(Ox\\) w punkcie dodatnim.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Prosta malejąca (\\(a<0\\)).\n- **B.** Prosta rosnąca, ale przecina oś \\(Oy\\) powyżej - \\(b>0\\).\n- **D.** Prosta malejąca (\\(a<0\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o kierunku), \\(b\\) - wyraz wolny (wartość w \\(x=0\\)).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Dany jest ciąg <br><br>na<br>określony wzorem<br>2<br>2<br>( 1)<br><br><br><br>n<br>n<br>n<br>a<br>n<br>dla<br>1<br><br>n<br>. Wówczas wyraz<br>5a tego<br>ciągu jest równy<br>A.<br>3<br>25<br><br>B.<br>3<br>25<br>C.<br>7<br>25<br><br>D.<br>7<br>25</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = (-1)^n * {2-n / n^2} dla n &gt;= 1. Wówczas wyraz a_5 tego ciągu jest równy A. -3/25, B. 3/25, C. -7/25, D. 7/25</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie informacji<br>Obliczenie wyrazu ciągu określonego<br>wzorem ogólnym (I.5.a)<br>B<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<h4>Sposób 1 - analiza warunków na \\(a\\) i \\(b\\)</h4>\n<p>Mamy funkcję \\(f(x) = ax + b\\). Warunki zadania:</p>\n<ul><li>\\(a &gt; 0\\) - współczynnik kierunkowy jest <strong>dodatni</strong></li><li>\\(b &lt; 0\\) - wyraz wolny jest <strong>ujemny</strong></li></ul>\n<p><strong>Co to oznacza graficznie?</strong></p>\n<p><strong>Warunek \\(a &gt; 0\\):</strong> współczynnik kierunkowy to \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\). Gdy \\(a &gt; 0\\), prosta jest <strong>rosnąca</strong> - idzie &quot;od lewego dołu do prawego góry&quot;.</p>\n<p><strong>Warunek \\(b &lt; 0\\):</strong> wyraz wolny \\(b = f(0)\\), czyli wartość funkcji dla \\(x = 0\\). To punkt przecięcia prostej z osią \\(Oy\\). Gdy \\(b &lt; 0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) <strong>poniżej zera</strong>.</p>\n<p><strong>Szukamy zatem prostej, która:</strong></p>\n<ol><li>Jest <strong>rosnąca</strong> (nachylona w prawo ku górze), <strong>oraz</strong></li><li>Przecina oś \\(Oy\\) w punkcie <strong>poniżej początku układu</strong></li></ol>\n<p>Spośród wykresów A, B, C, D - tylko wykres <strong>C</strong> spełnia oba warunki jednocześnie.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - eliminacja po jednym warunku</h4>\n<p>Zamiast szukać od razu właściwego wykresu, eliminujemy błędne jeden po jednym.</p>\n<p><strong>Krok 1 - eliminuj nierosnące (odrzucamy wykresy z \\(a \\leq 0\\)):</strong></p>\n<p>Patrząc na kierunek prostych:</p>\n<ul><li>Wykresy malejące (opadające) → \\(a &lt; 0\\) → <strong>ODRZUCAMY</strong></li><li>Wykresy rosnące (wznoszące) → \\(a &gt; 0\\) → <strong>ZOSTAJĄ</strong></li></ul>\n<p>Po tym kroku zostają tylko wykresy z prostymi rosnącymi.</p>\n<p><strong>Krok 2 - eliminuj te, gdzie prosta przecina \\(Oy\\) powyżej zera (odrzucamy \\(b \\geq 0\\)):</strong></p>\n<p>Spośród rosnących:</p>\n<ul><li>Prosta przecina \\(Oy\\) powyżej \\(0\\) → \\(b &gt; 0\\) → <strong>ODRZUCAMY</strong></li><li>Prosta przecina \\(Oy\\) poniżej \\(0\\) → \\(b &lt; 0\\) → <strong>ZOSTAJE</strong></li></ul>\n<p>Pozostaje dokładnie jeden wykres: <strong>C</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników \\(a\\) i \\(b\\).</p>\n<p>Warto jednak zapamiętać z <strong>Działu 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong>:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]</p>\n<ul><li>\\(a\\) - współczynnik kierunkowy (decyduje o nachyleniu i kierunku)</li><li>\\(b\\) - wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Prosta jest <strong>malejąca</strong> (\\(a &lt; 0\\)) - narusza warunek \\(a &gt; 0\\) |<br>| B | Prosta jest <strong>rosnąca</strong>, ale przecina oś \\(Oy\\) <strong>powyżej zera</strong> (\\(b &gt; 0\\)) - narusza warunek \\(b &lt; 0\\) |<br>| D | Prosta jest <strong>malejąca</strong> (\\(a &lt; 0\\)) i dodatkowo przecina \\(Oy\\) powyżej zera - narusza oba warunki |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uczniowie często mylą warunek \\(b &lt; 0\\) z &quot;prosta przechodzi przez lewą część układu&quot;. Pamiętaj: \\(b\\) to <strong>tylko</strong> punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) - sprawdzasz go, patrząc gdzie prosta krzyżuje pionową oś!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić &quot;rosnąca&quot; z &quot;nachylona w lewo&quot;. Rosnąca znaczy: im większe \\(x\\), tym większe \\(y\\) - prosta idzie z lewego dołu do prawego góry.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy obydwa warunki (\\(a &gt; 0\\) i \\(b &lt; 0\\)) - sprawdzaj je <strong>niezależnie</strong> i <strong>oba naraz</strong>. Wykres spełniający tylko jeden z nich jest błędny!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Interpretacja współczynników</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax+b\\):</p>\n<ul><li>\\(a&gt;0\\) ⇒ funkcja rosnąca (wykres wznosi się w prawo).</li><li>\\(b&lt;0\\) ⇒ punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) leży poniżej osi \\(Ox\\).</li></ul>\n<p>Szukamy rysunku z prostą rosnącą, przecinającą oś \\(Oy\\) poniżej punktu \\((0,0)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Miejsce zerowe</h5>\n<p>Miejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Przy \\(a&gt;0, b&lt;0\\): \\(x_0 = -\\tfrac{\\text{ujemna}}{\\text{dodatnia}} &gt; 0\\). Prosta przechodzi przez oś \\(Ox\\) w punkcie dodatnim.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Prosta malejąca (\\(a&lt;0\\)).</li><li><strong>B.</strong> Prosta rosnąca, ale przecina oś \\(Oy\\) powyżej - \\(b&gt;0\\).</li><li><strong>D.</strong> Prosta malejąca (\\(a&lt;0\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o kierunku), \\(b\\) - wyraz wolny (wartość w \\(x=0\\)).</p>"}]}