{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa\nA. 6\nB. 8\nC. 24\nD. 64\nPole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe $4$. Objętość tego sześcianu jest równa A. 6, B. 8, C. 24, D. 64","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie objętości sześcianu\nz wykorzystaniem związków miarowych\nw sześcianie (II.9.b)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(B = (5, 11)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (wyznaczenie B)\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy znane dane: \\(S = (2, 7)\\), \\(A = (-1, 3)\\):\n\n**Współrzędna x:**\n\\[\\frac{-1 + x_B}{2} = 2\\]\n\\[-1 + x_B = 4\\]\n\\[x_B = 5\\]\n\n**Współrzędna y:**\n\\[\\frac{3 + y_B}{2} = 7\\]\n\\[3 + y_B = 14\\]\n\\[y_B = 11\\]\n\n**Zatem \\(B = (5, 11)\\).**\n\n## Sposób 2 - wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) i symetria\n\nŚrodek \\(S\\) leży dokładnie w połowie \\(AB\\), czyli \\(\\overrightarrow{AS} = \\overrightarrow{SB}\\).\n\nWyznaczamy wektor od \\(A\\) do \\(S\\):\n\\[\\overrightarrow{AS} = [2 - (-1),\\ 7 - 3] = [3, 4]\\]\n\nPunkt \\(B\\) to \\(S\\) przesunięty o ten sam wektor:\n\\[B = S + \\overrightarrow{AS} = (2 + 3,\\ 7 + 4) = (5, 11)\\]\n\n**Weryfikacja:** środek \\(AB\\):\n\\[\\left(\\frac{-1+5}{2},\\ \\frac{3+11}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{14}{2}\\right) = (2, 7) = S\\ \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(B\\).\n\nRównież z Działu 11 - wektor \\(\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\), który zastosowaliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Policzono **środek \\(AS\\)** zamiast symetrycznego punktu do \\(A\\) względem \\(S\\): \\(\\left(\\frac{-1+2}{2}, \\frac{3+7}{2}\\right) = \\left(\\frac{1}{2}, 5\\right)\\) - prawie ta pułapka, ale B ma \\(y=2\\), więc to błąd przy dzieleniu przez 2 zamiast mnożenia |\n| C | Zamieniono role punktów - wzięto \\(-A\\) lub policzono \\(2A - S\\) zamiast \\(2S - A\\) |\n| D | Poprawne \\(x_B = 5\\) zamieniono na \\(x_B = 3\\) (może przez odjęcie zamiast dodania w \\(-1 + x_B = 4\\)), a \\(y_B = 11\\) jest przypadkowo poprawne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek to **średnia** współrzędnych, więc z równania \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_S\\) wyznaczamy \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Częsty błąd: zapomnienie o pomnożeniu przez 2 (tj. zostaje \\(x_B = x_S - x_A\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kierunku - szukamy \\(B\\), a nie środka \\(AS\\)! Wzór: \\(B = 2S - A\\), czyli \\(B = (2 \\cdot 2 - (-1),\\ 2 \\cdot 7 - 3) = (5, 11)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić wynik** wstawiając \\(A\\) i \\(B\\) do wzoru na środek - to 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(S = \\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2}, \\dfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd:\n\\[x_B = 2x_S - x_A = 2\\cdot 2 - (-1) = 4+1 = 5.\\]\n\\[y_B = 2y_S - y_A = 2\\cdot 7 - 3 = 14-3 = 11.\\]\nZatem \\(B = (5, 11)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) = \\(\\overrightarrow{SB}\\)\n\\(\\overrightarrow{AS} = (2-(-1), 7-3) = (3, 4)\\).\nDodajemy do \\(S\\): \\(B = S + (3, 4) = (2+3, 7+4) = (5, 11)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Obliczono \\(\\tfrac{x_A+x_B}{2}\\) zamiast \\(x_B = 2x_S-x_A\\).\n- **C.** Zastosowano \\(x_A - x_S\\) i \\(y_A - y_S\\) (odjęcie zamiast dodania).\n- **D.** Błąd w pierwszej współrzędnej (\\(3\\) zamiast \\(5\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(S\\) jako środek ⇒ \\(B = 2S - A\\) (wektorowo).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa<br>A. 6<br>B. 8<br>C. 24<br>D. 64<br>Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe $4$. Objętość tego sześcianu jest równa A. 6, B. 8, C. 24, D. 64</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Obliczenie objętości sześcianu<br>z wykorzystaniem związków miarowych<br>w sześcianie (II.9.b)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(B = (5, 11)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na środek odcinka (wyznaczenie B)</h4>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:<br>\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane dane: \\(S = (2, 7)\\), \\(A = (-1, 3)\\):</p>\n<p><strong>Współrzędna x:</strong><br>\\[\\frac{-1 + x_B}{2} = 2\\]<br>\\[-1 + x_B = 4\\]<br>\\[x_B = 5\\]</p>\n<p><strong>Współrzędna y:</strong><br>\\[\\frac{3 + y_B}{2} = 7\\]<br>\\[3 + y_B = 14\\]<br>\\[y_B = 11\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(B = (5, 11)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) i symetria</h4>\n<p>Środek \\(S\\) leży dokładnie w połowie \\(AB\\), czyli \\(\\overrightarrow{AS} = \\overrightarrow{SB}\\).</p>\n<p>Wyznaczamy wektor od \\(A\\) do \\(S\\):<br>\\[\\overrightarrow{AS} = [2 - (-1),\\ 7 - 3] = [3, 4]\\]</p>\n<p>Punkt \\(B\\) to \\(S\\) przesunięty o ten sam wektor:<br>\\[B = S + \\overrightarrow{AS} = (2 + 3,\\ 7 + 4) = (5, 11)\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> środek \\(AB\\):<br>\\[\\left(\\frac{-1+5}{2},\\ \\frac{3+11}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{14}{2}\\right) = (2, 7) = S\\ \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(B\\).</p>\n<p>Również z Działu 11 - wektor \\(\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\), który zastosowaliśmy w Sposobie 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Policzono <strong>środek \\(AS\\)</strong> zamiast symetrycznego punktu do \\(A\\) względem \\(S\\): \\(\\left(\\frac{-1+2}{2}, \\frac{3+7}{2}\\right) = \\left(\\frac{1}{2}, 5\\right)\\) - prawie ta pułapka, ale B ma \\(y=2\\), więc to błąd przy dzieleniu przez 2 zamiast mnożenia |<br>| C | Zamieniono role punktów - wzięto \\(-A\\) lub policzono \\(2A - S\\) zamiast \\(2S - A\\) |<br>| D | Poprawne \\(x_B = 5\\) zamieniono na \\(x_B = 3\\) (może przez odjęcie zamiast dodania w \\(-1 + x_B = 4\\)), a \\(y_B = 11\\) jest przypadkowo poprawne |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środek to <strong>średnia</strong> współrzędnych, więc z równania \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_S\\) wyznaczamy \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Częsty błąd: zapomnienie o pomnożeniu przez 2 (tj. zostaje \\(x_B = x_S - x_A\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić kierunku - szukamy \\(B\\), a nie środka \\(AS\\)! Wzór: \\(B = 2S - A\\), czyli \\(B = (2 \\cdot 2 - (-1),\\ 2 \\cdot 7 - 3) = (5, 11)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto <strong>sprawdzić wynik</strong> wstawiając \\(A\\) i \\(B\\) do wzoru na środek - to 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h5>\n<p>\\(S = \\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2}, \\dfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd:<br>\\[x_B = 2x_S - x_A = 2\\cdot 2 - (-1) = 4+1 = 5.\\]<br>\\[y_B = 2y_S - y_A = 2\\cdot 7 - 3 = 14-3 = 11.\\]<br>Zatem \\(B = (5, 11)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wektor \\(\\overrightarrow{AS}\\) = \\(\\overrightarrow{SB}\\)</h5>\n<p>\\(\\overrightarrow{AS} = (2-(-1), 7-3) = (3, 4)\\).<br>Dodajemy do \\(S\\): \\(B = S + (3, 4) = (2+3, 7+4) = (5, 11)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Obliczono \\(\\tfrac{x_A+x_B}{2}\\) zamiast \\(x_B = 2x_S-x_A\\).</li><li><strong>C.</strong> Zastosowano \\(x_A - x_S\\) i \\(y_A - y_S\\) (odjęcie zamiast dodania).</li><li><strong>D.</strong> Błąd w pierwszej współrzędnej (\\(3\\) zamiast \\(5\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(S\\) jako środek ⇒ \\(B = 2S - A\\) (wektorowo).</p>"}]}