{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba \n\n4\n3\n3\n1 16\n8\n\n\n\njest równa\nA.\n8\n\nB.\n4\n\nC. 2\nD. 4\nLiczba pierwiastek trzeciego stopnia z -8 razy 16 do potęgi 3/4 jest równa A. -8, B. -4, C. 2, D. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie praw działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych, obliczenie\npotęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpad na dwa przypadki\n\nZ definicji wartości bezwzględnej: \\(|W| = 5\\) oznacza, że \\(W = 5\\) lub \\(W = -5\\).\n\nZatem równanie \\(|2x+3| = 5\\) rozkłada się na dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(2x + 3 = 5\\)\n\\[2x = 5 - 3 = 2\\]\n\\[x = 1\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(2x + 3 = -5\\)\n\\[2x = -5 - 3 = -8\\]\n\\[x = -4\\]\n\n**Rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(|2x+3| = 5\\):\n\nDla \\(x = 1\\):\n\\[|2 \\cdot 1 + 3| = |2 + 3| = |5| = 5 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -4\\):\n\\[|2 \\cdot (-4) + 3| = |-8 + 3| = |-5| = 5 \\checkmark\\]\n\nOba wyniki spełniają równanie. Dla pewności sprawdzamy też kandydatów z błędnych odpowiedzi - np. \\(x = 2\\) z odpowiedzi B:\n\\[|2 \\cdot 2 + 3| = |7| = 7 \\neq 5 \\quad \\times\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja i nierówności:\n\\[|x| = 5 \\iff x = 5 \\text{ lub } x = -5\\]\n\nOgólniej (wzór z karty):\n\\[|x - a| = r \\iff x = a + r \\text{ lub } x = a - r\\]\n\nW naszym zadaniu \\(|2x+3| = 5\\) to nie jest dokładnie ta postać, ale ta sama zasada: wyrażenie pod wartością bezwzględną może być równe \\(+5\\) albo \\(-5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń liczy tylko \\(2x+3=5\\), dostaje \\(x=1\\), a do pary daje \\(x=2\\) (np. zgaduje lub liczy \\(2x+3=-5\\) jako \\(2x=-5+3=-2\\), \\(x=-1\\), a potem jeszcze myli znak) |\n| **C** | Pomyłka znaku: zamiast \\(2x+3=5\\) uczeń liczy \\(2x-3=5\\) i dostaje \\(x=4\\), a zamiast \\(2x+3=-5\\) dostaje \\(x=-1\\) - błąd w przepisaniu równania |\n| **D** | Uczeń ignoruje \\(+3\\) i rozwiązuje \\(|2x|=5\\), dostając \\(x = \\frac{5}{2}\\) lub upraszcza do \\(|x|=\\frac{5}{2}\\), a potem zaokrągla do \\(\\pm 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(|A| = 5\\) daje **zawsze dwa przypadki**: \\(A = 5\\) i \\(A = -5\\). Jeśli zapiszesz tylko jeden z nich, tracisz połowę rozwiązania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wartość bezwzględna to zawsze liczba nieujemna - równanie \\(|2x+3| = -5\\) nie miałoby rozwiązań, bo lewa strona jest zawsze \\(\\geq 0\\). Na szczęście tutaj prawa strona to \\(+5 > 0\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W przypadku 2 łatwo pomylić się przy obliczaniu \\(2x = -5-3\\). To jest \\(2x = -8\\), a **nie** \\(2x = -2\\). Uważaj na odejmowanie ujemnych liczb!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej\n\\(|2x+3| = 5\\) oznacza \\(2x+3 = 5\\) lub \\(2x+3 = -5\\).\n\\[2x+3 = 5 \\Rightarrow 2x = 2 \\Rightarrow x = 1.\\]\n\\[2x+3 = -5 \\Rightarrow 2x = -8 \\Rightarrow x = -4.\\]\n\nRozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi\n- \\(x=1\\): \\(|2+3| = 5\\) ✓\n- \\(x=-4\\): \\(|-8+3| = |-5| = 5\\) ✓\n- \\(x=2\\): \\(|7| = 7 \\ne 5\\) ✗\n- \\(x=-1\\): \\(|1| = 1 \\ne 5\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(x=2\\): \\(|7|\\ne 5\\).\n- **C.** \\(x=4\\): \\(|11|\\ne 5\\).\n- **D.** \\(x=-2\\): \\(|-1|\\ne 5\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|f(x)|=c\\) (dla \\(c\\ge 0\\)) ⇔ \\(f(x)=c\\) lub \\(f(x)=-c\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba 

4
3
3
1 16
8



jest równa
A.
8

B.
4

C. 2
D. 4
Liczba pierwiastek trzeciego stopnia z -8 razy 16 do potęgi 3/4 jest równa A. -8, B. -4, C. 2, D. 4

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zastosowanie praw działań na potęgach
o wykładnikach wymiernych, obliczenie
potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g)
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\)

\n

Sposób 1 - Rozpad na dwa przypadki

\n

Z definicji wartości bezwzględnej: \\(|W| = 5\\) oznacza, że \\(W = 5\\) lub \\(W = -5\\).

\n

Zatem równanie \\(|2x+3| = 5\\) rozkłada się na dwa przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(2x + 3 = 5\\)
\\[2x = 5 - 3 = 2\\]
\\[x = 1\\]

\n

Przypadek 2: \\(2x + 3 = -5\\)
\\[2x = -5 - 3 = -8\\]
\\[x = -4\\]

\n

Rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(|2x+3| = 5\\):

\n

Dla \\(x = 1\\):
\\[|2 \\cdot 1 + 3| = |2 + 3| = |5| = 5 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = -4\\):
\\[|2 \\cdot (-4) + 3| = |-8 + 3| = |-5| = 5 \\checkmark\\]

\n

Oba wyniki spełniają równanie. Dla pewności sprawdzamy też kandydatów z błędnych odpowiedzi - np. \\(x = 2\\) z odpowiedzi B:
\\[|2 \\cdot 2 + 3| = |7| = 7 \\neq 5 \\quad \\times\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja i nierówności:
\\[|x| = 5 \\iff x = 5 \\text{ lub } x = -5\\]

\n

Ogólniej (wzór z karty):
\\[|x - a| = r \\iff x = a + r \\text{ lub } x = a - r\\]

\n

W naszym zadaniu \\(|2x+3| = 5\\) to nie jest dokładnie ta postać, ale ta sama zasada: wyrażenie pod wartością bezwzględną może być równe \\(+5\\) albo \\(-5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń liczy tylko \\(2x+3=5\\), dostaje \\(x=1\\), a do pary daje \\(x=2\\) (np. zgaduje lub liczy \\(2x+3=-5\\) jako \\(2x=-5+3=-2\\), \\(x=-1\\), a potem jeszcze myli znak) |
| C | Pomyłka znaku: zamiast \\(2x+3=5\\) uczeń liczy \\(2x-3=5\\) i dostaje \\(x=4\\), a zamiast \\(2x+3=-5\\) dostaje \\(x=-1\\) - błąd w przepisaniu równania |
| D | Uczeń ignoruje \\(+3\\) i rozwiązuje \\(|2x|=5\\), dostając \\(x = \\frac{5}{2}\\) lub upraszcza do \\(|x|=\\frac{5}{2}\\), a potem zaokrągla do \\(\\pm 2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(|A| = 5\\) daje zawsze dwa przypadki: \\(A = 5\\) i \\(A = -5\\). Jeśli zapiszesz tylko jeden z nich, tracisz połowę rozwiązania!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że wartość bezwzględna to zawsze liczba nieujemna - równanie \\(|2x+3| = -5\\) nie miałoby rozwiązań, bo lewa strona jest zawsze \\(\\geq 0\\). Na szczęście tutaj prawa strona to \\(+5 > 0\\), więc wszystko gra.
\n
⚠️ Uwaga: W przypadku 2 łatwo pomylić się przy obliczaniu \\(2x = -5-3\\). To jest \\(2x = -8\\), a nie \\(2x = -2\\). Uważaj na odejmowanie ujemnych liczb!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej
\n

\\(|2x+3| = 5\\) oznacza \\(2x+3 = 5\\) lub \\(2x+3 = -5\\).
\\[2x+3 = 5 \\Rightarrow 2x = 2 \\Rightarrow x = 1.\\]
\\[2x+3 = -5 \\Rightarrow 2x = -8 \\Rightarrow x = -4.\\]

\n

Rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -4\\).

\n
Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(|f(x)|=c\\) (dla \\(c\\ge 0\\)) ⇔ \\(f(x)=c\\) lub \\(f(x)=-c\\).

"}]}