{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nTworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem\n\n45 .\nWysokość tego stożka jest równa\nA.\n2\n2\nB.\n\n16\nC.\n2\n4\nD.\n\n8\nTworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Wysokość tego stożka jest równa A. 2 * pierwiastki z 2, B. 16 pi, C. 4 pierwiastków z 2, D. 8 pi","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie wysokości stożka\nz wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych lub własności\nkwadratu (II.9.b)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany ze wzoru\n\n**Krok 1: Uszereguj wyniki rosnąco.**\n\nDane: \\(6, 3, 1, 2, 5, 5\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[1, \\quad 2, \\quad 3, \\quad 5, \\quad 5, \\quad 6\\]\n\n**Krok 2: Policz liczbę wyników.**\n\nMamy \\(n = 6\\) wyników - liczba parzysta, więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości**.\n\n**Krok 3: Wyznacz dwa środkowe wyrazy.**\n\nPozycje środkowe: \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).\n\n\\[\n\\underbrace{1}_{\\text{1.}}, \\quad \\underbrace{2}_{\\text{2.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{3}}_{\\text{3.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{5}}_{\\text{4.}}, \\quad \\underbrace{5}_{\\text{5.}}, \\quad \\underbrace{6}_{\\text{6.}}\n\\]\n\nŚrodkowe wyrazy to \\(3\\) i \\(5\\).\n\n**Krok 4: Oblicz medianę.**\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez interpretację mediany\n\nMediana to taka wartość, że połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa.\n\nPo posortowaniu: \\(1, 2, 3 \\mid 5, 5, 6\\)\n\n- 3 wartości poniżej \\(4\\): \\(\\{1, 2, 3\\}\\) ✓\n- 3 wartości powyżej \\(4\\): \\(\\{5, 5, 6\\}\\) ✓\n- Sama wartość \\(4\\) nie występuje w zbiorze, ale dzieli dane dokładnie na dwie równe połowy.\n\nŻadna z oryginalnych wartości nie leży \"pośrodku\" - dlatego mediana wynosi \\(\\frac{3+5}{2} = \\mathbf{4}\\), czyli wartość spoza danych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana - środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych (dla parzystego \\(n\\)).\n\nTutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc korzystamy z wariantu drugiego:\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(3\\) | Uczeń zapomniał posortować dane i wybrał 3. wyraz z oryginalnego ciągu \\((6,3,1,2,5,5)\\), czyli wartość \\(1\\) lub po posortowaniu wziął tylko jeden środkowy wyraz (\\(3\\) na pozycji 3.), ignorując, że \\(n\\) jest parzyste |\n| B: \\(3{,}5\\) | Uczeń wziął dwa środkowe wyrazy z **nieposortowanego** ciągu: na pozycjach 3. i 4. są \\(1\\) i \\(2\\), a \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\) - albo pomylił, które wyrazy są środkowe, np. przyjął wartości \\(3\\) i \\(4\\) (których nie ma w zbiorze) |\n| D: \\(5\\) | Uczeń pomylił medianę z **modą** (wartością najczęstszą) - \\(5\\) pojawia się dwa razy, więc jest modą, ale nie medianą |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sortuj dane przed wyznaczaniem mediany! To najczęstszy błąd - wybranie środkowego elementu z **nieposortowanego** ciągu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych** - może być wartością, której nie ma w zbiorze (tu: \\(4\\), choć w danych są tylko: \\(1,2,3,5,5,6\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl mediany z modą (\\(5\\) - najczęstsza wartość) ani ze średnią arytmetyczną (\\(\\frac{1+2+3+5+5+6}{6} = \\frac{22}{6} \\approx 3{,}67\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany\nPorządkujemy dane rosnąco: \\(1, 2, 3, 5, 5, 6\\).\nDla parzystej liczby (\\(n=6\\)) mediana = średnia dwóch środkowych (3. i 4.):\n\\[\\text{me} = \\dfrac{3+5}{2} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozycji\nLiczba wyników: 6. Środkowe pozycje: 3. i 4. Wyniki posortowane: 1(1), 2(2), **3(3)**, **5(4)**, 5(5), 6(6). Średnia \\(= 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to tylko trzeci wyraz, nie średnia dwóch środkowych.\n- **B. \\(3{,}5\\)** - średnia \\(3\\) i \\(4\\), ale \\(4\\) nie występuje w danych (ma być \\(3\\) i \\(5\\)).\n- **D. \\(5\\)** - to dominanta (mode), nie mediana.\n\n**Pamiętaj:** dla parzystej liczby danych mediana = \\(\\tfrac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

45 .
Wysokość tego stożka jest równa
A.
2
2
B.

16
C.
2
4
D.

8
Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Wysokość tego stożka jest równa A. 2 * pierwiastki z 2, B. 16 pi, C. 4 pierwiastków z 2, D. 8 pi

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczenie wysokości stożka
z wykorzystaniem funkcji
trygonometrycznych lub własności
kwadratu (II.9.b)
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)

\n

Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany ze wzoru

\n

Krok 1: Uszereguj wyniki rosnąco.

\n

Dane: \\(6, 3, 1, 2, 5, 5\\)

\n

Po posortowaniu:
\\[1, \\quad 2, \\quad 3, \\quad 5, \\quad 5, \\quad 6\\]

\n

Krok 2: Policz liczbę wyników.

\n

Mamy \\(n = 6\\) wyników - liczba parzysta, więc mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.

\n

Krok 3: Wyznacz dwa środkowe wyrazy.

\n

Pozycje środkowe: \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).

\n

\\[
\\underbrace{1}{\\text{1.}}, \\quad \\underbrace{2}{\\text{2.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{3}}{\\text{3.}}, \\quad \\underbrace{\\mathbf{5}}{\\text{4.}}, \\quad \\underbrace{5}{\\text{5.}}, \\quad \\underbrace{6}{\\text{6.}}
\\]

\n

Środkowe wyrazy to \\(3\\) i \\(5\\).

\n

Krok 4: Oblicz medianę.

\n

\\[
\\text{Mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}
\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez interpretację mediany

\n

Mediana to taka wartość, że połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa.

\n

Po posortowaniu: \\(1, 2, 3 \\mid 5, 5, 6\\)

\n\n

Żadna z oryginalnych wartości nie leży "pośrodku" - dlatego mediana wynosi \\(\\frac{3+5}{2} = \\mathbf{4}\\), czyli wartość spoza danych.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja mediany:

\n
Mediana - środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych (dla parzystego \\(n\\)).
\n

Tutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc korzystamy z wariantu drugiego:
\\[
\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}
\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(3\\) | Uczeń zapomniał posortować dane i wybrał 3. wyraz z oryginalnego ciągu \\((6,3,1,2,5,5)\\), czyli wartość \\(1\\) lub po posortowaniu wziął tylko jeden środkowy wyraz (\\(3\\) na pozycji 3.), ignorując, że \\(n\\) jest parzyste |
| B: \\(3{,}5\\) | Uczeń wziął dwa środkowe wyrazy z nieposortowanego ciągu: na pozycjach 3. i 4. są \\(1\\) i \\(2\\), a \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\) - albo pomylił, które wyrazy są środkowe, np. przyjął wartości \\(3\\) i \\(4\\) (których nie ma w zbiorze) |
| D: \\(5\\) | Uczeń pomylił medianę z modą (wartością najczęstszą) - \\(5\\) pojawia się dwa razy, więc jest modą, ale nie medianą |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sortuj dane przed wyznaczaniem mediany! To najczęstszy błąd - wybranie środkowego elementu z nieposortowanego ciągu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych - może być wartością, której nie ma w zbiorze (tu: \\(4\\), choć w danych są tylko: \\(1,2,3,5,5,6\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl mediany z modą (\\(5\\) - najczęstsza wartość) ani ze średnią arytmetyczną (\\(\\frac{1+2+3+5+5+6}{6} = \\frac{22}{6} \\approx 3{,}67\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja mediany
\n

Porządkujemy dane rosnąco: \\(1, 2, 3, 5, 5, 6\\).
Dla parzystej liczby (\\(n=6\\)) mediana = średnia dwóch środkowych (3. i 4.):
\\[\\text{me} = \\dfrac{3+5}{2} = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie pozycji
\n

Liczba wyników: 6. Środkowe pozycje: 3. i 4. Wyniki posortowane: 1(1), 2(2), 3(3), 5(4), 5(5), 6(6). Średnia \\(= 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla parzystej liczby danych mediana = \\(\\tfrac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}\\).

"}]}