{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu\n0\n7\n6\n3\n\n\ny\nx\nA.\nx\ny\n2\n1\n\nB.\nx\ny\n2\n1\n\n\nC.\nx\ny\n2\n\nD.\nx\ny\n2\n\n\nWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x-6y+7=0. A. y = 1/2x, B. y=-1/2x, C. y=2x, D. y=-2x","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWskazanie równania prostej równoległej\ndo danej (I.8.c)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie kwadratu i porównanie współczynników\n\n**Rozwijamy lewą stronę** korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n- \\(2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{2} = 4a\\sqrt{2}\\)\n- \\((2\\sqrt{2})^2 = 4 \\cdot 2 = 8\\)\n\nZatem:\n\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8\\]\n\n**Porównujemy z prawą stroną** \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):\n\n\\[a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8 = a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\]\n\nOdejmujemy \\(a^2 + 8\\) od obu stron:\n\n\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2}\\):\n\n\\[4a = 28\\]\n\n\\[\\boxed{a = 7}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(a = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy są równe.\n\n**Lewa strona:**\n\\[(7 + 2\\sqrt{2})^2 = 49 + 2 \\cdot 7 \\cdot 2\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[a^2 + 28\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]\n\n**Obie strony są równe** - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{2})^2\\). To kluczowy krok całego rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(a = 14\\): Podzielono \\(28\\) przez \\(2\\) zamiast przez \\(4\\) - nie uwzględniono, że współczynnik przy \\(a\\sqrt{2}\\) wynosi \\(4\\), nie \\(2\\) |\n| B | \\(a = 7\\sqrt{2}\\): Uznano, że \\(a\\) musi też zawierać \\(\\sqrt{2}\\), bo po prawej stronie jest \\(\\sqrt{2}\\). Błąd polega na tym, że \\(\\sqrt{2}\\) jest już zawarty w wyrażeniu \\(4a\\sqrt{2}\\) - nie trzeba go \"dokładać\" do \\(a\\) |\n| D | \\(a = 2\\sqrt{2}\\): Pomylono \\(a\\) z \\(2\\sqrt{2}\\) z nawiasu - odczytano \\(a\\) ze wzoru zamiast go wyznaczyć |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{2})^2 = 8\\), nie \\(4\\sqrt{2}\\) ani \\(2\\sqrt{4}\\). Pamiętaj: podnosisz do kwadratu zarówno \\(2\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\) - oddzielnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu kwadratu \\(a^2\\) i \\(8\\) pojawiają się po obu stronach i się znoszą - nie wpadnij w panikę, że \"coś znikło\". To właśnie upraszcza zadanie do jednego równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy masz \\(4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\), dzielisz przez \\(\\sqrt{2}\\) (nie przez \\(4\\)) w pierwszym kroku - kolejność upraszczania nie ma znaczenia, ale uważaj, żeby obu kroków nie połączyć w jedno i nie pomylić się z \\(a = \\frac{28}{4\\sqrt{2}}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\[(a+2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8.\\]\n\nPorównujemy z \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):\n\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\ \\Rightarrow\\ 4a = 28\\ \\Rightarrow\\ a = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=7\\): \\((7+2\\sqrt{2})^2 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\) ✓\n- \\(a=14\\): \\((14+2\\sqrt{2})^2 = 196 + 56\\sqrt{2} + 8\\) ✗ (56 ≠ 28).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=14\\)** - da \\(56\\sqrt{2}\\), nie \\(28\\sqrt{2}\\).\n- **B. \\(a=7\\sqrt{2}\\)** - po podstawieniu wprowadza niepożądane wyrazy wymierne.\n- **D. \\(a=2\\sqrt{2}\\)** - da \\(8\\sqrt{2}\\), nie \\(28\\sqrt{2}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu
0
7
6
3


y
x
A.
x
y
2
1

B.
x
y
2
1


C.
x
y
2

D.
x
y
2


Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x-6y+7=0. A. y = 1/2x, B. y=-1/2x, C. y=2x, D. y=-2x

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Wskazanie równania prostej równoległej
do danej (I.8.c)
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 7\\)

\n

Sposób 1 - Rozwinięcie kwadratu i porównanie współczynników

\n

Rozwijamy lewą stronę korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):

\n

\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2\\]

\n

Obliczamy każdy składnik:

\n\n

Zatem:
\\[(a + 2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8\\]

\n

Porównujemy z prawą stroną \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):

\n

\\[a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8 = a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\]

\n

Odejmujemy \\(a^2 + 8\\) od obu stron:

\n

\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2}\\):

\n

\\[4a = 28\\]

\n

\\[\\boxed{a = 7}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Podstawiamy \\(a = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy są równe.

\n

Lewa strona:
\\[(7 + 2\\sqrt{2})^2 = 49 + 2 \\cdot 7 \\cdot 2\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]

\n

Prawa strona:
\\[a^2 + 28\\sqrt{2} + 8 = 49 + 28\\sqrt{2} + 8 = 57 + 28\\sqrt{2}\\]

\n

Obie strony są równe - wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]

\n

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{2})^2\\). To kluczowy krok całego rozwiązania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \\(a = 14\\): Podzielono \\(28\\) przez \\(2\\) zamiast przez \\(4\\) - nie uwzględniono, że współczynnik przy \\(a\\sqrt{2}\\) wynosi \\(4\\), nie \\(2\\) |
| B | \\(a = 7\\sqrt{2}\\): Uznano, że \\(a\\) musi też zawierać \\(\\sqrt{2}\\), bo po prawej stronie jest \\(\\sqrt{2}\\). Błąd polega na tym, że \\(\\sqrt{2}\\) jest już zawarty w wyrażeniu \\(4a\\sqrt{2}\\) - nie trzeba go "dokładać" do \\(a\\) |
| D | \\(a = 2\\sqrt{2}\\): Pomylono \\(a\\) z \\(2\\sqrt{2}\\) z nawiasu - odczytano \\(a\\) ze wzoru zamiast go wyznaczyć |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: \\((2\\sqrt{2})^2 = 8\\), nie \\(4\\sqrt{2}\\) ani \\(2\\sqrt{4}\\). Pamiętaj: podnosisz do kwadratu zarówno \\(2\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\) - oddzielnie!
\n
⚠️ Uwaga: Po rozwinięciu kwadratu \\(a^2\\) i \\(8\\) pojawiają się po obu stronach i się znoszą - nie wpadnij w panikę, że "coś znikło". To właśnie upraszcza zadanie do jednego równania.
\n
⚠️ Uwaga: Kiedy masz \\(4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\), dzielisz przez \\(\\sqrt{2}\\) (nie przez \\(4\\)) w pierwszym kroku - kolejność upraszczania nie ma znaczenia, ale uważaj, żeby obu kroków nie połączyć w jedno i nie pomylić się z \\(a = \\frac{28}{4\\sqrt{2}}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

\\[(a+2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{2} + (2\\sqrt{2})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{2} + 8.\\]

\n

Porównujemy z \\(a^2 + 28\\sqrt{2} + 8\\):
\\[4a\\sqrt{2} = 28\\sqrt{2}\\ \\Rightarrow\\ 4a = 28\\ \\Rightarrow\\ a = 7.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).

"}]}