{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPunkt A ma współrzędne \n\n5,2012 . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox,\na punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne\nA. \n\n5, 2012\n\n\nB. \n\n2012, 5\n\n\nC. \n\n5,2012\n\nD. \n\n2012,5\n\nPunkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne A. (-5,-2012), B. (-2012,-5), C. (-5,2012), D. (-2012,5)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia układu\nwspółrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(32\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie stożka i podstawienie wzoru\n\n**Co się dzieje geometrycznie?**\n\nMamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(4\\) i \\(6\\). Obracamy go wokół **dłuższej przyprostokątnej**, czyli wokół boku o długości \\(6\\).\n\nWyobraź sobie, że oś obrotu to pionowa linia wzdłuż boku \\(6\\). Wtedy:\n- **wysokość stożka** = długość osi obrotu = \\(h = 6\\)\n- **promień podstawy stożka** = krótszy bok, prostopadle odległy od osi = \\(r = 4\\)\n\n**Obliczamy objętość:**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 4^2 \\cdot 6\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6\\]\n\n\\[V = \\frac{96\\pi}{3} = \\mathbf{32\\pi}\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez cofnięcie (przekrój osiowy)\n\nSprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli \\(V = 32\\pi\\), to jakie wymiary stożka to daje?\n\nZe wzoru:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 32\\pi \\checkmark\\]\n\nMożemy też sprawdzić, co by wyszło przy obrocie wokół **krótszej** przyprostokątnej (\\(h = 4\\), \\(r = 6\\)):\n\\[V' = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]\n\nTo byłaby odpowiedź B - czyli klasyczna pułapka polegająca na pomyleniu osi obrotu.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w obu sposobach. Na karcie znajdziesz też pole powierzchni stożka, ale tu nie było potrzebne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(96\\pi\\) | Zapomniano podzielić przez \\(3\\) - wyliczono \\(\\pi r^2 h\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) |\n| B. \\(48\\pi\\) | Obrót wokół **krótszej** przyprostokątnej (\\(r=6\\), \\(h=4\\)) zamiast dłuższej |\n| D. \\(8\\pi\\) | Prawdopodobnie użyto \\(r=2\\) (połowy boku?) lub inne przypadkowe podstawienie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest rozróżnienie, który bok staje się **osią obrotu** (= wysokość stożka), a który **promieniem**. Oś obrotu to ta prosta, wokół której kręcimy - boki do niej prostopadłe tworzą promień.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - bez tego wychodzi objętość walca. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi „dłuższa przyprostokątna\" - zawsze upewnij się, który bok jest dłuższy. Tu \\(6 > 4\\), więc oś = \\(6\\), promień = \\(4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja elementów stożka\nObracamy wokół **dłuższej** przyprostokątnej (\\(=6\\)). Wówczas:\n- wysokość stożka \\(h = 6\\) (oś obrotu),\n- promień podstawy \\(r = 4\\) (krótsza przyprostokątna).\n\n### Krok - wzór na objętość\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 16\\cdot 6 = \\dfrac{96\\pi}{3} = 32\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie wprost\n\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = \\tfrac{1}{3}\\cdot 96\\pi = 32\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(96\\pi\\)** - pominięto czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) (to objętość walca, nie stożka).\n- **B. \\(48\\pi\\)** - użyto \\(h=4, r=6\\) (obrót wokół krótszej przyprostokątnej).\n- **D. \\(8\\pi\\)** - błędy rachunkowe.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\); oś obrotu to wysokość, drugi bok to promień.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Punkt A ma współrzędne <br><br>5,2012 . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox,<br>a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne<br>A. <br><br>5, 2012<br><br><br>B. <br><br>2012, 5<br><br><br>C. <br><br>5,2012<br><br>D. <br><br>2012,5<br><br>Punkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne A. (-5,-2012), B. (-2012,-5), C. (-5,2012), D. (-2012,5)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystanie pojęcia układu<br>współrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a)<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(32\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozpoznanie stożka i podstawienie wzoru</h4>\n<p><strong>Co się dzieje geometrycznie?</strong></p>\n<p>Mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(4\\) i \\(6\\). Obracamy go wokół <strong>dłuższej przyprostokątnej</strong>, czyli wokół boku o długości \\(6\\).</p>\n<p>Wyobraź sobie, że oś obrotu to pionowa linia wzdłuż boku \\(6\\). Wtedy:</p>\n<ul><li><strong>wysokość stożka</strong> = długość osi obrotu = \\(h = 6\\)</li><li><strong>promień podstawy stożka</strong> = krótszy bok, prostopadle odległy od osi = \\(r = 4\\)</li></ul>\n<p><strong>Obliczamy objętość:</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 4^2 \\cdot 6\\]</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6\\]</p>\n<p>\\[V = \\frac{96\\pi}{3} = \\mathbf{32\\pi}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez cofnięcie (przekrój osiowy)</h4>\n<p>Sprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli \\(V = 32\\pi\\), to jakie wymiary stożka to daje?</p>\n<p>Ze wzoru:<br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 32\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>Możemy też sprawdzić, co by wyszło przy obrocie wokół <strong>krótszej</strong> przyprostokątnej (\\(h = 4\\), \\(r = 6\\)):<br>\\[V&#x27; = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]</p>\n<p>To byłaby odpowiedź B - czyli klasyczna pułapka polegająca na pomyleniu osi obrotu.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość stożka:<br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w obu sposobach. Na karcie znajdziesz też pole powierzchni stożka, ale tu nie było potrzebne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(96\\pi\\) | Zapomniano podzielić przez \\(3\\) - wyliczono \\(\\pi r^2 h\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) |<br>| B. \\(48\\pi\\) | Obrót wokół <strong>krótszej</strong> przyprostokątnej (\\(r=6\\), \\(h=4\\)) zamiast dłuższej |<br>| D. \\(8\\pi\\) | Prawdopodobnie użyto \\(r=2\\) (połowy boku?) lub inne przypadkowe podstawienie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowe jest rozróżnienie, który bok staje się <strong>osią obrotu</strong> (= wysokość stożka), a który <strong>promieniem</strong>. Oś obrotu to ta prosta, wokół której kręcimy - boki do niej prostopadłe tworzą promień.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - bez tego wychodzi objętość walca. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie mówi „dłuższa przyprostokątna&quot; - zawsze upewnij się, który bok jest dłuższy. Tu \\(6 &gt; 4\\), więc oś = \\(6\\), promień = \\(4\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Identyfikacja elementów stożka</h5>\n<p>Obracamy wokół <strong>dłuższej</strong> przyprostokątnej (\\(=6\\)). Wówczas:</p>\n<ul><li>wysokość stożka \\(h = 6\\) (oś obrotu),</li><li>promień podstawy \\(r = 4\\) (krótsza przyprostokątna).</li></ul>\n<h5>Krok - wzór na objętość</h5>\n<p>\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 16\\cdot 6 = \\dfrac{96\\pi}{3} = 32\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie wprost</h5>\n<p>\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = \\tfrac{1}{3}\\cdot 96\\pi = 32\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(96\\pi\\)</strong> - pominięto czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) (to objętość walca, nie stożka).</li><li><strong>B. \\(48\\pi\\)</strong> - użyto \\(h=4, r=6\\) (obrót wokół krótszej przyprostokątnej).</li><li><strong>D. \\(8\\pi\\)</strong> - błędy rachunkowe.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\); oś obrotu to wysokość, drugi bok to promień.</p>"}]}