{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nNa okręgu o równaniu \n\n\n\n4\n7\n2\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nleży punkt\nA.\n\n\n2,5\nA \nB.\n\n\n2, 5\nB \n\nC.\n\n\n2, 7\nC \n\nD.\n\n\n7, 2\nD \n\nNa okręgu o równaniu (x-2)^2+(y+7)^2=4 leży punkt A. A=(-2,5), B. B=(2,-5), C. C=(2,-7), D. D=(7,-2)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZbadanie czy dany punkt spełnia\nrównanie okręgu (II.8.g)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(P(A \\cup B) = 0{,}9\\)\n\n## Sposób 1 - korzystanie ze wzoru na sumę zdarzeń rozłącznych\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- \\(P(A) = 0{,}3\\)\n- \\(P(B') = 0{,}4\\), więc \\(P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\)\n- \\(A \\cap B = \\emptyset\\) - zdarzenia \\(A\\) i \\(B\\) są **rozłączne**\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(P(B)\\):\n\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\]\n\n**Krok 2.** Skoro \\(A \\cap B = \\emptyset\\), zdarzenia są rozłączne, więc wzór na sumę upraszcza się:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = P(A) + P(B) - 0\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy wartości:\n\\[P(A \\cup B) = 0{,}3 + 0{,}6 = \\mathbf{0{,}9}\\]\n\n## Sposób 2 - myślenie przez dopełnienie (weryfikacja)\n\nZdarzenie przeciwne do \\(A \\cup B\\) to \\(A' \\cap B'\\) - czyli sytuacja, gdy **ani \\(A\\), ani \\(B\\) nie zajdzie**.\n\nPonieważ \\(A \\cap B = \\emptyset\\) (zdarzenia rozłączne), możemy policzyć:\n\\[P(A' \\cap B') = 1 - P(A \\cup B)\\]\n\nSprawdzamy metodą uzupełnień: zdarzenia \\(A\\), \\(B\\) i \"żadne z nich\" pokrywają całą przestrzeń \\(\\Omega\\) (bo \\(A\\) i \\(B\\) są rozłączne):\n\\[P(\\Omega) = P(A) + P(B) + P(\\text{żadne}) = 1\\]\n\\[P(\\text{żadne}) = 1 - 0{,}3 - 0{,}6 = 0{,}1\\]\n\\[\\Rightarrow P(A \\cup B) = 1 - 0{,}1 = \\mathbf{0{,}9}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nWzór na sumę zdarzeń:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)\\]\nDla zdarzeń rozłącznych (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) skraca się do:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\]\n\nWłasność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(B') = 1 - P(B) \\quad \\Longleftrightarrow \\quad P(B) = 1 - P(B')\\]\n\nObie reguły są bezpośrednio na karcie wzorów - użyliśmy ich kolejno w Kroku 1 i Kroku 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((0{,}12)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B') = 0{,}3 \\cdot 0{,}4 = 0{,}12\\) - pomylono sumę zdarzeń z iloczynem, ignorując informację o rozłączności |\n| B \\((0{,}18)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B) = 0{,}3 \\cdot 0{,}6 = 0{,}18\\) - zamiast dodawania zastosowano mnożenie (wzór dla zdarzeń niezależnych, a nie sumy!) |\n| C \\((0{,}6)\\) | Podano samo \\(P(B) = 0{,}6\\), zapominając dodać \\(P(A)\\); lub błędnie utożsamiono \\(P(A \\cup B)\\) z \\(P(B)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(P(B') = 0{,}4\\) to **NIE** jest \\(P(B)\\). Zawsze najpierw przelicz: \\(P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\). To klasyczna pułapka na pośpiech.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\) działa **tylko gdy \\(A \\cap B = \\emptyset\\)**. W ogólnym przypadku musisz odjąć \\(P(A \\cap B)\\). Zadanie wprost podaje rozłączność - czytaj uważnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić rozłączności (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) z niezależnością zdarzeń. To dwa różne pojęcia - rozłączne zdarzenia (o niezerowych prawdopodobieństwach) są zawsze **zależne**!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Prawdopodobieństwo przeciwne + zdarzenia rozłączne\n\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.\\]\nZdarzenia \\(A, B\\) są **rozłączne** (\\(A\\cap B=\\emptyset\\)), więc:\n\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny z \\(P(A\\cap B) = 0\\)\n\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0 = 0{,}9.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}12\\)** - to \\(P(A)\\cdot P(B') = 0{,}3\\cdot 0{,}4\\) (niezależność, nie suma).\n- **B. \\(0{,}18\\)** - to \\(P(A)\\cdot P(B) = 0{,}3\\cdot 0{,}6\\).\n- **C. \\(0{,}6\\)** - to \\(P(B)\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(P(B') = 1 - P(B)\\); dla rozłącznych \\(A, B\\): \\(P(A\\cup B) = P(A) + P(B)\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Na okręgu o równaniu 



4
7
2
2
2




y
x
leży punkt
A.


2,5
A 
B.


2, 5
B 

C.


2, 7
C 

D.


7, 2
D 

Na okręgu o równaniu (x-2)^2+(y+7)^2=4 leży punkt A. A=(-2,5), B. B=(2,-5), C. C=(2,-7), D. D=(7,-2)

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zbadanie czy dany punkt spełnia
równanie okręgu (II.8.g)
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(P(A \\cup B) = 0{,}9\\)

\n

Sposób 1 - korzystanie ze wzoru na sumę zdarzeń rozłącznych

\n

Co wiemy z treści zadania:

\n\n

Krok 1. Wyznaczamy \\(P(B)\\):
\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\]

\n

Krok 2. Skoro \\(A \\cap B = \\emptyset\\), zdarzenia są rozłączne, więc wzór na sumę upraszcza się:
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = P(A) + P(B) - 0\\]

\n

Krok 3. Podstawiamy wartości:
\\[P(A \\cup B) = 0{,}3 + 0{,}6 = \\mathbf{0{,}9}\\]

\n

Sposób 2 - myślenie przez dopełnienie (weryfikacja)

\n

Zdarzenie przeciwne do \\(A \\cup B\\) to \\(A' \\cap B'\\) - czyli sytuacja, gdy ani \\(A\\), ani \\(B\\) nie zajdzie.

\n

Ponieważ \\(A \\cap B = \\emptyset\\) (zdarzenia rozłączne), możemy policzyć:
\\[P(A' \\cap B') = 1 - P(A \\cup B)\\]

\n

Sprawdzamy metodą uzupełnień: zdarzenia \\(A\\), \\(B\\) i "żadne z nich" pokrywają całą przestrzeń \\(\\Omega\\) (bo \\(A\\) i \\(B\\) są rozłączne):
\\[P(\\Omega) = P(A) + P(B) + P(\\text{żadne}) = 1\\]
\\[P(\\text{żadne}) = 1 - 0{,}3 - 0{,}6 = 0{,}1\\]
\\[\\Rightarrow P(A \\cup B) = 1 - 0{,}1 = \\mathbf{0{,}9}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)

\n

Wzór na sumę zdarzeń:
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)\\]
Dla zdarzeń rozłącznych (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) skraca się do:
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\]

\n

Własność zdarzenia przeciwnego:
\\[P(B') = 1 - P(B) \\quad \\Longleftrightarrow \\quad P(B) = 1 - P(B')\\]

\n

Obie reguły są bezpośrednio na karcie wzorów - użyliśmy ich kolejno w Kroku 1 i Kroku 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((0{,}12)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B') = 0{,}3 \\cdot 0{,}4 = 0{,}12\\) - pomylono sumę zdarzeń z iloczynem, ignorując informację o rozłączności |
| B \\((0{,}18)\\) | Obliczono \\(P(A) \\cdot P(B) = 0{,}3 \\cdot 0{,}6 = 0{,}18\\) - zamiast dodawania zastosowano mnożenie (wzór dla zdarzeń niezależnych, a nie sumy!) |
| C \\((0{,}6)\\) | Podano samo \\(P(B) = 0{,}6\\), zapominając dodać \\(P(A)\\); lub błędnie utożsamiono \\(P(A \\cup B)\\) z \\(P(B)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(P(B') = 0{,}4\\) to NIE jest \\(P(B)\\). Zawsze najpierw przelicz: \\(P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\\). To klasyczna pułapka na pośpiech.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P(A \\cup B) = P(A) + P(B)\\) działa tylko gdy \\(A \\cap B = \\emptyset\\). W ogólnym przypadku musisz odjąć \\(P(A \\cap B)\\). Zadanie wprost podaje rozłączność - czytaj uważnie!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić rozłączności (\\(A \\cap B = \\emptyset\\)) z niezależnością zdarzeń. To dwa różne pojęcia - rozłączne zdarzenia (o niezerowych prawdopodobieństwach) są zawsze zależne!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Prawdopodobieństwo przeciwne + zdarzenia rozłączne
\n

\\[P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.\\]
Zdarzenia \\(A, B\\) są rozłączne (\\(A\\cap B=\\emptyset\\)), więc:
\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór ogólny z \\(P(A\\cap B) = 0\\)
\n

\\[P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0 = 0{,}9.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(P(B') = 1 - P(B)\\); dla rozłącznych \\(A, B\\): \\(P(A\\cup B) = P(A) + P(B)\\).

"}]}