{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nFlagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć\nz trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej\ntkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego\nsamego koloru, a pas znajdujący się między nimi\nma być innego koloru.\nLiczba różnych takich flag, które można uszyć,\nmając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest\nrówna\nA. 100\nB. 99\nC. 90\nD. 19\nFlagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowych szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w $10$ kolorach, jest równa A. 100, B. 99, C. 90, D. 19","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZliczenie obiektów w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, stosowanie zasady\nmnożenia (II.10.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[h - r = \\frac{a}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt wymiarów przekroju osiowego\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez oś. Jego wymiary to:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro ten przekrój jest **kwadratem o boku \\(a\\)**, wszystkie boki są równe:\n\n\\[2r = a \\quad \\text{oraz} \\quad h = a\\]\n\nZ pierwszego równania:\n\\[r = \\frac{a}{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź B - obliczamy \\(h - r\\):\n\\[h - r = a - \\frac{a}{2} = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Zatem \\(h - r = \\dfrac{a}{2}\\) - odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie konkretnych wartości\n\nPrzyjmijmy np. \\(a = 10\\). Wtedy:\n\\[r = \\frac{10}{2} = 5, \\quad h = 10\\]\n\nSprawdzamy wszystkie odpowiedzi liczbowo:\n\n| Odpowiedź | Wyrażenie | Wynik | Czy = \\(\\frac{a}{2} = 5\\)? |\n| A | \\(r + h = 5 + 10\\) | \\(15\\) | \\(\\neq 10 = a\\) ✗ |\n| **B** | \\(h - r = 10 - 5\\) | **\\(5\\)** | \\(= \\frac{10}{2}\\) ✓ |\n| C | \\(r - h = 5 - 10\\) | \\(-5\\) | \\(\\neq 5\\) ✗ |\n| D | \\(r^2 + h^2 = 25 + 100\\) | \\(125\\) | \\(\\neq 100 = a^2\\) ✗ |\n\nTylko B daje prawidłowy wynik dla dowolnego \\(a\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji **przekroju osiowego walca** (geometryczne rozumowanie) i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli **promień** ze **średnicą** i przyjmuje \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\), wtedy \\(r + h = a + a = 2a \\neq a\\). Albo myśli, że przekrój ma bok \\(r\\), a nie \\(2r\\). |\n| C | Uczeń odejmuje w złej kolejności: \\(r - h\\) zamiast \\(h - r\\). Wynik jest \\(-\\frac{a}{2}\\), co nie jest równe \\(\\frac{a}{2}\\). |\n| D | Uczeń myli przekrój osiowy z **przekątną** kwadratu i stosuje twierdzenie Pitagorasa: \\(r^2 + h^2 = a^2\\). Ale to równanie opisywałoby sytuację, gdyby \\(a\\) było przekątną, a nie bokiem kwadratu. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy walca ma szerokość **\\(2r\\)** (średnica!), nie \\(r\\). To najczęstszy błąd - uczeń bierze \\(r = a\\) i wszystko się sypie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przekroju osiowego (prostokąt \\(2r \\times h\\)) z przekrojem prostopadłym do osi (koło o promieniu \\(r\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest \"magnetyczna\" - kojarzy się z Pitagorasem i kwadratem, ale twierdzenie Pitagorasa tu nie ma zastosowania, bo szukamy związku między \\(r\\), \\(h\\) i \\(a\\) wprost z definicji kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Geometria przekroju osiowego\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o:\n- szerokości = średnica podstawy = \\(2r\\),\n- wysokości = wysokość walca = \\(h\\).\n\nSkoro przekrój jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\\[2r = a \\text{ i } h = a.\\]\nStąd:\n\\[h - r = a - \\tfrac{a}{2} = \\tfrac{a}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(r = \\tfrac{a}{2}\\), \\(h = a\\).\n- \\(r+h = \\tfrac{a}{2} + a = \\tfrac{3a}{2}\\ne a\\) ✗ (A)\n- \\(h-r = a - \\tfrac{a}{2} = \\tfrac{a}{2}\\) ✓ (B)\n- \\(r-h = -\\tfrac{a}{2}\\ne\\tfrac{a}{2}\\) ✗ (C)\n- \\(r^2+h^2 = \\tfrac{a^2}{4} + a^2 = \\tfrac{5a^2}{4}\\ne a^2\\) ✗ (D)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(r+h\\ne a\\); zamienić na \\(2r+h\\) byłby błąd wymiarowy.\n- **C.** Zły znak (\\(rZadanie 24. (1 pkt)
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć
z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej
tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego
samego koloru, a pas znajdujący się między nimi
ma być innego koloru.
Liczba różnych takich flag, które można uszyć,
mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest
równa
A. 100
B. 99
C. 90
D. 19
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowych szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w $10$ kolorach, jest równa A. 100, B. 99, C. 90, D. 19

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, stosowanie zasady
mnożenia (II.10.b)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\[h - r = \\frac{a}{2}\\]

\n

Sposób 1 - Odczyt wymiarów przekroju osiowego

\n

Przekrój osiowy walca to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez oś. Jego wymiary to:

\n\n

Skoro ten przekrój jest kwadratem o boku \\(a\\), wszystkie boki są równe:

\n

\\[2r = a \\quad \\text{oraz} \\quad h = a\\]

\n

Z pierwszego równania:
\\[r = \\frac{a}{2}\\]

\n

Teraz sprawdzamy odpowiedź B - obliczamy \\(h - r\\):
\\[h - r = a - \\frac{a}{2} = \\frac{a}{2}\\]

\n

Zatem \\(h - r = \\dfrac{a}{2}\\) - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie konkretnych wartości

\n

Przyjmijmy np. \\(a = 10\\). Wtedy:
\\[r = \\frac{10}{2} = 5, \\quad h = 10\\]

\n

Sprawdzamy wszystkie odpowiedzi liczbowo:

\n

| Odpowiedź | Wyrażenie | Wynik | Czy = \\(\\frac{a}{2} = 5\\)? |
| A | \\(r + h = 5 + 10\\) | \\(15\\) | \\(\\neq 10 = a\\) ✗ |
| B | \\(h - r = 10 - 5\\) | \\(5\\) | \\(= \\frac{10}{2}\\) ✓ |
| C | \\(r - h = 5 - 10\\) | \\(-5\\) | \\(\\neq 5\\) ✗ |
| D | \\(r^2 + h^2 = 25 + 100\\) | \\(125\\) | \\(\\neq 100 = a^2\\) ✗ |

\n

Tylko B daje prawidłowy wynik dla dowolnego \\(a\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekroju osiowego walca (geometryczne rozumowanie) i podstawowe działania arytmetyczne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń myli promień ze średnicą i przyjmuje \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\), wtedy \\(r + h = a + a = 2a \\neq a\\). Albo myśli, że przekrój ma bok \\(r\\), a nie \\(2r\\). |
| C | Uczeń odejmuje w złej kolejności: \\(r - h\\) zamiast \\(h - r\\). Wynik jest \\(-\\frac{a}{2}\\), co nie jest równe \\(\\frac{a}{2}\\). |
| D | Uczeń myli przekrój osiowy z przekątną kwadratu i stosuje twierdzenie Pitagorasa: \\(r^2 + h^2 = a^2\\). Ale to równanie opisywałoby sytuację, gdyby \\(a\\) było przekątną, a nie bokiem kwadratu. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przekrój osiowy walca ma szerokość \\(2r\\) (średnica!), nie \\(r\\). To najczęstszy błąd - uczeń bierze \\(r = a\\) i wszystko się sypie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić przekroju osiowego (prostokąt \\(2r \\times h\\)) z przekrojem prostopadłym do osi (koło o promieniu \\(r\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź D jest "magnetyczna" - kojarzy się z Pitagorasem i kwadratem, ale twierdzenie Pitagorasa tu nie ma zastosowania, bo szukamy związku między \\(r\\), \\(h\\) i \\(a\\) wprost z definicji kwadratu.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Geometria przekroju osiowego
\n

Przekrój osiowy walca to prostokąt o:

\n\n

Skoro przekrój jest kwadratem o boku \\(a\\):
\\[2r = a \\text{ i } h = a.\\]
Stąd:
\\[h - r = a - \\tfrac{a}{2} = \\tfrac{a}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja
\n

\\(r = \\tfrac{a}{2}\\), \\(h = a\\).

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w przekroju osiowym walca pojawia się średnica \\(2r\\), a nie promień \\(r\\).

"}]}