{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji\nzapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa\nA. 400 zł\nB. 500 zł\nC. 600 zł\nD. 700 zł\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa A. 400 zł, B. 500 zł, C. 600 zł, D. 700 zł.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie średniej arytmetycznej\ni interpretowanie tego parametru\nw kontekście praktycznym (II.10.a)\nD\nA\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, 5)\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe + znak paraboli\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x - 10 = 0\\).\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = 9 + 40 = 49\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 - 7}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n**Krok 2: Ustal znak paraboli**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **zwrócona ramionami ku górze** (kształt ∪).\n\nTo oznacza, że trójmian przyjmuje wartości ujemne **między** pierwiastkami, a dodatnie **na zewnątrz**.\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności**\n\nSzukamy \\(x^2 - 3x - 10 < 0\\), czyli gdzie wykres jest **poniżej osi \\(OX\\)**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-2,\\ 5)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\n**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki**\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn** wynosi \\(-10\\), a **suma** wynosi \\(-3\\).\n\nSprawdzamy: \\(2 \\cdot (-5) = -10\\) oraz \\(2 + (-5) = -3\\). ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową**\n\n\\[(x + 2)(x - 5) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają **różne znaki**. Analizujemy:\n\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(x - 5\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in (-2,\\ 5)\\) ✓\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nPodstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki liniowe.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (-\\infty, -2) \\cup (5, +\\infty)\\) - to rozwiązanie nierówności **odwrotnej** \\(x^2 - 3x - 10 > 0\\). Parabola z \\(a > 0\\) jest ujemna **wewnątrz** przedziału między pierwiastkami, nie na zewnątrz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie włączamy końców przedziału do rozwiązania - nierówność jest **ostra** (\\(< 0\\)), więc w punktach \\(x = -2\\) i \\(x = 5\\) wyrażenie równa się zero, czyli warunek nie jest spełniony. Przedział jest **otwarty**: \\((-2, 5)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(\\Delta\\) uważaj na znak - \\(c = -10\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = +40\\), nie \\(-40\\). Błąd znaku przy \\(c\\) to jedna z najczęstszych wpadek.\n\n### Sposób 1 - Obliczenie pierwiastków i analiza znaku\n**Krok 1. Obliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2-3x-10\\).**\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-10) = 9 + 40 = 49.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{3-7}{2} = -2,\\qquad x_2 = \\dfrac{3+7}{2} = 5.\\]\n\n**Krok 2. Postać iloczynowa:**\n\\[x^2-3x-10 = (x+2)(x-5).\\]\n\n**Krok 3. Analiza znaku.** Parabola \\(y = x^2-3x-10\\) ma ramiona w górę (\\(a=1>0\\)). Nierówność \\(<0\\) jest spełniona **między pierwiastkami**:\n\\[\\boxed{x\\in(-2, 5)}\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[x^2-3x-10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{9}{4} - 10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{49}{4}.\\]\nNierówność:\n\\[\\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 < \\tfrac{49}{4}\\]\n\\[\\left|x-\\tfrac{3}{2}\\right| < \\tfrac{7}{2}\\]\n\\[-\\tfrac{7}{2} < x - \\tfrac{3}{2} < \\tfrac{7}{2}\\]\n\\[-2 < x < 5.\\]\n\n### Sposób CKE\nOblicz pierwiastki \\(x_1 = -2, x_2 = 5\\). Nierówność \\((x+2)(x-5)<0\\) spełniają \\(x\\in(-2, 5)\\).\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Dla paraboli z \\(a>0\\): \\(<0\\) między pierwiastkami, \\(>0\\) poza pierwiastkami.\n- Końce przedziałów **otwarte** (nierówność ostra).\n- Sprawdź znaki pierwiastków w postaci iloczynowej: \\((x+2)(x-5)\\) ma pierwiastki \\(-2\\) i \\(5\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji
zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa
A. 400 zł
B. 500 zł
C. 600 zł
D. 700 zł

\n

Poziom podstawowy
9
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa A. 400 zł, B. 500 zł, C. 600 zł, D. 700 zł.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie średniej arytmetycznej
i interpretowanie tego parametru
w kontekście praktycznym (II.10.a)
D
A
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, 5)\\)

\n

Sposób 1 - Miejsca zerowe + znak paraboli

\n

Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu

\n

Rozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x - 10 = 0\\).

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = 9 + 40 = 49\\]

\n

Pierwiastki:
\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 - 7}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]
\\[x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]

\n

Krok 2: Ustal znak paraboli

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest zwrócona ramionami ku górze (kształt ∪).

\n

To oznacza, że trójmian przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami, a dodatnie na zewnątrz.

\n

Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności

\n

Szukamy \\(x^2 - 3x - 10 < 0\\), czyli gdzie wykres jest poniżej osi \\(OX\\):

\n

\\[\\boxed{x \\in (-2,\\ 5)}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki

\n

Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \\(-10\\), a suma wynosi \\(-3\\).

\n

Sprawdzamy: \\(2 \\cdot (-5) = -10\\) oraz \\(2 + (-5) = -3\\). ✓

\n

Zatem:
\\[x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)\\]

\n

Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową

\n

\\[(x + 2)(x - 5) < 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają różne znaki. Analizujemy:

\n

| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(x - 5\\) | Iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-2 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in (-2,\\ 5)\\) ✓

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Podstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki liniowe.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Bardzo częsty błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (-\\infty, -2) \\cup (5, +\\infty)\\) - to rozwiązanie nierówności odwrotnej \\(x^2 - 3x - 10 > 0\\). Parabola z \\(a > 0\\) jest ujemna wewnątrz przedziału między pierwiastkami, nie na zewnątrz!
\n
⚠️ Uwaga: Nie włączamy końców przedziału do rozwiązania - nierówność jest ostra (\\(< 0\\)), więc w punktach \\(x = -2\\) i \\(x = 5\\) wyrażenie równa się zero, czyli warunek nie jest spełniony. Przedział jest otwarty: \\((-2, 5)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu \\(\\Delta\\) uważaj na znak - \\(c = -10\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = +40\\), nie \\(-40\\). Błąd znaku przy \\(c\\) to jedna z najczęstszych wpadek.
\n
Sposób 1 - Obliczenie pierwiastków i analiza znaku
\n

Krok 1. Obliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2-3x-10\\).
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-10) = 9 + 40 = 49.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 7.\\]
\\[x_1 = \\dfrac{3-7}{2} = -2,\\qquad x_2 = \\dfrac{3+7}{2} = 5.\\]

\n

Krok 2. Postać iloczynowa:
\\[x^2-3x-10 = (x+2)(x-5).\\]

\n

Krok 3. Analiza znaku. Parabola \\(y = x^2-3x-10\\) ma ramiona w górę (\\(a=1>0\\)). Nierówność \\(<0\\) jest spełniona między pierwiastkami:
\\[\\boxed{x\\in(-2, 5)}\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\[x^2-3x-10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{9}{4} - 10 = \\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 - \\tfrac{49}{4}.\\]
Nierówność:
\\[\\left(x-\\tfrac{3}{2}\\right)^2 < \\tfrac{49}{4}\\]
\\[\\left|x-\\tfrac{3}{2}\\right| < \\tfrac{7}{2}\\]
\\[-\\tfrac{7}{2} < x - \\tfrac{3}{2} < \\tfrac{7}{2}\\]
\\[-2 < x < 5.\\]

\n
Sposób CKE
\n

Oblicz pierwiastki \\(x_1 = -2, x_2 = 5\\). Nierówność \\((x+2)(x-5)<0\\) spełniają \\(x\\in(-2, 5)\\).

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"}]}