Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
8
15
0
x
x
Odpowiedź:
Nierówność kwadratowa x^2+8x+15 > 0 z rozwiązaniem.
Zadanie 26. (0-2)
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
2
5,
3
x
x
i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
rozłoży trójmian kwadratowy
2
8
15
x
x
na czynniki liniowe i zapisze nierówność
3
5
0
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
np.
1
2
3,
5,
,3
5,
x
x
x
albo
doprowadzi nierówność do postaci
4
1
x
(na przykład z postaci
2
4
1
0
x
otrzymuje
2
4
1
x
, a następnie
4
1
x
) i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:
, 5
3,
albo
5
x lub
3
x
albo
5,
3
x
x
albo
w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
1
2
5,
3
x
x
i zapisze,
np.
, 5
3,
x
popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
nierówności w postaci
, 3
5,
, to przyznajemy 2 punkty.
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
6
Zadania 27. (0-2)
I sposób rozwiązania
Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej
postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:
3
2
a
b
c
a
b
Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6:
2
3
a
b
c
a
b
Redukujemy wyrazy podobne:
2c
a
b
Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać
jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c
a
oraz c
b
. Wobec tego
2c
c
c
a
b
Co należało wykazać.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
jeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c
a
b
lub
0
c
a
c
b
,
lub
2
0
6
a
b
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.
II sposób rozwiązania
Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na
końcu dochodząc do drugiej.
Założenie: 0
a
b
c
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
6
2
3
6
2
2
2
2
a
b
c
a
b
a
b
c
a
b
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika
w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu
wyjściowej nierówności.
Zdający otrzymuje 2 pkt
jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności.
Rozumowanie i argumentacja
Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej
(V.2.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
7
Oznaczenie: niech \\(n\\) = liczba studentów w grupie.
\nKrok 1: Wyznaczymy sumę wieku studentów.
\nZe wzoru na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{\\text{suma}}{\\text{liczba osób}}\\]
Średnia studentów wynosi \\(23\\), więc:
\\[\\frac{S}{n} = 23 \\implies S = 23n\\]
gdzie \\(S\\) to suma wieku wszystkich studentów.
\nKrok 2: Uwzględniamy opiekuna.
\nPo dołączeniu opiekuna (wiek \\(39\\) lat) mamy \\(n + 1\\) osób, a suma wieku wzrasta do \\(S + 39\\).
\nNowa średnia wynosi \\(24\\):
\\[\\frac{S + 39}{n + 1} = 24\\]
Krok 3: Podstawiamy \\(S = 23n\\) i rozwiązujemy.
\n\\[\\frac{23n + 39}{n + 1} = 24\\]
\n\\[23n + 39 = 24(n + 1)\\]
\n\\[23n + 39 = 24n + 24\\]
\n\\[39 - 24 = 24n - 23n\\]
\n\\[15 = n\\]
\nZatem w grupie jest \\(n = 15\\) studentów.
\nTo elegancki sposób bez równań - myślimy o tym, jak zmiana składu grupy wpływa na średnią.
\nObserwacja: Średnia grupy samych studentów wynosi \\(23\\), a po dodaniu opiekuna rośnie do \\(24\\) - czyli wzrasta o \\(1\\).
\nOpiekun ma \\(39\\) lat, a nowa średnia to \\(24\\). Opiekun jest więc powyżej nowej średniej o:
\\[39 - 24 = 15 \\text{ lat „nadwyżki"}\\]
Ta nadwyżka \\(15\\) lat rozkłada się równo na wszystkich studentów, podnosząc średnią o \\(1\\) rok. Zatem:
\\[\\text{liczba studentów} = \\frac{15}{1} = 15\\]
Weryfikacja (sprawdzenie):
\nDział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy tego wzoru dwukrotnie: raz dla samych studentów (\\(\\bar{a} = 23\\)), raz dla grupy poszerzonej o opiekuna (\\(\\bar{a} = 24\\)).
\n⚠️ Uwaga: Nie mylić liczby studentów z liczbą wszystkich osób - opiekun to \\(n+1\\)-sza osoba, nie wchodzi w skład \\(n\\) studentów. Błędne ustawienie mianownika jako \\(n\\) zamiast \\(n+1\\) daje wynik \\(n = 16\\).\n
⚠️ Uwaga: Uważaj przy przechodzeniu od \\(\\frac{23n+39}{n+1} = 24\\) - mnożymy obie strony przez \\((n+1)\\), nie przez samo \\(n\\).\n
⚠️ Uwaga: Zawsze warto zweryfikować wynik, podstawiając \\(n = 15\\) z powrotem do warunków zadania (jak w Sposobie 2). Na maturze to chwila pracy, a chroni przed błędem obliczeniowym.\n
Niech \\(x\\) - liczba studentów. Łączna liczba lat studentów: \\(23x\\). Po dołączeniu opiekuna (39 lat) - \\((x+1)\\) osób z łączną liczbą lat \\(23x+39\\). Średnia:
\\[\\dfrac{23x+39}{x+1} = 24.\\]
\\[23x + 39 = 24(x+1)\\]
\\[23x + 39 = 24x + 24\\]
\\[15 = x.\\]
W tej grupie jest \\(15\\) studentów.
\nNiech \\(S\\) - łączna liczba lat studentów, \\(x\\) - liczba studentów.
\\[\\begin{cases} \\dfrac{S}{x} = 23 \\\\ \\dfrac{S+39}{x+1} = 24 \\end{cases}\\]
Pierwsze: \\(S = 23x\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[23x + 39 = 24(x+1) \\Rightarrow x = 15.\\]
Opiekun wniósł \\(39-23 = 16\\) lat ponad średnią studentów. Aby średnia wzrosła o \\(1\\) rok, te \\(16\\) lat trzeba rozłożyć na wszystkich: studentów + opiekuna. Każda osoba dostaje \\(1\\) rok dodatkowo:
\\[16 = x\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\ \\Rightarrow\\ x = 15.\\]
Średnia nowa: \\(\\dfrac{23x+39}{x+1} = 24\\), stąd \\(23x+39 = 24x+24\\), \\(x=15\\).
\nW tej grupie jest \\(15\\) studentów.
\n$x \\in (-\\infty, -5) \\cup (-3, \\infty)$
"}]}