{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0\na\nb\nc\n\n\n\n, to\n3\n2\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb .\n\nPoziom podstawowy\n11\nUzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0 < a < b < c, to (a+b+c)/3 > (a+b)/2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Pole trapezu = \\(\\mathbf{96}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z definicji tangensa\n\n**Narysujmy trapez prostokątny \\(ABCD\\):**\n\n- \\(AB = 10\\) - dłuższa podstawa (dół)\n- \\(DC = 6\\) - krótsza podstawa (góra)\n- \\(AD = h\\) - ramię prostopadłe do podstaw (kąt prosty przy \\(A\\) i \\(D\\))\n- \\(BC\\) - ramię ukośne\n- \\(\\angle ABC = \\alpha\\) - kąt ostry, \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\)\n\n**Krok 1: Opuśćmy prostopadłą z \\(C\\) na \\(AB\\).**\n\nPunkt \\(E\\) na \\(AB\\) taki, że \\(CE \\perp AB\\). Czworokąt \\(ADCE\\) jest prostokątem (bo \\(AD \\perp AB\\), \\(DC \\parallel AB\\), \\(CE \\perp AB\\)), więc:\n\\[CE = AD = h \\quad \\text{oraz} \\quad AE = DC = 6\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy odcinek \\(BE\\).**\n\\[BE = AB - AE = 10 - 6 = 4\\]\n\n**Krok 3: W trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)) kąt ostry \\(\\alpha\\) leży przy \\(B\\):**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{CE}{BE} = \\frac{h}{4} = 3\\]\n\\[h = 4 \\cdot 3 = 12\\]\n\n**Krok 4: Pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h = \\frac{6 + 10}{2} \\cdot 12 = 8 \\cdot 12 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na prostokąt i trójkąt\n\n**Trapez prostokątny = prostokąt + trójkąt prostokątny:**\n\nRamię ukośne \\(BC\\) \"przesunięte\" tworzy:\n- **Prostokąt** \\(ADCE\\) o bokach \\(6 \\times h\\)\n- **Trójkąt prostokątny** \\(BCE\\) o podstawie \\(BE = 4\\) i wysokości \\(h\\)\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 3\\) mamy \\(h = 12\\) (tak samo jak w Sposobie 1).\n\n\\[P = P_{\\text{prostokąt}} + P_{\\text{trójkąt}} = 6 \\cdot 12 + \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 = 72 + 24 = \\mathbf{96}\\]\n\nWyniki zgodne - pole wynosi \\(\\mathbf{96}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20) - wzór na pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\nUżyty w Sposobie 1 do końcowego obliczenia pola (sumaryczna długość podstaw \\(6 + 10 = 16\\), podzielona przez 2, razy wysokość 12).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} = \\frac{h}{4}\\]\nUżyty do wyznaczenia wysokości \\(h\\) trapezu z podanej wartości \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{różnica podstaw}}\\), a nie \\(\\frac{h}{\\text{podstawa}}\\). Różnica podstaw to \\(10 - 6 = 4\\), nie 6 ani 10! Typowy błąd: podstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{6}\\) lub \\(\\frac{h}{10}\\) - wtedy wychodzi błędna wysokość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trapez prostokątny ma **dwa** kąty proste (przy ramieniu prostopadłym), więc kąt ostry jest przy ramieniu ukośnym - to \\(\\angle ABC\\) przy \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to 90°, nie jest kątem ostrym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\) to duży tangens - kąt wynosi ok. \\(72°\\). Stąd wysokość \\(h = 12\\) jest trzy razy większa niż różnica podstaw \\(4\\). Jeśli wyjdzie ci \\(h < 4\\), to na pewno popełniłeś błąd (bo \\(\\operatorname{tg} > 1 \\Rightarrow h > \\text{różnica podstaw}\\)).\n\n### Sposób 1 - Wysokość z tangensa kąta ostrego\nOznaczmy podstawy: \\(a=6\\) (krótsza), \\(b=10\\) (dłuższa). W trapezie prostokątnym jedna z przyprostokątnych (bok prostopadły) = wysokość \\(h\\). Odcięcie dłuższej podstawy dłuższym rzutem krótszej tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(h\\) (pion) i \\(b-a = 4\\) (poziom), przy kącie ostrym \\(\\alpha\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{h}{b-a} = \\dfrac{h}{4} = 3.\\]\n\\[h = 12.\\]\n\n### Krok - pole trapezu\n\\[P = \\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = \\dfrac{192}{2} = 96.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i trójkąt\nTrapez = prostokąt \\(6\\times h\\) + trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(h\\) i \\(4\\).\n- \\(\\tan\\alpha = 3 \\Rightarrow h = 12\\).\n- Pole prostokąta: \\(6\\cdot 12 = 72\\).\n- Pole trójkąta: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 12 = 24\\).\n- Razem: \\(72+24 = 96\\).\n\n### Sposób CKE\n\\(\\tan\\alpha = \\tfrac{h}{4} = 3 \\Rightarrow h=12\\). Pole: \\(\\tfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = 96\\).\n\n### Odpowiedź\n**Pole trapezu: \\(P = 96\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Tangens ostrego kąta trapezu prostokątnego = \\(\\tfrac{h}{b-a}\\) (pion/pozioma różnica podstaw).\n- Wzór: \\(P_{\\text{trap}} = \\tfrac{(a+b)h}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0
a
b
c



, to
3
2




a
b
c
a
b .

\n

Poziom podstawowy
11
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0 < a < b < c, to (a+b+c)/3 > (a+b)/2.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Pole trapezu = \\(\\mathbf{96}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z definicji tangensa

\n

Narysujmy trapez prostokątny \\(ABCD\\):

\n\n

Krok 1: Opuśćmy prostopadłą z \\(C\\) na \\(AB\\).

\n

Punkt \\(E\\) na \\(AB\\) taki, że \\(CE \\perp AB\\). Czworokąt \\(ADCE\\) jest prostokątem (bo \\(AD \\perp AB\\), \\(DC \\parallel AB\\), \\(CE \\perp AB\\)), więc:
\\[CE = AD = h \\quad \\text{oraz} \\quad AE = DC = 6\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy odcinek \\(BE\\).
\\[BE = AB - AE = 10 - 6 = 4\\]

\n

Krok 3: W trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)) kąt ostry \\(\\alpha\\) leży przy \\(B\\):
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{CE}{BE} = \\frac{h}{4} = 3\\]
\\[h = 4 \\cdot 3 = 12\\]

\n

Krok 4: Pole trapezu:
\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h = \\frac{6 + 10}{2} \\cdot 12 = 8 \\cdot 12 = \\mathbf{96}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na prostokąt i trójkąt

\n

Trapez prostokątny = prostokąt + trójkąt prostokątny:

\n

Ramię ukośne \\(BC\\) "przesunięte" tworzy:

\n\n

Z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 3\\) mamy \\(h = 12\\) (tak samo jak w Sposobie 1).

\n

\\[P = P_{\\text{prostokąt}} + P_{\\text{trójkąt}} = 6 \\cdot 12 + \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 = 72 + 24 = \\mathbf{96}\\]

\n

Wyniki zgodne - pole wynosi \\(\\mathbf{96}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20) - wzór na pole trapezu:
\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]
Użyty w Sposobie 1 do końcowego obliczenia pola (sumaryczna długość podstaw \\(6 + 10 = 16\\), podzielona przez 2, razy wysokość 12).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} = \\frac{h}{4}\\]
Użyty do wyznaczenia wysokości \\(h\\) trapezu z podanej wartości \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{różnica podstaw}}\\), a nie \\(\\frac{h}{\\text{podstawa}}\\). Różnica podstaw to \\(10 - 6 = 4\\), nie 6 ani 10! Typowy błąd: podstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{6}\\) lub \\(\\frac{h}{10}\\) - wtedy wychodzi błędna wysokość.
\n
⚠️ Uwaga: Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy ramieniu prostopadłym), więc kąt ostry jest przy ramieniu ukośnym - to \\(\\angle ABC\\) przy \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to 90°, nie jest kątem ostrym.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\) to duży tangens - kąt wynosi ok. \\(72°\\). Stąd wysokość \\(h = 12\\) jest trzy razy większa niż różnica podstaw \\(4\\). Jeśli wyjdzie ci \\(h < 4\\), to na pewno popełniłeś błąd (bo \\(\\operatorname{tg} > 1 \\Rightarrow h > \\text{różnica podstaw}\\)).
\n
Sposób 1 - Wysokość z tangensa kąta ostrego
\n

Oznaczmy podstawy: \\(a=6\\) (krótsza), \\(b=10\\) (dłuższa). W trapezie prostokątnym jedna z przyprostokątnych (bok prostopadły) = wysokość \\(h\\). Odcięcie dłuższej podstawy dłuższym rzutem krótszej tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(h\\) (pion) i \\(b-a = 4\\) (poziom), przy kącie ostrym \\(\\alpha\\).

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{h}{b-a} = \\dfrac{h}{4} = 3.\\]
\\[h = 12.\\]

\n
Krok - pole trapezu
\n

\\[P = \\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = \\dfrac{192}{2} = 96.\\]

\n
Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i trójkąt
\n

Trapez = prostokąt \\(6\\times h\\) + trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(h\\) i \\(4\\).

\n\n
Sposób CKE
\n

\\(\\tan\\alpha = \\tfrac{h}{4} = 3 \\Rightarrow h=12\\). Pole: \\(\\tfrac{(6+10)\\cdot 12}{2} = 96\\).

\n
Odpowiedź
\n

Pole trapezu: \\(P = 96\\).

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"}]}