{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nLiczby\n1\n4\nx  i\n2\n3\nx \nsą pierwiastkami wielomianu\n\n36\n9\n4\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\nW\n. Oblicz\ntrzeci pierwiastek tego wielomianu.\nOdpowiedź:\nLiczby x_1=-4 i x_2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x^3+4x^2-9x-36. Oblicz trzecie pierwiastek tego wielomianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUwaga\nGdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx ) nie\nwykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt.\nI sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy wielomian\n( )\nW x w postaci\n\n\n\n\n\n4\n3\nW x\nx\nx\nx\na\n\n\n\n\n, gdzie a oznacza\ntrzeci pierwiastek wielomianu.\nStąd\n3\n2\n2\n( )\n12\n12\nW x\nx\nx\nax\nx\nax\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n2\n1\n12\n12\nx\na x\na x\na\n\n\n\n\n\n,\nPorównując współczynniki wielomianu\n( )\nW x otrzymujemy\n1\n4\n12\n9\n12\n36\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n3\na .\nTrzecim pierwiastkiem wielomianu\n( )\nW x jest liczba\n3\nx .\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przedstawi wielomian\n( )\nW x w postaci\n\n\n\n\n\n4\n3\nW x\nx\nx\nx\na\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nII sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy wielomian\n( )\nW x w postaci iloczynu:\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n2\n2\n( )\n4\n9\n36\n4\n9\n4\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPierwiastkami wielomianu\n\nW x są zatem\n1\n4\nx ,\n2\n3\nx \noraz\n3\n3\nx .\nOdpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba\n3\nx .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n( )\n9\n4\nlub\n( )\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n2\n( )\n12\n3\n\n\n\n\nW x\nx\nx\nx\nlub\n\n\n\n2\n( )\n7\n12\n3\n\n\n\n\nW x\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu\nna czynniki (II.3.d)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\nIII sposób rozwiązania\nLiczba\n4\n jest pierwiastkiem wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez dwumian \n\n4\nx \nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian\n\n\n4\nx \n\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n9\n:\n4\n4\n9\n36\n4\n9\n36\n9\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWielomian\n\nx\nW\nzapisujemy w postaci\n\n\n\n\n2\n4\n9\nW x\nx\nx\n\n\n\n,\nstąd\n\n\n\n\n\n4\n3\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nLiczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez dwumian \n\n3\nx \nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian\n\n\n3\nx \n\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n2\n7\n12\n:\n3\n4\n9\n36\n3\n7\n9\n7\n21\n12\n36\n12\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWielomian\n\nx\nW\nzapisujemy w postaci\n\n\n\n2\n7\n12\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nWyznaczamy pierwiastki trójmianu\n2\n7\n12\nx\nx\n\n\n:\n4\nx  i\n3\nx .\nLiczby 3 i 4\n są pierwiastkami wielomianu\n\nx\nW\n, więc wielomian\n\nx\nW\njest podzielny\nprzez \n\n\n3\n4\nx\nx\n\n\n= \n\n12\n2\n\nx\nx\nDzielimy wielomian\n\nx\nW\nprzez\n\n\n12\n2\n\nx\nx\n\n\n\n2\n3\n2\n3\n2\n2\n2\n3\n:\n12\n4\n9\n36\n12\n3\n3\n36\n3\n3\n36\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n\n\n\n2\n12\n3\nW x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n3\n4\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\nZatem pierwiastkami wielomianu są:\n1\n4\nx ,\n2\n3\nx \noraz\n3\n3\nx .\nOdpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba\n3\nx .\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n wykona dzielenie wielomianu przez dwumian \n\n4\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n9\nx \ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez dwumian \n\n3\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n7\n12\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez \n\n12\n2\n\nx\nx\n, otrzyma iloraz \n\n3\nx \ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n wykona dzielenie wielomianu przez \n\n4\nx \nlub \n\n3\nx \n, lub przez \n\n12\n2\n\nx\nx\npopełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza\npierwiastki otrzymanego ilorazu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:\n3\nx .\nUwaga\nDzieląc wielomian\n\nx\nW\nprzez dwumian \n\nx\np\n\nzdający może posłużyć się schematem\nHornera, np. przy dzieleniu przez \n\n4\nx \notrzymuje\n1\n4\n- 9\n- 36\n- 4\n1\n0\n- 9\n0\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy z jednego ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego\ni otrzymujemy\n\n\n1\n36\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\n\nx\n, stąd\n3\n3\n\n\nx\nlub\n\n\n1\n4\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\nx\n, stąd\n3\n3\n\n\nx\n,\nlub\n\n\n\n\n1\n9\n3\n4\n3\n4\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nProste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście\n\n\n0\n3 \n\nW\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego i na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek:\n3\n\n\nx\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10\nZadania 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n\n\n10\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n. Zatem współczynnik\nkierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n. Symetralna odcinka AB\nma równanie\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\n. Punkt\n\n\n2\n2 2 10\n,\n0,6\n2\n2\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\njest środkiem odcinka AB .\nSymetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc\n1\n6\n0\n2\nb\n\n\n. Stąd\n6\nb \n, a więc\nsymetralna odcinka AB ma równanie\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\n gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\noraz\nwspółczynnik kierunkowy prostej AB:\n2\na \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy\nalbo\n gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka\nalbo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy\nrównanie symetralnej\nalbo\n gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n2\na \noraz współczynnik\nkierunkowy prostej do niej prostopadłej\n1\n1\n2\na \ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nlub\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nII sposób rozwiązania\nObliczamy współrzędne środka odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\n. Obliczamy współrzędne wektora\n\n\n8,4\n\nAB\n. Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB\n\ni przechodzi\nprzez punkt S, więc jej równanie ma postać \n\n\n\n4\n0\n8\n6\n0\nx\ny\n\n\n\n\n, czyli\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy współrzędne wektora AB :\n\n\n8,4\n\nAB\noraz środek odcinka AB:\n\n\n6,0\n\nS\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie własności symetralnej odcinka do\nwyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nIII sposób rozwiązania\nZ rysunku w układzie współrzędnych\nodczytujemy współrzędne punktu\n\n\n6,0\n\nS\n, współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka\nAB:\n1\n2\na \ni zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB :\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne\nśrodka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo\noddalonych od jego końców. Jeśli punkt\n\n\n,\nP\nx y\n\nleży na symetralnej, to\nBP\nAP \nZatem \n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\n, czyli \n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nPo uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n10\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:\n0\n12\n2\n\n\ny\nx\nlub\n1\n6\n2\ny\nx\n\n\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nx\ny\nA\nB\nS\ny=2x+6\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie\nsymetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Tożsamość zachodzi dla każdego kąta ostrego \\(\\alpha\\) - zadanie polega na uzasadnieniu (dowodzie).\n\n## Sposób 1 - przekształcenie różnicy obu stron do zera\n\nSprawdzamy, czy różnica lewej i prawej strony wynosi 0.\n\nLiczymy:\n\\[\n(\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha)\n\\]\n\nPorządkujemy:\n\\[\n= \\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha - \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\n\\]\n\nGrupujemy wyraz z czwartymi potęgami i osobno resztę:\n\\[\n= (\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\nRóżnicę kwadratów \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2 - (\\cos^2\\alpha)^2\\) rozkładamy wzorem \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 1 - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\n\\]\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik \\((\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\\):**\n\\[\n= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(1 - 1) = (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 0 = 0\n\\]\n\nPonieważ różnica obu stron wynosi 0, mamy:\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare\n\\]\n\n## Sposób 2 - podstawienie \\(t = \\sin^2\\alpha\\)\n\nOznaczamy \\(t = \\sin^2\\alpha\\). Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(t \\in (0, 1)\\), a z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\n\\cos^2\\alpha = 1 - t\n\\]\n\n**Lewa strona:**\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = t^2 + (1-t) = t^2 - t + 1\n\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = t + (1-t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1\n\\]\n\nObie strony są równe \\(t^2 - t + 1\\), zatem:\n\\[\n\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo kluczowy wzór w obu metodach - bez niego podstawienie \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) i uproszczenie w Sposobie 1 nie byłoby możliwe.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) z \\(a = \\sin^2\\alpha\\), \\(b = \\cos^2\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj podstawiać konkretnych wartości kąta (np. \\(\\alpha = 45°\\)) - to sprawdzenie jednego przypadku, nie **uzasadnienie** dla wszystkich kątów ostrych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) łatwo zapomnieć, że \\(\\sin^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2\\) - to różnica kwadratów, nie różnica czwartych potęg o innej strukturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że \\((1-t)^2 = 1 - 2t + t^2\\), a nie \\(1 - t^2\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie i wyłączenie czynników\n\\[\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]\n\\[\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha - 1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha - 1).\\]\nZ tożsamości \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\): \\(\\sin^2\\alpha - 1 = -\\cos^2\\alpha\\) oraz \\(\\cos^2\\alpha - 1 = -\\sin^2\\alpha\\).\n\\[\\sin^2\\alpha\\cdot(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha\\cdot(-\\sin^2\\alpha)\\]\n\\[-\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = -\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha.\\]\n\\(L = P\\). **CND.**\n\n### Sposób 2 - Różnica kwadratów\n\\[\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = \\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]\nLewa strona: \\((\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha) = 1\\cdot(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha)\\).\nObie strony równe \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\). **CND.**\n\n### Sposób 3 - Bezpośrednie przekształcenie L\n\\[L = \\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha(1-\\cos^2\\alpha) + \\cos^2\\alpha\\]\n\\[= \\sin^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha(1-\\sin^2\\alpha) = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\cdot\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = P.\\]\n**CND.**\n\n### Sposób CKE\nPrzenosimy: \\(\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha-1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha-1)\\), \\(\\sin^2\\alpha(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha(-\\sin^2\\alpha)\\). \\(L=P\\). **CND.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Kluczowa tożsamość: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).\n- \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha)\\) - różnica kwadratów zastosowana do kwadratów sinusa i cosinusa.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Liczby
1
4
x  i
2
3
x 
są pierwiastkami wielomianu

36
9
4
2
3




x
x
x
x
W
. Oblicz
trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Odpowiedź:
Liczby x_1=-4 i x_2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x^3+4x^2-9x-36. Oblicz trzecie pierwiastek tego wielomianu.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Uwaga
Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu:
3
x ) nie
wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt.
I sposób rozwiązania
Przedstawiamy wielomian
( )
W x w postaci





4
3
W x
x
x
x
a




, gdzie a oznacza
trzeci pierwiastek wielomianu.
Stąd
3
2
2
( )
12
12
W x
x
x
ax
x
ax
a










3
2
1
12
12
x
a x
a x
a





,
Porównując współczynniki wielomianu
( )
W x otrzymujemy
1
4
12
9
12
36
a
a
a










Stąd
3
a .
Trzecim pierwiastkiem wielomianu
( )
W x jest liczba
3
x .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przedstawi wielomian
( )
W x w postaci





4
3
W x
x
x
x
a




i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:
3
x .
II sposób rozwiązania
Przedstawiamy wielomian
( )
W x w postaci iloczynu:








3
2
2
( )
4
9
36
4
9
4
4
3
3
W x
x
x
x
x
x
x
x
x
x












Pierwiastkami wielomianu

W x są zatem
1
4
x ,
2
3
x 
oraz
3
3
x .
Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba
3
x .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.:







2
( )
9
4
lub
( )
4
3
3
W x
x
x
W x
x
x
x







lub



2
( )
12
3




W x
x
x
x
lub



2
( )
7
12
3




W x
x
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:
3
x .
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu
na czynniki (II.3.d)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
8
III sposób rozwiązania
Liczba
4
 jest pierwiastkiem wielomianu

x
W
, więc wielomian

x
W
jest podzielny
przez dwumian 

4
x 
Dzielimy wielomian

x
W
przez dwumian


4
x 




2
3
2
3
2
9
:
4
4
9
36
4
9
36
9
36
x
x
x
x
x
x
x
x
x












Wielomian

x
W
zapisujemy w postaci




2
4
9
W x
x
x



,
stąd





4
3
3
W x
x
x
x




Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu

x
W
, więc wielomian

x
W
jest podzielny
przez dwumian 

3
x 
Dzielimy wielomian

x
W
przez dwumian


3
x 




2
3
2
3
2
2
2
7
12
:
3
4
9
36
3
7
9
7
21
12
36
12
36
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
















Wielomian

x
W
zapisujemy w postaci



2
7
12
3
W x
x
x
x




Wyznaczamy pierwiastki trójmianu
2
7
12
x
x


:
4
x  i
3
x .
Liczby 3 i 4
 są pierwiastkami wielomianu

x
W
, więc wielomian

x
W
jest podzielny
przez 


3
4
x
x


= 

12
2

x
x
Dzielimy wielomian

x
W
przez


12
2

x
x



2
3
2
3
2
2
2
3
:
12
4
9
36
12
3
3
36
3
3
36
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
















Zatem



2
12
3
W x
x
x
x







3
4
3




x
x
x
Zatem pierwiastkami wielomianu są:
1
4
x ,
2
3
x 
oraz
3
3
x .
Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba
3
x .
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
9
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 wykona dzielenie wielomianu przez dwumian 

4
x 
, otrzyma iloraz 

2
9
x 
i na
tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
 wykona dzielenie wielomianu przez dwumian 

3
x 
, otrzyma iloraz 

2
7
12
x
x


i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
 wykona dzielenie wielomianu przez 

12
2

x
x
, otrzyma iloraz 

3
x 
i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
 wykona dzielenie wielomianu przez 

4
x 
lub 

3
x 
, lub przez 

12
2

x
x
popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza
pierwiastki otrzymanego ilorazu.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu:
3
x .
Uwaga
Dzieląc wielomian

x
W
przez dwumian 

x
p

zdający może posłużyć się schematem
Hornera, np. przy dzieleniu przez 

4
x 
otrzymuje
1
4

\n\n

1
0

\n\n

0
IV sposób rozwiązania
Korzystamy z jednego ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego
i otrzymujemy


1
36
3
4
3






x
, stąd
3
3


x
lub


1
4
3
4
3





x
, stąd
3
3


x
,
lub




1
9
3
4
3
4
3
3









x
x
Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście


0
3 

W
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego i na
tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek:
3


x
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
10
Zadania 29. (0-2)
I sposób rozwiązania
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:


10
2
2
2
2



. Zatem współczynnik
kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy
1
2







. Symetralna odcinka AB
ma równanie
1
2
y
x
b


. Punkt


2
2 2 10
,
0,6
2
2
S










jest środkiem odcinka AB .
Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc
1
6
0
2
b


. Stąd
6
b 
, a więc
symetralna odcinka AB ma równanie
1
6
2
y
x


Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
 gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB:


6,0

S
oraz
współczynnik kierunkowy prostej AB:
2
a 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy
albo
 gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka
albo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy
równanie symetralnej
albo
 gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB:
2
a 
oraz współczynnik
kierunkowy prostej do niej prostopadłej
1
1
2
a 
i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:
1
6
2
y
x


lub
0
12
2


y
x
II sposób rozwiązania
Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:


6,0

S
. Obliczamy współrzędne wektora


8,4

AB
. Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB

i przechodzi
przez punkt S, więc jej równanie ma postać 



4
0
8
6
0
x
y




, czyli
0
12
2


y
x
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wyznaczy współrzędne wektora AB :


8,4

AB
oraz środek odcinka AB:


6,0

S
i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Użycie i tworzenie strategii
Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do
wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
11
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:
0
12
2


y
x
lub
1
6
2
y
x


III sposób rozwiązania
Z rysunku w układzie współrzędnych
odczytujemy współrzędne punktu


6,0

S
, współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka
AB:
1
2
a 
i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB :
1
6
2
y
x


Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne
środka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie
lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB:
0
12
2


y
x
lub
1
6
2
y
x


IV sposób rozwiązania
Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo
oddalonych od jego końców. Jeśli punkt


,
P
x y

leży na symetralnej, to
BP
AP 
Zatem 







2
2
2
2
10
2
2
2







y
x
y
x
, czyli 







2
2
2
2
10
2
2
2







y
x
y
x
Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
0
12
2


y
x
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie








2
2
2
2
10
2
2
2







y
x
y
x
i na tym poprzestanie lub
dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB:
0
12
2


y
x
lub
1
6
2
y
x


-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
A
B
S
y=2x+6
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
12
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie
symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Tożsamość zachodzi dla każdego kąta ostrego \\(\\alpha\\) - zadanie polega na uzasadnieniu (dowodzie).

\n

Sposób 1 - przekształcenie różnicy obu stron do zera

\n

Sprawdzamy, czy różnica lewej i prawej strony wynosi 0.

\n

Liczymy:
\\[
(\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha)
\\]

\n

Porządkujemy:
\\[
= \\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha - \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha
\\]

\n

Grupujemy wyraz z czwartymi potęgami i osobno resztę:
\\[
= (\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)
\\]

\n

Różnicę kwadratów \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2 - (\\cos^2\\alpha)^2\\) rozkładamy wzorem \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):
\\[
= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha) - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)
\\]

\n

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\[
= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 1 - (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)
\\]

\n

Wyłączamy wspólny czynnik \\((\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)\\):
\\[
= (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha)(1 - 1) = (\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha) \\cdot 0 = 0
\\]

\n

Ponieważ różnica obu stron wynosi 0, mamy:
\\[
\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare
\\]

\n

Sposób 2 - podstawienie \\(t = \\sin^2\\alpha\\)

\n

Oznaczamy \\(t = \\sin^2\\alpha\\). Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(t \\in (0, 1)\\), a z jedynki trygonometrycznej:
\\[
\\cos^2\\alpha = 1 - t
\\]

\n

Lewa strona:
\\[
\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = t^2 + (1-t) = t^2 - t + 1
\\]

\n

Prawa strona:
\\[
\\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = t + (1-t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1
\\]

\n

Obie strony są równe \\(t^2 - t + 1\\), zatem:
\\[
\\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha \\qquad \\blacksquare
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
To kluczowy wzór w obu metodach - bez niego podstawienie \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) i uproszczenie w Sposobie 1 nie byłoby możliwe.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyta w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) z \\(a = \\sin^2\\alpha\\), \\(b = \\cos^2\\alpha\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj podstawiać konkretnych wartości kąta (np. \\(\\alpha = 45°\\)) - to sprawdzenie jednego przypadku, nie uzasadnienie dla wszystkich kątów ostrych!
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładaniu \\(\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha\\) łatwo zapomnieć, że \\(\\sin^4\\alpha = (\\sin^2\\alpha)^2\\) - to różnica kwadratów, nie różnica czwartych potęg o innej strukturze.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 pamiętaj, że \\((1-t)^2 = 1 - 2t + t^2\\), a nie \\(1 - t^2\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!
\n
Sposób 1 - Przeniesienie i wyłączenie czynników
\n

\\[\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]
\\[\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha - 1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha - 1).\\]
Z tożsamości \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\): \\(\\sin^2\\alpha - 1 = -\\cos^2\\alpha\\) oraz \\(\\cos^2\\alpha - 1 = -\\sin^2\\alpha\\).
\\[\\sin^2\\alpha\\cdot(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha\\cdot(-\\sin^2\\alpha)\\]
\\[-\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = -\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha.\\]
\\(L = P\\). CND.

\n
Sposób 2 - Różnica kwadratów
\n

\\[\\sin^4\\alpha - \\cos^4\\alpha = \\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha.\\]
Lewa strona: \\((\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha)(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha) = 1\\cdot(\\sin^2\\alpha-\\cos^2\\alpha)\\).
Obie strony równe \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\). CND.

\n
Sposób 3 - Bezpośrednie przekształcenie L
\n

\\[L = \\sin^4\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha(1-\\cos^2\\alpha) + \\cos^2\\alpha\\]
\\[= \\sin^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha(1-\\sin^2\\alpha) = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\cdot\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha + \\cos^4\\alpha = P.\\]
CND.

\n
Sposób CKE
\n

Przenosimy: \\(\\sin^4\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos^4\\alpha - \\cos^2\\alpha\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha(\\sin^2\\alpha-1) = \\cos^2\\alpha(\\cos^2\\alpha-1)\\), \\(\\sin^2\\alpha(-\\cos^2\\alpha) = \\cos^2\\alpha(-\\sin^2\\alpha)\\). \\(L=P\\). CND.

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -3$

"}]}