{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nWyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach\n\n\n2\n,2\n\n\nA\ni\n\n\n10\n,2\n\nB\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nWyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2,2) i B=(2,10).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Algebra: podstawienie \\(n, n+1, n+2\\)\n\n**Oznaczamy** trzy kolejne liczby całkowite jako \\(n\\), \\(n+1\\), \\(n+2\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{Z}\\).\n\nObliczamy sumę ich kwadratów:\n\n\\[S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\\]\n\nRozwijamy każdy nawias korzystając ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)\\]\n\n\\[S = 3n^2 + 6n + 5\\]\n\nTeraz wyciągamy \\(3\\) przed nawias tak, żeby zostało coś widocznego:\n\n\\[S = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2\\]\n\n\\[S = 3(n+1)^2 + 2\\]\n\n**Wniosek:** Ponieważ \\(3(n+1)^2\\) jest podzielne przez \\(3\\) (to wielokrotność trójki), to:\n\\[S = 3(n+1)^2 + 2 \\equiv 2 \\pmod{3}\\]\n\nZatem \\(S\\) przy dzieleniu przez \\(3\\) daje zawsze resztę \\(2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Reszty z dzielenia przez 3 (arytmetyka modularna)\n\nKażda liczba całkowita daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(0\\), \\(1\\) lub \\(2\\). Wśród **trzech kolejnych** liczb całkowitych musi wystąpić po jednej z każdego rodzaju - jedna daje resztę \\(0\\), jedna \\(1\\), jedna \\(2\\).\n\nSprawdzamy kwadraty tych reszt modulo \\(3\\):\n\n| Reszta \\(n \\bmod 3\\) | \\(n^2 \\bmod 3\\) |\n| \\(0\\) | \\(0^2 = 0 \\equiv 0\\) |\n| \\(1\\) | \\(1^2 = 1 \\equiv 1\\) |\n| \\(2\\) | \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\) |\n\nTrzy kolejne liczby całkowite dają reszty \\(0, 1, 2\\) (w jakiejś kolejności), więc sumy kwadratów reszt:\n\n\\[0 + 1 + 1 = 2\\]\n\nZatem:\n\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \\equiv 0 + 1 + 1 = 2 \\pmod{3}\\]\n\n**Wniosek:** Niezależnie od wyboru trzech kolejnych liczb całkowitych, suma ich kwadratów daje resztę \\(2\\) z dzielenia przez \\(3\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((n+1)^2\\) i \\((n+2)^2\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty CKE - uzasadnienie opiera się na przekształceniach algebraicznych i własnościach reszt z dzielenia.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów liczbowych (np. \\(1^2+2^2+3^2=14=3\\cdot4+2\\)). Maturalne uzasadnienie musi być **ogólne** - dla **dowolnego** \\(n \\in \\mathbb{Z}\\), nie tylko dla konkretnych wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że trzy kolejne liczby to \\(n, n+1, n+2\\) - nie \\(n, n+2, n+4\\) (te parzyste) ani \\(n-1, n, n+1\\) (też poprawnie, ale wygodniej zaczynać od \\(n\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowy jest krok rozbicia \\(5 = 3 + 2\\), żeby wyłączyć \\(3\\) przed nawias. Bez tego kroku nie widać wyraźnie, jaka jest reszta.\n\n### Sposób 1 - Oznaczenie trzech kolejnych liczb przez \\(n-1, n, n+1\\)\nNiech \\(n\\in\\mathbb{Z}\\). Trzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów:\n\\[(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2-2n+1) + n^2 + (n^2+2n+1) = 3n^2 + 2.\\]\n\nZapis \\(3n^2 + 2\\) wyraźnie pokazuje, że dzieląc przez \\(3\\) otrzymujemy iloraz \\(n^2\\) i **resztę \\(2\\)**.\n**CND.**\n\n### Sposób 2 - Oznaczenie \\(n, n+1, n+2\\)\n\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) = 3n^2 + 6n + 5.\\]\nWyłączamy \\(3\\):\n\\[3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2+2n+1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2.\\]\nReszta z dzielenia przez \\(3\\) wynosi \\(2\\). **CND.**\n\n### Sposób 3 - Kongruencje modulo \\(3\\)\nSpośród trzech kolejnych liczb całkowitych: jedna \\(\\equiv 0\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 1\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 2\\pmod 3\\).\nKwadraty: \\(0^2 = 0\\), \\(1^2 = 1\\), \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\pmod 3\\). Suma: \\(0 + 1 + 1 = 2\\pmod 3\\). **CND.**\n\n### Sposób CKE\nTrzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów = \\(3n^2+2\\). Reszta z dzielenia przez \\(3\\) to \\(2\\). **CND.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Kluczowe wyrażenie w postaci \\(3\\cdot(\\text{coś}) + 2\\).\n- Wybór trzech kolejnych: \\(n-1, n, n+1\\) lub \\(n, n+1, n+2\\) - oba prowadzą do celu.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"analityczna","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach


2
,2


A
i


10
,2

B
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2,2) i B=(2,10).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(2\\)

\n

Sposób 1 - Algebra: podstawienie \\(n, n+1, n+2\\)

\n

Oznaczamy trzy kolejne liczby całkowite jako \\(n\\), \\(n+1\\), \\(n+2\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{Z}\\).

\n

Obliczamy sumę ich kwadratów:

\n

\\[S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\\]

\n

Rozwijamy każdy nawias korzystając ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):

\n

\\[S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)\\]

\n

\\[S = 3n^2 + 6n + 5\\]

\n

Teraz wyciągamy \\(3\\) przed nawias tak, żeby zostało coś widocznego:

\n

\\[S = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2\\]

\n

\\[S = 3(n+1)^2 + 2\\]

\n

Wniosek: Ponieważ \\(3(n+1)^2\\) jest podzielne przez \\(3\\) (to wielokrotność trójki), to:
\\[S = 3(n+1)^2 + 2 \\equiv 2 \\pmod{3}\\]

\n

Zatem \\(S\\) przy dzieleniu przez \\(3\\) daje zawsze resztę \\(2\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Reszty z dzielenia przez 3 (arytmetyka modularna)

\n

Każda liczba całkowita daje przy dzieleniu przez \\(3\\) resztę \\(0\\), \\(1\\) lub \\(2\\). Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych musi wystąpić po jednej z każdego rodzaju - jedna daje resztę \\(0\\), jedna \\(1\\), jedna \\(2\\).

\n

Sprawdzamy kwadraty tych reszt modulo \\(3\\):

\n

| Reszta \\(n \\bmod 3\\) | \\(n^2 \\bmod 3\\) |
| \\(0\\) | \\(0^2 = 0 \\equiv 0\\) |
| \\(1\\) | \\(1^2 = 1 \\equiv 1\\) |
| \\(2\\) | \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\) |

\n

Trzy kolejne liczby całkowite dają reszty \\(0, 1, 2\\) (w jakiejś kolejności), więc sumy kwadratów reszt:

\n

\\[0 + 1 + 1 = 2\\]

\n

Zatem:
\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \\equiv 0 + 1 + 1 = 2 \\pmod{3}\\]

\n

Wniosek: Niezależnie od wyboru trzech kolejnych liczb całkowitych, suma ich kwadratów daje resztę \\(2\\) z dzielenia przez \\(3\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((n+1)^2\\) i \\((n+2)^2\\).

\n

W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty CKE - uzasadnienie opiera się na przekształceniach algebraicznych i własnościach reszt z dzielenia.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów liczbowych (np. \\(1^2+2^2+3^2=14=3\\cdot4+2\\)). Maturalne uzasadnienie musi być ogólne - dla dowolnego \\(n \\in \\mathbb{Z}\\), nie tylko dla konkretnych wartości.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że trzy kolejne liczby to \\(n, n+1, n+2\\) - nie \\(n, n+2, n+4\\) (te parzyste) ani \\(n-1, n, n+1\\) (też poprawnie, ale wygodniej zaczynać od \\(n\\)).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 kluczowy jest krok rozbicia \\(5 = 3 + 2\\), żeby wyłączyć \\(3\\) przed nawias. Bez tego kroku nie widać wyraźnie, jaka jest reszta.
\n
Sposób 1 - Oznaczenie trzech kolejnych liczb przez \\(n-1, n, n+1\\)
\n

Niech \\(n\\in\\mathbb{Z}\\). Trzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów:
\\[(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2-2n+1) + n^2 + (n^2+2n+1) = 3n^2 + 2.\\]

\n

Zapis \\(3n^2 + 2\\) wyraźnie pokazuje, że dzieląc przez \\(3\\) otrzymujemy iloraz \\(n^2\\) i resztę \\(2\\).
CND.

\n
Sposób 2 - Oznaczenie \\(n, n+1, n+2\\)
\n

\\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) = 3n^2 + 6n + 5.\\]
Wyłączamy \\(3\\):
\\[3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2+2n+1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2.\\]
Reszta z dzielenia przez \\(3\\) wynosi \\(2\\). CND.

\n
Sposób 3 - Kongruencje modulo \\(3\\)
\n

Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych: jedna \\(\\equiv 0\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 1\\pmod 3\\), jedna \\(\\equiv 2\\pmod 3\\).
Kwadraty: \\(0^2 = 0\\), \\(1^2 = 1\\), \\(2^2 = 4 \\equiv 1\\pmod 3\\). Suma: \\(0 + 1 + 1 = 2\\pmod 3\\). CND.

\n
Sposób CKE
\n

Trzy kolejne: \\(n-1, n, n+1\\). Suma kwadratów = \\(3n^2+2\\). Reszta z dzielenia przez \\(3\\) to \\(2\\). CND.

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = -\\dfrac{1}{2}x + 6$ lub $x + 2y - 12 = 0$

"}]}