{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba \n\n\n\n2\n2\n4\n2\n3\n2\n\n\n\njest równa\nA.\n2\n10\n19 \nB.\n2\n4\n17 \nC.\n2\n14\n15 \nD.\n2\n6\n19 \nLiczba (3 - pierwiastek z 2)^2 + 4(2 - pierwiastek z 2) jest równa A. 19 - 10pierwiastków z 2, B. 17 - 4pierwiastków z 2, C. 15 + 14pierwiastków z 2, D. 19 + 6pierwiastków z 2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych z wykorzystaniem wzorów\nskróconego mnożenia (II.1.a; 1.g; 2.a)\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - dwa rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Zasada iloczynu zerowego\n\nJeśli iloczyn kilku czynników równa się zero, to **co najmniej jeden z czynników musi być zerem**.\n\nMamy:\n\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0\\]\n\nRozpatruję każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x^2 + 1 = 0 \\implies x^2 = -1\\]\n\nAle \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\), więc \\(x^2 = -1\\) **nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych**. ✗\n\n**Wynik:** Równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzam, że \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) rzeczywiście spełniają równanie:\n\nDla \\(x = -5\\):\n\\[(-5+5)(-5-3)((-5)^2+1) = 0 \\cdot (-8) \\cdot 26 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\):\n\\[(3+5)(3-3)(3^2+1) = 8 \\cdot 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzam też, dlaczego \\(x^2 + 1 = 0\\) nie daje rozwiązań:\n\nWykres paraboli \\(y = x^2 + 1\\) ma wierzchołek w punkcie \\((0, 1)\\) i jest **całkowicie powyżej osi \\(OX\\)** - nigdzie jej nie przecina. Minimum to \\(y = 1 > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **zasada iloczynu zerowego** (podstawowa własność działań na liczbach) oraz obserwacja, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\nPomocniczo można odwołać się do:\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nDla \\(x^2 + 1\\): \\(a = 1\\), \\(b = 0\\), \\(c = 1\\), więc \\(\\Delta = 0 - 4 = -4 < 0\\) - brak miejsc zerowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pomylono znaki: zamiast \\(x+5=0 \\Rightarrow x=-5\\) uczeń \"odczytał\" \\(x=+5\\), i analogicznie \\(x=+3 \\Rightarrow x=-3\\). Typowe pomieszanie znaku w nawiasie. |\n| C | Uczeń \"rozwiązał\" \\(x^2+1=0\\) jako \\(x^2=1\\), pomijając \"+1\" i dostał \\(x=\\pm 1\\). Błąd: zgubiono stałą po prawej stronie. |\n| D | Połączenie obu błędów: pomylone znaki z nawiasów (\\(x=5\\), \\(x=-3\\)) **oraz** błędne rozwiązanie \\(x^2+1=0\\) jako \\(x=\\pm 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 1\\) **nigdy nie daje rozwiązań rzeczywistych** - uczniowie często mechanicznie \"rozwiązują\" \\(x^2 = -1\\) i piszą \\(x = \\pm 1\\), zapominając, że pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z nawiasu \\((x + 5)\\) odczytujemy \\(x = -5\\), **nie** \\(x = +5\\). Znak się odwraca! Zapamiętaj: jeśli w nawiasie stoi \\((x + a)\\), to miejsce zerowe to \\(x = -a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To równanie stopnia 4 może mieć co najwyżej 4 rozwiązania **zespolone**, ale w zadaniach maturalnych szukamy tylko rozwiązań **rzeczywistych** - a tych jest tu tylko 2.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn jest zerem gdy co najmniej jeden czynnik = 0\n\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0.\\]\n- \\(x+5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\).\n- \\(x-3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\n- \\(x^2+1 = 0 \\Rightarrow x^2 = -1\\) - **brak rozwiązań rzeczywistych** (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny).\n\nZatem równanie ma **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x=-5\\) i \\(x=3\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza czynnika \\(x^2+1\\)\n\\(x^2 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc \\(x^2+1 \\ge 1 > 0\\). Ten czynnik nigdy nie zeruje równania, więc rozwiązania pochodzą tylko z \\((x+5)(x-3) = 0\\): \\(x\\in\\{-5, 3\\}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Znaki odwrotne: z \\(x+5=0\\) wynika \\(x=-5\\), a nie \\(x=-3\\); z \\(x-3=0\\) wynika \\(x=3\\), nie \\(x=5\\).\n- **C, D.** Błędne założenie, że \\(x^2+1 = 0\\) ma rozwiązania \\(\\pm 1\\) (to byłoby \\(x^2-1=0\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(x^2+1 > 0\\) zawsze - nie daje pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Liczba <br><br><br><br>2<br>2<br>4<br>2<br>3<br>2<br><br><br><br>jest równa<br>A.<br>2<br>10<br>19 <br>B.<br>2<br>4<br>17 <br>C.<br>2<br>14<br>15 <br>D.<br>2<br>6<br>19 <br>Liczba (3 - pierwiastek z 2)^2 + 4(2 - pierwiastek z 2) jest równa A. 19 - 10pierwiastków z 2, B. 17 - 4pierwiastków z 2, C. 15 + 14pierwiastków z 2, D. 19 + 6pierwiastków z 2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykonanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów<br>skróconego mnożenia (II.1.a; 1.g; 2.a)<br>A<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - dwa rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zasada iloczynu zerowego</h4>\n<p>Jeśli iloczyn kilku czynników równa się zero, to <strong>co najmniej jeden z czynników musi być zerem</strong>.</p>\n<p>Mamy:<br>\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0\\]</p>\n<p>Rozpatruję każdy czynnik osobno:</p>\n<p><strong>Czynnik 1:</strong><br>\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Czynnik 2:</strong><br>\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Czynnik 3:</strong><br>\\[x^2 + 1 = 0 \\implies x^2 = -1\\]</p>\n<p>Ale \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\), więc \\(x^2 = -1\\) <strong>nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych</strong>. ✗</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> Równanie ma dokładnie <strong>dwa rozwiązania rzeczywiste</strong>: \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzam, że \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) rzeczywiście spełniają równanie:</p>\n<p>Dla \\(x = -5\\):<br>\\[(-5+5)(-5-3)((-5)^2+1) = 0 \\cdot (-8) \\cdot 26 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla \\(x = 3\\):<br>\\[(3+5)(3-3)(3^2+1) = 8 \\cdot 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzam też, dlaczego \\(x^2 + 1 = 0\\) nie daje rozwiązań:</p>\n<p>Wykres paraboli \\(y = x^2 + 1\\) ma wierzchołek w punkcie \\((0, 1)\\) i jest <strong>całkowicie powyżej osi \\(OX\\)</strong> - nigdzie jej nie przecina. Minimum to \\(y = 1 &gt; 0\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>zasada iloczynu zerowego</strong> (podstawowa własność działań na liczbach) oraz obserwacja, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\).</p>\n<p>Pomocniczo można odwołać się do:</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wyróżnik trójmianu:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Dla \\(x^2 + 1\\): \\(a = 1\\), \\(b = 0\\), \\(c = 1\\), więc \\(\\Delta = 0 - 4 = -4 &lt; 0\\) - brak miejsc zerowych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Pomylono znaki: zamiast \\(x+5=0 \\Rightarrow x=-5\\) uczeń &quot;odczytał&quot; \\(x=+5\\), i analogicznie \\(x=+3 \\Rightarrow x=-3\\). Typowe pomieszanie znaku w nawiasie. |<br>| C | Uczeń &quot;rozwiązał&quot; \\(x^2+1=0\\) jako \\(x^2=1\\), pomijając &quot;+1&quot; i dostał \\(x=\\pm 1\\). Błąd: zgubiono stałą po prawej stronie. |<br>| D | Połączenie obu błędów: pomylone znaki z nawiasów (\\(x=5\\), \\(x=-3\\)) <strong>oraz</strong> błędne rozwiązanie \\(x^2+1=0\\) jako \\(x=\\pm 1\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czynnik \\(x^2 + 1\\) <strong>nigdy nie daje rozwiązań rzeczywistych</strong> - uczniowie często mechanicznie &quot;rozwiązują&quot; \\(x^2 = -1\\) i piszą \\(x = \\pm 1\\), zapominając, że pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje w \\(\\mathbb{R}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z nawiasu \\((x + 5)\\) odczytujemy \\(x = -5\\), <strong>nie</strong> \\(x = +5\\). Znak się odwraca! Zapamiętaj: jeśli w nawiasie stoi \\((x + a)\\), to miejsce zerowe to \\(x = -a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> To równanie stopnia 4 może mieć co najwyżej 4 rozwiązania <strong>zespolone</strong>, ale w zadaniach maturalnych szukamy tylko rozwiązań <strong>rzeczywistych</strong> - a tych jest tu tylko 2.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Iloczyn jest zerem gdy co najmniej jeden czynnik = 0</h5>\n<p>\\[(x+5)(x-3)(x^2+1) = 0.\\]</p>\n<ul><li>\\(x+5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\).</li><li>\\(x-3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).</li><li>\\(x^2+1 = 0 \\Rightarrow x^2 = -1\\) - <strong>brak rozwiązań rzeczywistych</strong> (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny).</li></ul>\n<p>Zatem równanie ma <strong>dwa rozwiązania rzeczywiste</strong>: \\(x=-5\\) i \\(x=3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza czynnika \\(x^2+1\\)</h5>\n<p>\\(x^2 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc \\(x^2+1 \\ge 1 &gt; 0\\). Ten czynnik nigdy nie zeruje równania, więc rozwiązania pochodzą tylko z \\((x+5)(x-3) = 0\\): \\(x\\in\\{-5, 3\\}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Znaki odwrotne: z \\(x+5=0\\) wynika \\(x=-5\\), a nie \\(x=-3\\); z \\(x-3=0\\) wynika \\(x=3\\), nie \\(x=5\\).</li><li><strong>C, D.</strong> Błędne założenie, że \\(x^2+1 = 0\\) ma rozwiązania \\(\\pm 1\\) (to byłoby \\(x^2-1=0\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(x^2+1 &gt; 0\\) zawsze - nie daje pierwiastków rzeczywistych.</p>"}]}