{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nW trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się\nw punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.\n\nPoziom podstawowy\n13\nW trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech\n2\nBAC\n\n\n\n,\n2\nABC\n\n\n\n,\nACB\n\n\n\n,\nAPB\n\n\n\nSuma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest\n\n180 , więc w trójkącie ABC\nmamy\n\n180\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n\n0\n\n, więc\n\n180\n2\n2\n\n\n\n, stąd\n\n90\n\n\n\nW trójkącie ABP mamy\n\n180\n\n\n\n\n\n\nStąd i z otrzymanej nierówności\n\n90\n\n\n\nwynika, że\n\n90\n\n\nOznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym.\nCo należało uzasadnić.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym.\nII sposób rozwiązania\nNiech\n2\nBAC\n\n\n\n,\n2\nABC\n\n\n\n,\nACB\n\n\n\n,\nAPB\n\n\n\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c)\nB\nA\nC\nP\n\n\n\n\n\n\n\nB\nA\nC\nP\n\n\n\n\n\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13\nPonieważ\n\n180\n\n\n\noraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa\n\n180 , więc otrzymujemy\n\n\n\n\n\n\n\n90\n180\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n\n90\n\n\n, więc  jest kątem ostrym, zatem  jest kątem rozwartym.\nOznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 2n - 3\\)\n\n## Sposób 1 - różnica sum częściowych\n\nKluczowy wzór: dla ciągu \\((a_n)\\) i jego sum częściowych \\(S_n\\) zachodzi:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\noraz osobno \\(a_1 = S_1\\).\n\n**Krok 1: wyznacz \\(a_1\\)**\n\n\\[a_1 = S_1 = 1^2 - 2 \\cdot 1 = 1 - 2 = -1\\]\n\n**Krok 2: wyznacz \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\)**\n\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = \\bigl(n^2 - 2n\\bigr) - \\bigl((n-1)^2 - 2(n-1)\\bigr)\\]\n\nRozwijamy \\((n-1)^2 - 2(n-1)\\):\n\\[(n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3\\]\n\nZatem:\n\\[a_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = n^2 - 2n - n^2 + 4n - 3 = 2n - 3\\]\n\n**Krok 3: sprawdź, czy wzór działa też dla \\(n = 1\\)**\n\n\\[2 \\cdot 1 - 3 = -1 = a_1 \\checkmark\\]\n\nWzór jest wspólny dla wszystkich \\(n \\geq 1\\):\n\n\\[\\boxed{a_n = 2n - 3}\\]\n\n## Sposób 2 - porównanie współczynników z ogólnym wzorem na \\(S_n\\)\n\nSuma \\(n\\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \\(a_1\\) i różnicy \\(r\\) to:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPo rozpisaniu:\n\\[S_n = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]\n\nJest to wielomian kwadratowy w \\(n\\) bez wyrazu wolnego. Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:\n\\[S_n = 1 \\cdot n^2 + (-2) \\cdot n\\]\n\n**Porównujemy współczynniki:**\n\nPrzy \\(n^2\\):\n\\[\\frac{r}{2} = 1 \\implies r = 2\\]\n\nPrzy \\(n\\):\n\\[a_1 - \\frac{r}{2} = -2 \\implies a_1 - 1 = -2 \\implies a_1 = -1\\]\n\n**Wyznaczamy wzór ogólny:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1) \\cdot 2 = -1 + 2n - 2 = 2n - 3\\]\n\n**Weryfikacja sumy:**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = (-1) + 1 + 3 = 3, \\quad \\text{a wzór daje: } 3^2 - 2 \\cdot 3 = 3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyty w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) pierwszych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyty w Sposobie 2 do porównania współczynników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) musisz osobno sprawdzić, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się z ogólnym wzorem - w tym zadaniu tak jest, ale nie zawsze musi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy rozwijaniu \\((n-1)^2\\). Pamiętaj: \\((n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\), a nie \\(n^2 - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o ciąg arytmetyczny - warto sprawdzić różnicę: \\(a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\), \\(a_3 - a_2 = 3 - 1 = 2\\). Stała różnica \\(r = 2\\) potwierdza, że to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n### Sposób 1 - Ze wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\nDla \\(n > 1\\):\n\\[S_{n-1} = (n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3.\\]\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3.\\]\n\nSprawdzamy \\(n=1\\): \\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\), a z wzoru \\(a_n = 2n-3\\): \\(a_1 = 2\\cdot 1 - 3 = -1\\) ✓.\n\n**Wzór:** \\(a_n = 2n - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Z pierwszych wyrazów i różnicy\n\\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\).\n\\(S_2 = 4 - 4 = 0 \\Rightarrow a_2 = S_2 - a_1 = 0-(-1) = 1\\).\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\).\nWzór ogólny:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n - 3.\\]\n\n### Sposób 3 - Ze wzoru na sumę\n\\[S_n = \\dfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n = n^2 - 2n.\\]\n\\[\\dfrac{a_1+a_n}{2} = n - 2\\]\n\\[a_1 + a_n = 2n - 4.\\]\nZ \\(a_1 = -1\\): \\(a_n = 2n - 4 + 1 = 2n - 3\\).\n\n### Sposób CKE\nObliczamy \\(S_1 = -1\\), \\(S_2 = 0\\). Stąd \\(a_1 = -1\\), \\(a_2 = 1\\), \\(r=2\\). Wzór: \\(a_n = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n-3\\).\n\n### Odpowiedź\n**\\(a_n = 2n - 3\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Ważne sprawdzenie wzoru dla \\(n=1\\) (często pomijane).\n- Błąd częsty: \\(a_1 + a_2 = S_2 = 0\\), ale nie oznacza to \\(a_1 = a_2 = 0\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się
w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.

\n

Poziom podstawowy
13
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
I sposób rozwiązania
Niech
2
BAC



,
2
ABC



,
ACB



,
APB



Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest

180 , więc w trójkącie ABC
mamy

180
2
2






Ponieważ

0

, więc

180
2
2



, stąd

90



W trójkącie ABP mamy

180






Stąd i z otrzymanej nierówności

90



wynika, że

90


Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym.
Co należało uzasadnić.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym.
II sposób rozwiązania
Niech
2
BAC



,
2
ABC



,
ACB



,
APB



Rozumowanie i argumentacja
Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c)
B
A
C
P







B
A
C
P






Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
13
Ponieważ

180



oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa

180 , więc otrzymujemy







90
180
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
180





















Ponieważ

90


, więc  jest kątem ostrym, zatem  jest kątem rozwartym.
Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 2n - 3\\)

\n

Sposób 1 - różnica sum częściowych

\n

Kluczowy wzór: dla ciągu \\((a_n)\\) i jego sum częściowych \\(S_n\\) zachodzi:
\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]
oraz osobno \\(a_1 = S_1\\).

\n

Krok 1: wyznacz \\(a_1\\)

\n

\\[a_1 = S_1 = 1^2 - 2 \\cdot 1 = 1 - 2 = -1\\]

\n

Krok 2: wyznacz \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\)

\n

\\[a_n = S_n - S_{n-1} = \\bigl(n^2 - 2n\\bigr) - \\bigl((n-1)^2 - 2(n-1)\\bigr)\\]

\n

Rozwijamy \\((n-1)^2 - 2(n-1)\\):
\\[(n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3\\]

\n

Zatem:
\\[a_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = n^2 - 2n - n^2 + 4n - 3 = 2n - 3\\]

\n

Krok 3: sprawdź, czy wzór działa też dla \\(n = 1\\)

\n

\\[2 \\cdot 1 - 3 = -1 = a_1 \\checkmark\\]

\n

Wzór jest wspólny dla wszystkich \\(n \\geq 1\\):

\n

\\[\\boxed{a_n = 2n - 3}\\]

\n

Sposób 2 - porównanie współczynników z ogólnym wzorem na \\(S_n\\)

\n

Suma \\(n\\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \\(a_1\\) i różnicy \\(r\\) to:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Po rozpisaniu:
\\[S_n = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]

\n

Jest to wielomian kwadratowy w \\(n\\) bez wyrazu wolnego. Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:
\\[S_n = 1 \\cdot n^2 + (-2) \\cdot n\\]

\n

Porównujemy współczynniki:

\n

Przy \\(n^2\\):
\\[\\frac{r}{2} = 1 \\implies r = 2\\]

\n

Przy \\(n\\):
\\[a_1 - \\frac{r}{2} = -2 \\implies a_1 - 1 = -2 \\implies a_1 = -1\\]

\n

Wyznaczamy wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1) \\cdot 2 = -1 + 2n - 2 = 2n - 3\\]

\n

Weryfikacja sumy:
\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = (-1) + 1 + 3 = 3, \\quad \\text{a wzór daje: } 3^2 - 2 \\cdot 3 = 3 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyty w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) pierwszych wyrazów:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyty w Sposobie 2 do porównania współczynników.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) musisz osobno sprawdzić, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się z ogólnym wzorem - w tym zadaniu tak jest, ale nie zawsze musi!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się przy rozwijaniu \\((n-1)^2\\). Pamiętaj: \\((n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\), a nie \\(n^2 - 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o ciąg arytmetyczny - warto sprawdzić różnicę: \\(a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\), \\(a_3 - a_2 = 3 - 1 = 2\\). Stała różnica \\(r = 2\\) potwierdza, że to faktycznie ciąg arytmetyczny.
\n
Sposób 1 - Ze wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)
\n

Dla \\(n > 1\\):
\\[S_{n-1} = (n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3.\\]
\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3.\\]

\n

Sprawdzamy \\(n=1\\): \\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\), a z wzoru \\(a_n = 2n-3\\): \\(a_1 = 2\\cdot 1 - 3 = -1\\) ✓.

\n

Wzór: \\(a_n = 2n - 3\\).

\n
Sposób 2 - Z pierwszych wyrazów i różnicy
\n

\\(a_1 = S_1 = 1 - 2 = -1\\).
\\(S_2 = 4 - 4 = 0 \\Rightarrow a_2 = S_2 - a_1 = 0-(-1) = 1\\).
Różnica: \\(r = a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\\).
Wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n - 3.\\]

\n
Sposób 3 - Ze wzoru na sumę
\n

\\[S_n = \\dfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n = n^2 - 2n.\\]
\\[\\dfrac{a_1+a_n}{2} = n - 2\\]
\\[a_1 + a_n = 2n - 4.\\]
Z \\(a_1 = -1\\): \\(a_n = 2n - 4 + 1 = 2n - 3\\).

\n
Sposób CKE
\n

Obliczamy \\(S_1 = -1\\), \\(S_2 = 0\\). Stąd \\(a_1 = -1\\), \\(a_2 = 1\\), \\(r=2\\). Wzór: \\(a_n = -1 + (n-1)\\cdot 2 = 2n-3\\).

\n
Odpowiedź
\n

\\(a_n = 2n - 3\\).

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"}]}