Zadanie 31. (2 pkt)
Ze zbioru liczb
1,2,3,4,5,6,7 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest
podzielny przez 6.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
14
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.
Zadanie 31. (0-2)
I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane
y
x,
dwóch liczb ze zbioru
1,2,3, 4,5,6,7 .
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
7 7
49
Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy:
jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna)
albo
jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa
2 7 1
2 2
17
A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
17
49
P A
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio:
- zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A
7 7
49
i
17
A
, zatem
17
49
P A
Modelowanie matematyczne
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa
(III.10.b;10.d)
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
14
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
2
7
49
albo
obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A :
17
A
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
17
( )
49
P A
Uwaga
Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
( )
1
P A , to otrzymuje za całe rozwiązanie
0 punktów.
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Drzewo z istotnymi gałęziami:
2
7
Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6)
jest więc równe:
1 7
1
7 7
7 7
7 7
2 2
3
3 1
17
7 7
49
P A
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
17
( )
49
P A
Uwaga
Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
( )
1
P A , to otrzymuje za całe rozwiązanie
0 punktów.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek,
np.
17
1
( )
49
3
P A
, to otrzymuje 2 punkty.
1
7
3
7
1
7
6
2, 4
3
1, 5, 7
Dowolna z siedmiu
3, 6
2, 4, 6
7
7
2
7
3
7
7
1
6
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
15
Co wiemy o rombze:
Romb ma 4 równe boki (długość \\(a\\)) i kąty po dwie równe pary. Pole rombu wyraża się wzorem:
\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]
gdzie \\(\\alpha\\) to jeden z kątów rombu (tu: kąt ostry).
Wysokość rombu wyraża się jako:
\\[h = a \\cdot \\sin\\alpha\\]
bo jeśli opuścimy prostopadłą z wierzchołka na bok, otrzymujemy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną \\(a\\) i kątem \\(\\alpha\\).
Krok 1: Wyznaczyć bok rombu \\(a\\)
\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin 45°\\]
\\[50\\sqrt{2} = a^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]
\\[a^2 = 50\\sqrt{2} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = 50 \\cdot 2 = 100\\]
\\[a = 10\\]
Krok 2: Obliczyć wysokość
\n\\[h = a \\cdot \\sin 45° = 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\]
\nWynik: \\(h = 5\\sqrt{2}\\)
\nObserwacja: Wysokość rombu to \\(h = a \\cdot \\sin\\alpha\\), skąd:
\\[a = \\frac{h}{\\sin 45°} = \\frac{h}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = h\\sqrt{2}\\]
Podstawiamy do wzoru na pole \\(P = a \\cdot h\\):
\\[P = h\\sqrt{2} \\cdot h = h^2\\sqrt{2}\\]
\\[50\\sqrt{2} = h^2 \\cdot \\sqrt{2}\\]
\\[h^2 = 50\\]
\\[h = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]
Sprawdzenie: \\(a = h\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 10\\), pole \\(= 10 \\cdot 5\\sqrt{2} = 50\\sqrt{2}\\) ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 20-21) - Pole rombu:
\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia boku \\(a\\) ze znajomości pola i kąta ostrego.
Alternatywnie, korzystamy z podstawowego wzoru:
\\[P = a \\cdot h\\]
gdzie \\(h\\) to wysokość rombu - użyte w Sposobie 2 do podstawienia bezpośrednio pod wynik.
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\):
\n| \\(\\alpha\\) | \\(45°\\) |
| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) |
Kluczowe do obliczenia zarówno pola jak i wysokości.
\n⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) z \\(\\frac{1}{2}\\). To częsty błąd - \\(\\frac{1}{2}\\) to \\(\\sin 30°\\)!\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) dotyczy kąta wewnętrznego rombu, nie dowolnego kąta. Zawsze używaj kąta między bokami, które tworzą pole.\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\) - nie zostawiaj odpowiedzi w postaci \\(\\sqrt{50}\\), upraszczaj pierwiastki do końca!\n
Dla rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\alpha\\):
\\[P = a^2\\sin\\alpha.\\]
\\[50\\sqrt{2} = a^2\\sin 45^{\\circ} = a^2\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]
\\[a^2 = \\dfrac{50\\sqrt{2}\\cdot 2}{\\sqrt{2}} = 100.\\]
\\[a = 10.\\]
Wysokość \\(h\\) z zależności \\(h = a\\sin\\alpha\\):
\\[h = 10\\cdot\\sin 45^{\\circ} = 10\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}.\\]
\\(P = a\\cdot h\\) oraz \\(h = a\\sin\\alpha = a\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Stąd:
\\[a\\cdot a\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 50\\sqrt{2}\\]
\\[a^2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 50\\sqrt{2}\\]
\\[a^2 = 100 \\Rightarrow a = 10.\\]
\\[h = 10\\cdot\\tfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}.\\]
Układ: \\(a\\cdot h = 50\\sqrt{2}\\), \\(\\tfrac{h}{a} = \\sin 45^{\\circ}\\). Wynika \\(a=10, h=5\\sqrt{2}\\).
\nWysokość rombu: \\(h = 5\\sqrt{2}\\).
\n$\\dfrac{17}{49}$
"}]}