{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, a ciąg \n\n,42, ,\nx\ny z jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nCiąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów\nsąsiednich:\n9 19\n14\n2\nx\n\n\n\nWiemy, że ciąg \n\n14,42, ,y z\njest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy\n42\n3\n14\nq \n\nWobec tego\n3 42\n126\ny \n\ni\n126 3\n378\nz \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.\n9 19\n2\nx\n\n\nlub\n2\n9 19\nx \n\nlub\n14\nx \nalbo\n wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.\n2\n42\nxy\n\nlub\n2\n42\ny\nz\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie ilorazu ciągu geometrycznego\n3\nq .\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n14\nx \n,\n126\ny \n,\n378\nz \nII sposób rozwiązania\nCiąg \n\n9, ,19\nx\njest arytmetyczny, zatem 2\n9 19\nx \n\n,\n14\nx \nCiąg \n\n14,42, ,y z\njest geometryczny, zatem\n2\n42\n14 y\n\n\ni\n2\n42\ny\nz\n\n,\n1764\n126\n14\ny \n\ni\n2\n126\n42 z\n\n, stąd\n378\nz \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n\nwykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.\n9 19\n2\nx\n\n\nlub\n2\n9 19\nx \n\n, lub\n14\nx \nalbo\n wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.\n2\n42\nxy\n\nlub\n2\n42\ny\nz\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie\n14\nx \ni zapisanie równania\n2\n42\n14y\n\nlub 1764\n14y\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie\n126\ny \ni zapisanie równania\n2\n42\ny\nz\n\nlub\n2\n126\n42z\n\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie własności ciągu arytmetycznego\ni geometrycznego (III.5.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n14\nx \n,\n126\ny \n,\n378\nz \nUwaga\nJeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(D = (4, 15)\\)\n\n## Sposób 1 - Prosty i prosta prostopadła (metoda analityczna)\n\n**Krok 1: Wyznacz równanie prostej \\(AB\\)**\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{23 - 11}{8 - 2} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\nRównanie prostej przez \\(A = (2, 11)\\) o współczynniku \\(2\\):\n\\[y - 11 = 2(x - 2) \\implies y = 2x + 7\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy wysokości \\(CD\\)**\n\nWysokość \\(CD\\) jest **prostopadła** do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy spełnia warunek:\n\\[a_{CD} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{CD} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz równanie prostej \\(CD\\)**\n\nProsta przez \\(C = (6, 14)\\) o współczynniku \\(-\\frac{1}{2}\\):\n\\[y - 14 = -\\frac{1}{2}(x - 6) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 3 + 14 \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 17\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz punkt przecięcia \\(D\\)**\n\nPrzyrównujemy obie proste:\n\\[2x + 7 = -\\frac{1}{2}x + 17\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 10\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 10 \\implies x = 4\\]\n\\[y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\]\n\n**\\(\\boxed{D = (4, 15)}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez iloczyn skalarny\n\nSprawdzamy, czy \\(CD \\perp AB\\) przy wyznaczonym \\(D = (4, 15)\\).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):\n\\[\\overrightarrow{AB} = [8 - 2,\\ 23 - 11] = [6, 12]\\]\n\nWektor \\(\\overrightarrow{CD}\\):\n\\[\\overrightarrow{CD} = [4 - 6,\\ 15 - 14] = [-2, 1]\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{CD} = 6 \\cdot (-2) + 12 \\cdot 1 = -12 + 12 = 0 \\checkmark\\]\n\nIloczyn skalarny równy zero oznacza, że wektory są **prostopadłe** - \\(CD \\perp AB\\).\n\nSprawdzamy też, czy \\(D = (4, 15)\\) leży na prostej \\(AB\\): \\(y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\) ✓\n\nWynik potwierdzony: **\\(D = (4, 15)\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n> Równanie prostej o współczynniku kierunkowym \\(a\\) przechodzące przez punkt \\((x_0, y_0)\\):\n> \\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\n> Użyliśmy do wyznaczenia równań prostych \\(AB\\) i \\(CD\\).\n\n> Warunek prostopadłości dwóch prostych (po współczynnikach kierunkowych):\n> \\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n> Kluczowy wzór - pozwolił wyznaczyć kierunek wysokości \\(CD\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 = a_2\\). Odwrotność + zmiana znaku - łatwo o pomyłkę. Dla \\(a_{AB} = 2\\) mamy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(2\\) ani \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) musi leżeć na **prostej \\(AB\\)** (nie tylko na odcinku \\(AB\\)!). Gdyby \\(D\\) wyszło poza odcinek, nadal byłoby poprawnym rozwiązaniem - w tym przypadku \\(D = (4, 15)\\) leży między \\(A = (2, 11)\\) a \\(B = (8, 23)\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), a nie odwrotnie. Zamiana mianownika z licznikiem daje błędny wynik.\n\n### Sposób 1 - Równania prostej AB i prostej prostopadłej przez C\n**Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\):**\n\\[a_{AB} = \\dfrac{23-11}{8-2} = \\dfrac{12}{6} = 2.\\]\nPrzez \\(A=(2, 11)\\): \\(y - 11 = 2(x - 2) \\Rightarrow y = 2x + 7\\).\n\n**Krok 2. Prosta \\(CD\\prostopadle{AB}\\)** przez \\(C=(6, 14)\\):\n\\[a_{CD} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\n\\[y - 14 = -\\tfrac{1}{2}(x - 6) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + 3 + 14 = -\\tfrac{1}{2}x + 17.\\]\n\n**Krok 3. Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 7 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + 17 \\end{cases}\\]\nPorównanie:\n\\[2x + 7 = -\\tfrac{1}{2}x + 17\\]\n\\[2x + \\tfrac{1}{2}x = 10\\]\n\\[\\tfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\\[y = 2\\cdot 4 + 7 = 15.\\]\n\n\\[\\boxed{D = (4, 15)}\\]\n\n### Sposób 2 - Z pola trójkąta i odległości\nObliczamy pole \\(\\triangle ABC\\) ze wzoru z determinantem:\n\\[P = \\tfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (x_C-x_A)(y_B-y_A)| = \\tfrac{1}{2}|6\\cdot 3 - 4\\cdot 12| = \\tfrac{1}{2}|18-48| = 15.\\]\n\\(|AB| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\nWysokość \\(|CD| = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{30}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{1} = \\sqrt{5}\\).\nPunkt \\(D = (x, 2x+7)\\). Z warunku \\(|CD|^2 = 5\\):\n\\[(x-6)^2 + (2x+7-14)^2 = 5\\]\n\\[(x-6)^2 + (2x-7)^2 = 5\\]\n\\[x^2-12x+36 + 4x^2-28x+49 = 5\\]\n\\[5x^2 - 40x + 80 = 0 \\Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0 \\Rightarrow (x-4)^2 = 0 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\\(y = 2\\cdot 4+7 = 15\\). \\(D=(4, 15)\\).\n\n### Sposób CKE\nRównanie \\(AB: y=2x+7\\). Prostopadła przez \\(C\\): \\(y = -\\tfrac{1}{2}x+17\\). Układ → \\(D=(4,15)\\).\n\n### Odpowiedź\n**\\(D = (4, 15)\\).**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Współczynnik prostopadłej: \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\), czyli \\(a_{CD} = -\\tfrac{1}{a_{AB}}\\).\n- Wysokość \\(CD\\) leży na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez \\(C\\), a \\(D\\) to punkt jej przecięcia z \\(AB\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Ciąg 

9, ,19
x
jest arytmetyczny, a ciąg 

,42, ,
x
y z jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
15
Ciąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
I sposób rozwiązania
Ciąg 

9, ,19
x
jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów
sąsiednich:
9 19
14
2
x



Wiemy, że ciąg 

14,42, ,y z
jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy
42
3
14
q 

Wobec tego
3 42
126
y 

i
126 3
378
z 

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.
9 19
2
x


lub
2
9 19
x 

lub
14
x 
albo
 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.
2
42
xy

lub
2
42
y
z

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego
3
q .
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie
14
x 
,
126
y 
,
378
z 
II sposób rozwiązania
Ciąg 

9, ,19
x
jest arytmetyczny, zatem 2
9 19
x 

,
14
x 
Ciąg 

14,42, ,y z
jest geometryczny, zatem
2
42
14 y


i
2
42
y
z

,
1764
126
14
y 

i
2
126
42 z

, stąd
378
z 
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt

wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np.
9 19
2
x


lub
2
9 19
x 

, lub
14
x 
albo
 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np.
2
42
xy

lub
2
42
y
z

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie
14
x 
i zapisanie równania
2
42
14y

lub 1764
14y

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie
126
y 
i zapisanie równania
2
42
y
z

lub
2
126
42z

Modelowanie matematyczne
Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego
i geometrycznego (III.5.c)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
16
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie
14
x 
,
126
y 
,
378
z 
Uwaga
Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(D = (4, 15)\\)

\n

Sposób 1 - Prosty i prosta prostopadła (metoda analityczna)

\n

Krok 1: Wyznacz równanie prostej \\(AB\\)

\n

Obliczamy współczynnik kierunkowy:
\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{23 - 11}{8 - 2} = \\frac{12}{6} = 2\\]

\n

Równanie prostej przez \\(A = (2, 11)\\) o współczynniku \\(2\\):
\\[y - 11 = 2(x - 2) \\implies y = 2x + 7\\]

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy wysokości \\(CD\\)

\n

Wysokość \\(CD\\) jest prostopadła do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy spełnia warunek:
\\[a_{CD} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{CD} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 3: Wyznacz równanie prostej \\(CD\\)

\n

Prosta przez \\(C = (6, 14)\\) o współczynniku \\(-\\frac{1}{2}\\):
\\[y - 14 = -\\frac{1}{2}(x - 6) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 3 + 14 \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 17\\]

\n

Krok 4: Wyznacz punkt przecięcia \\(D\\)

\n

Przyrównujemy obie proste:
\\[2x + 7 = -\\frac{1}{2}x + 17\\]
\\[2x + \\frac{1}{2}x = 10\\]
\\[\\frac{5}{2}x = 10 \\implies x = 4\\]
\\[y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\]

\n

\\(\\boxed{D = (4, 15)}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez iloczyn skalarny

\n

Sprawdzamy, czy \\(CD \\perp AB\\) przy wyznaczonym \\(D = (4, 15)\\).

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):
\\[\\overrightarrow{AB} = [8 - 2,\\ 23 - 11] = [6, 12]\\]

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{CD}\\):
\\[\\overrightarrow{CD} = [4 - 6,\\ 15 - 14] = [-2, 1]\\]

\n

Iloczyn skalarny:
\\[\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{CD} = 6 \\cdot (-2) + 12 \\cdot 1 = -12 + 12 = 0 \\checkmark\\]

\n

Iloczyn skalarny równy zero oznacza, że wektory są prostopadłe - \\(CD \\perp AB\\).

\n

Sprawdzamy też, czy \\(D = (4, 15)\\) leży na prostej \\(AB\\): \\(y = 2 \\cdot 4 + 7 = 15\\) ✓

\n

Wynik potwierdzony: \\(D = (4, 15)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n
Równanie prostej o współczynniku kierunkowym \\(a\\) przechodzące przez punkt \\((x_0, y_0)\\):
\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]
Użyliśmy do wyznaczenia równań prostych \\(AB\\) i \\(CD\\).
\n
Warunek prostopadłości dwóch prostych (po współczynnikach kierunkowych):
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Kluczowy wzór - pozwolił wyznaczyć kierunek wysokości \\(CD\\).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie \\(a_1 = a_2\\). Odwrotność + zmiana znaku - łatwo o pomyłkę. Dla \\(a_{AB} = 2\\) mamy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\), nie \\(2\\) ani \\(-2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(D\\) musi leżeć na prostej \\(AB\\) (nie tylko na odcinku \\(AB\\)!). Gdyby \\(D\\) wyszło poza odcinek, nadal byłoby poprawnym rozwiązaniem - w tym przypadku \\(D = (4, 15)\\) leży między \\(A = (2, 11)\\) a \\(B = (8, 23)\\), więc wszystko gra.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), a nie odwrotnie. Zamiana mianownika z licznikiem daje błędny wynik.
\n
Sposób 1 - Równania prostej AB i prostej prostopadłej przez C
\n

Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\):
\\[a_{AB} = \\dfrac{23-11}{8-2} = \\dfrac{12}{6} = 2.\\]
Przez \\(A=(2, 11)\\): \\(y - 11 = 2(x - 2) \\Rightarrow y = 2x + 7\\).

\n

Krok 2. Prosta \\(CD\\prostopadle{AB}\\) przez \\(C=(6, 14)\\):
\\[a_{CD} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]
\\[y - 14 = -\\tfrac{1}{2}(x - 6) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + 3 + 14 = -\\tfrac{1}{2}x + 17.\\]

\n

Krok 3. Układ równań:
\\[\\begin{cases} y = 2x + 7 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + 17 \\end{cases}\\]
Porównanie:
\\[2x + 7 = -\\tfrac{1}{2}x + 17\\]
\\[2x + \\tfrac{1}{2}x = 10\\]
\\[\\tfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]
\\[y = 2\\cdot 4 + 7 = 15.\\]

\n

\\[\\boxed{D = (4, 15)}\\]

\n
Sposób 2 - Z pola trójkąta i odległości
\n

Obliczamy pole \\(\\triangle ABC\\) ze wzoru z determinantem:
\\[P = \\tfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (x_C-x_A)(y_B-y_A)| = \\tfrac{1}{2}|6\\cdot 3 - 4\\cdot 12| = \\tfrac{1}{2}|18-48| = 15.\\]
\\(|AB| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).
Wysokość \\(|CD| = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{30}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{1} = \\sqrt{5}\\).
Punkt \\(D = (x, 2x+7)\\). Z warunku \\(|CD|^2 = 5\\):
\\[(x-6)^2 + (2x+7-14)^2 = 5\\]
\\[(x-6)^2 + (2x-7)^2 = 5\\]
\\[x^2-12x+36 + 4x^2-28x+49 = 5\\]
\\[5x^2 - 40x + 80 = 0 \\Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0 \\Rightarrow (x-4)^2 = 0 \\Rightarrow x = 4.\\]
\\(y = 2\\cdot 4+7 = 15\\). \\(D=(4, 15)\\).

\n
Sposób CKE
\n

Równanie \\(AB: y=2x+7\\). Prostopadła przez \\(C\\): \\(y = -\\tfrac{1}{2}x+17\\). Układ → \\(D=(4,15)\\).

\n
Odpowiedź
\n

\\(D = (4, 15)\\).

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 14, y = 126, z = 378$

"}]}