{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy\nma długość 4. Kąt ACE jest równy 60. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego\nna poniższym rysunku.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nG\nH\nE\nF\nD\n\nPoziom podstawowy\n16\nW graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nStrategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów:\na) obliczenie wysokości AE ostrosłupa,\nb) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa,\nc) obliczenie objętości ostrosłupa.\nRozwiązanie\na) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa\nPodstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu,\nmamy: 4\n2\nAB\n, stąd\n4\n2 2\n2\n\n\nAB\nObliczamy pole P podstawy ostrosłupa:\n\n\n2\n2 2\n8\nP \n\nb) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa\nRysujemy trójkąt EAC.\n8 3\n4 3\n2\n\n\nAE\nc) Obliczenie objętości ostrosłupa\nObjętość ostrosłupa jest równa\n1\n32\n8 4 3\n3\n3\n3\nV \n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie wysokości AE ostrosłupa:\n4 3\nAE \nalbo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa:\n\n\n2\n2 2\n8\nP \n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie objętości wielościanu (IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\nUwaga\nJeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n32\n3\n3\nV \nUwaga\nJeśli zdający pominie współczynnik 1\n3 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie\ndoprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje\n3 punkty.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nNie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył\nwysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (5120)\n\n## Sposób 1 - Kombinatoryczny (wybór miejsc i cyfr)\n\n**Analizujemy dostępne cyfry** (brak zera, więc cyfry: 1-9):\n- Cyfry parzyste: \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - **4 cyfry**\n- Cyfry nieparzyste bez siódemki: \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - **4 cyfry**\n- Cyfra 7 - **1 cyfra** (nieparzysta)\n\n**Struktura liczby pięciocyfrowej:**\n\n| Pozycja | Zawartość | Liczba możliwości |\n| 1 z 5 miejsc | dokładnie jedna **7** | - |\n| 1 z pozostałych 4 miejsc | dokładnie jedna **cyfra parzysta** | - |\n| pozostałe **3** miejsca | cyfry nieparzyste \\(\\neq 7\\), czyli z \\(\\{1,3,5,9\\}\\) | - |\n\n**Krok 1.** Wybieramy, na którym z 5 miejsc stoi cyfra **7**:\n\\[\\binom{5}{1} = 5\\]\n\n**Krok 2.** Wybieramy, na którym z pozostałych 4 miejsc stoi cyfra **parzysta**:\n\\[\\binom{4}{1} = 4\\]\n\n**Krok 3.** Wybieramy, która cyfra parzysta tam stoi (2, 4, 6 lub 8):\n\\[4\\]\n\n**Krok 4.** Każde z pozostałych 3 miejsc wypełniamy cyfrą z \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - niezależnie, z powtórzeniami:\n\\[4^3 = 64\\]\n\n**Wynik końcowy:**\n\\[5 \\times 4 \\times 4 \\times 64 = \\mathbf{5120}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinatoryczny (wybór pozycji, potem cyfr)\n\nMyślimy o tym inaczej: najpierw **rozdzielamy 5 pozycji** na grupy, potem liczymy wypełnienia.\n\n**Krok 1.** Wybieramy, które 2 z 5 pozycji są \"specjalne\" (jedna dla 7, jedna dla parzystej), a które 3 są \"zwykłe\":\n\\[\\binom{5}{1} \\cdot \\binom{4}{1} = 5 \\cdot 4 = 20\\]\n(kolejność ma znaczenie: rozróżniamy pozycję-siódemki od pozycji-parzystej)\n\n**Krok 2.** Na pozycji siódemki: tylko 1 opcja (cyfra 7).\n\n**Krok 3.** Na pozycji parzystej: 4 opcje \\(\\{2,4,6,8\\}\\).\n\n**Krok 4.** Na każdej z 3 zwykłych pozycji: 4 opcje \\(\\{1,3,5,9\\}\\):\n\\[4^3 = 64\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[20 \\times 1 \\times 4 \\times 64 = 20 \\times 256 = \\mathbf{5120} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)**\n\nSymbol Newtona (kombinacje):\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!}\\]\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{1} = 5\\) i \\(\\binom{4}{1} = 4\\) do wyboru pozycji siódemki i cyfry parzystej.\n\nWariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)\nUżyliśmy \\(4^3 = 64\\) - bo na każdą z 3 pozostałych pozycji niezależnie wybieramy 1 cyfrę z 4 możliwych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błąd | Skąd się bierze |\n| Zapomnienie, że 7 jest cyfrą **nieparzystą** | Uczeń liczy: 1 siódemka + 1 parzysta + reszta z \\(\\{1,3,5,9,7\\}\\), czyli dopuszcza drugą 7 na \"zwykłych\" pozycjach - zamiast \\(4^3 = 64\\) bierze \\(5^3 = 125\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 125 = 10\\,000\\) |\n| Nieuwzględnienie kolejności miejsc | Uczeń bierze \\(\\binom{5}{2} = 10\\) zamiast \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1} = 20\\) (miesza wybór 2 miejsc bez rozróżnienia z rozróżnionym wyborem) - wynik: \\(10 \\times 4 \\times 64 = 2\\,560\\) |\n| Uwzględnienie zera w cyfrach parzystych | Uczeń bierze cyfry parzyste z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 opcji zamiast 4 - wynik: \\(5 \\times 4 \\times 5 \\times 64 = 6\\,400\\) |\n| Branie tylko 3 cyfr nieparzystych \\(\\neq 7\\) | Uczeń zapomina o \\(\\{9\\}\\) i bierze \\(\\{1,3,5\\}\\) - \\(3^3 = 27\\) zamiast \\(4^3 = 64\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 27 = 2\\,160\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra **7 jest nieparzysta** - nie wlicza się do \"jednej cyfry parzystej\". Pamiętaj, że \"parzyste\" i \"nieparzyste\" to rozłączne zbiory, a 7 należy do nieparzystych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"nie występuje zero\" eliminuje 0 z cyfr parzystych - zostają tylko \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\), czyli **4 cyfry**, nie 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wybierając pozycję dla siódemki i pozycję dla parzystej, rozróżniamy te dwa miejsca (liczymy \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1}\\), a nie \\(\\binom{5}{2}\\)), bo każde z tych miejsc pełni inną rolę.\n\n### Sposób 1 - Trzy grupy cyfr\nCyfry dostępne (bez zera): \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\).\nTrzy grupy cyfr, które mogą się pojawić w liczbie:\n1. **cyfra \\(7\\)** - ma wystąpić dokładnie raz;\n2. **cyfry parzyste bez zera**: \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - 4 cyfry; ma wystąpić dokładnie jedna;\n3. **cyfry nieparzyste różne od 7**: \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - 4 cyfry; pozostałe miejsca.\n\n### Krok 1 - Wybór miejsc\nLiczba ma \\(5\\) pozycji.\n- Miejsce dla cyfry \\(7\\): \\(5\\) sposobów (można wybrać dowolną z 5 pozycji).\n- Miejsce dla cyfry parzystej: pozostałe \\(4\\) pozycje → \\(4\\) sposoby.\n- Pozostałe \\(3\\) miejsca: dla cyfr nieparzystych z \\(\\{1,3,5,9\\}\\).\n\n### Krok 2 - Wybór wartości cyfr\n- Cyfra parzysta: \\(4\\) możliwości (\\(2, 4, 6, 8\\)).\n- Cyfry nieparzyste (różne od 7) na \\(3\\) miejscach: każde niezależnie \\(4\\) możliwości → \\(4^3 = 64\\).\n\n### Krok 3 - Iloczyn\n\\[N = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 4^3 = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5\\cdot 4^5 = 5\\cdot 1024 = 5120.\\]\n\n### Sposób CKE\nTrzy grupy: 7 (1 cyfra), parzyste bez zera (4 cyfry), nieparzyste różne od 7 (4 cyfry).\n- Miejsce dla \\(7\\): \\(5\\) sposobów.\n- Miejsce dla parzystej: \\(4\\) sposoby.\n- Wybór parzystej: \\(4\\) sposoby.\n- \\(3\\) miejsca dla cyfr z \\(\\{1,3,5,9\\}\\): \\(4^3 = 64\\) sposoby.\nRazem: \\(5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5120\\).\n\n### Odpowiedź\n**Istnieje \\(5120\\) takich liczb.**\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Cyfra \\(0\\) **nie występuje** - parzyste to \\(\\{2,4,6,8\\}\\) (4 cyfry, nie 5).\n- Cyfra \\(7\\) jest nieparzysta, ale ma być **tylko jedna** - pozostałe nieparzyste to \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) (bez 7).\n- Dokładnie jedna cyfra parzysta = na \\(1\\) z \\(5\\) miejsc, \\(4\\) pozostałe to nieparzyste różne od 7 (ale miejsce \\(7\\) jest już zajęte, więc \\(3\\) pozostałe dla nieparzystych).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy
ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego
na poniższym rysunku.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt
A
B
C
G
H
E
F
D

\n

Poziom podstawowy
16
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów:
a) obliczenie wysokości AE ostrosłupa,
b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa,
c) obliczenie objętości ostrosłupa.
Rozwiązanie
a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa
Podstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu,
mamy: 4
2
AB
, stąd
4
2 2
2


AB
Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa:


2
2 2
8
P 

b) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa
Rysujemy trójkąt EAC.
8 3
4 3
2


AE
c) Obliczenie objętości ostrosłupa
Objętość ostrosłupa jest równa
1
32
8 4 3
3
3
3
V 


Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Obliczenie wysokości AE ostrosłupa:
4 3
AE 
albo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa:


2
2 2
8
P 

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.
Użycie i tworzenie strategii
Obliczenie objętości wielościanu (IV.9.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
17
Uwaga
Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości ostrosłupa:
32
3
3
V 
Uwaga
Jeśli zdający pominie współczynnik 1
3 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie
doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje
3 punkty.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył
wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (5120)

\n

Sposób 1 - Kombinatoryczny (wybór miejsc i cyfr)

\n

Analizujemy dostępne cyfry (brak zera, więc cyfry: 1-9):

\n\n

Struktura liczby pięciocyfrowej:

\n

| Pozycja | Zawartość | Liczba możliwości |
| 1 z 5 miejsc | dokładnie jedna 7 | - |
| 1 z pozostałych 4 miejsc | dokładnie jedna cyfra parzysta | - |
| pozostałe 3 miejsca | cyfry nieparzyste \\(\\neq 7\\), czyli z \\(\\{1,3,5,9\\}\\) | - |

\n

Krok 1. Wybieramy, na którym z 5 miejsc stoi cyfra 7:
\\[\\binom{5}{1} = 5\\]

\n

Krok 2. Wybieramy, na którym z pozostałych 4 miejsc stoi cyfra parzysta:
\\[\\binom{4}{1} = 4\\]

\n

Krok 3. Wybieramy, która cyfra parzysta tam stoi (2, 4, 6 lub 8):
\\[4\\]

\n

Krok 4. Każde z pozostałych 3 miejsc wypełniamy cyfrą z \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - niezależnie, z powtórzeniami:
\\[4^3 = 64\\]

\n

Wynik końcowy:
\\[5 \\times 4 \\times 4 \\times 64 = \\mathbf{5120}\\]

\n

Sposób 2 - Kombinatoryczny (wybór pozycji, potem cyfr)

\n

Myślimy o tym inaczej: najpierw rozdzielamy 5 pozycji na grupy, potem liczymy wypełnienia.

\n

Krok 1. Wybieramy, które 2 z 5 pozycji są "specjalne" (jedna dla 7, jedna dla parzystej), a które 3 są "zwykłe":
\\[\\binom{5}{1} \\cdot \\binom{4}{1} = 5 \\cdot 4 = 20\\]
(kolejność ma znaczenie: rozróżniamy pozycję-siódemki od pozycji-parzystej)

\n

Krok 2. Na pozycji siódemki: tylko 1 opcja (cyfra 7).

\n

Krok 3. Na pozycji parzystej: 4 opcje \\(\\{2,4,6,8\\}\\).

\n

Krok 4. Na każdej z 3 zwykłych pozycji: 4 opcje \\(\\{1,3,5,9\\}\\):
\\[4^3 = 64\\]

\n

Łącznie:
\\[20 \\times 1 \\times 4 \\times 64 = 20 \\times 256 = \\mathbf{5120} \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)

\n

Symbol Newtona (kombinacje):
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!}\\]
Użyliśmy \\(\\binom{5}{1} = 5\\) i \\(\\binom{4}{1} = 4\\) do wyboru pozycji siódemki i cyfry parzystej.

\n

Wariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)
Użyliśmy \\(4^3 = 64\\) - bo na każdą z 3 pozostałych pozycji niezależnie wybieramy 1 cyfrę z 4 możliwych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Błąd | Skąd się bierze |
| Zapomnienie, że 7 jest cyfrą nieparzystą | Uczeń liczy: 1 siódemka + 1 parzysta + reszta z \\(\\{1,3,5,9,7\\}\\), czyli dopuszcza drugą 7 na "zwykłych" pozycjach - zamiast \\(4^3 = 64\\) bierze \\(5^3 = 125\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 125 = 10\\,000\\) |
| Nieuwzględnienie kolejności miejsc | Uczeń bierze \\(\\binom{5}{2} = 10\\) zamiast \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1} = 20\\) (miesza wybór 2 miejsc bez rozróżnienia z rozróżnionym wyborem) - wynik: \\(10 \\times 4 \\times 64 = 2\\,560\\) |
| Uwzględnienie zera w cyfrach parzystych | Uczeń bierze cyfry parzyste z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 opcji zamiast 4 - wynik: \\(5 \\times 4 \\times 5 \\times 64 = 6\\,400\\) |
| Branie tylko 3 cyfr nieparzystych \\(\\neq 7\\) | Uczeń zapomina o \\(\\{9\\}\\) i bierze \\(\\{1,3,5\\}\\) - \\(3^3 = 27\\) zamiast \\(4^3 = 64\\), wynik: \\(5 \\times 4 \\times 4 \\times 27 = 2\\,160\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Cyfra 7 jest nieparzysta - nie wlicza się do "jednej cyfry parzystej". Pamiętaj, że "parzyste" i "nieparzyste" to rozłączne zbiory, a 7 należy do nieparzystych.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek "nie występuje zero" eliminuje 0 z cyfr parzystych - zostają tylko \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\), czyli 4 cyfry, nie 5.
\n
⚠️ Uwaga: Wybierając pozycję dla siódemki i pozycję dla parzystej, rozróżniamy te dwa miejsca (liczymy \\(\\binom{5}{1}\\cdot\\binom{4}{1}\\), a nie \\(\\binom{5}{2}\\)), bo każde z tych miejsc pełni inną rolę.
\n
Sposób 1 - Trzy grupy cyfr
\n

Cyfry dostępne (bez zera): \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\).
Trzy grupy cyfr, które mogą się pojawić w liczbie:

\n
  1. cyfra \\(7\\) - ma wystąpić dokładnie raz;
  2. cyfry parzyste bez zera: \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - 4 cyfry; ma wystąpić dokładnie jedna;
  3. cyfry nieparzyste różne od 7: \\(\\{1, 3, 5, 9\\}\\) - 4 cyfry; pozostałe miejsca.
\n
Krok 1 - Wybór miejsc
\n

Liczba ma \\(5\\) pozycji.

\n\n
Krok 2 - Wybór wartości cyfr
\n\n
Krok 3 - Iloczyn
\n

\\[N = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 4^3 = 5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5\\cdot 4^5 = 5\\cdot 1024 = 5120.\\]

\n
Sposób CKE
\n

Trzy grupy: 7 (1 cyfra), parzyste bez zera (4 cyfry), nieparzyste różne od 7 (4 cyfry).

\n\n

Razem: \\(5\\cdot 4\\cdot 4\\cdot 64 = 5120\\).

\n
Odpowiedź
\n

Istnieje \\(5120\\) takich liczb.

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{32}{3}\\sqrt{3}$

"}]}