{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nMiasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu\npospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego.\nPociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas\npokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nBRUDNOPIS\nMiasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nI sposób rozwiązania\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.\nZapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla\npociągu pospiesznego: \n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\n\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n210\n24\n210\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\n210\n210\n24\n24\n210\nt\nt\n\n\n\n\n2\n24\n24\n210\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n16\n560\n24\n\n\n\n1\n4\n24\n5\n8\n2\nt\n\n\n\n,\n2\n4\n24\n7\n3,5\n8\n2\nt\n\n\n\n\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:3,5 1\n2,5\n\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\n(III.3.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla\npociągu pospiesznego: \n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\n\nNastępnie zapisujemy układ równań \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:\n\n\n210\n24\n1\n210\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nv\nv\n5040\n210\n24\n210\nv\nv\n\n\n\n\n5040\n24\n0\nv\nv\n\n\n\n2\n24\n5040\n0\nv\nv\n\n\n\n\n2\n576\n20160\n144\n\n\n\n1\n24\n144\n60\n2\nv\n\n\n\n\n,\n2\n24\n144\n84\n2\nv\n\n\n\n\n,\n2v jest sprzeczne z warunkami zadania.\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy:\n210\n210\n7\n3,5\n60\n2\nt\nv\n\n\n\n\nObliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5.\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nIII sposób rozwiązania\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.\nNarysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają\nzatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość\n\n\n24\n1\n1\n\n\nt\nv . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem\n\n\n24\n1\n\n\n\nv t\nt\nt .\nPonieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie\n\n\n24\n1\n210\nt\nt\n\n\nStąd\n2\n24\n24\n210\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n2\n16\n560\n24\n\n\n\n1\n4\n24\n5\n8\n2\nt\n\n\n\n,\n2\n4\n24\n7\n3,5\n8\n2\nt\n\n\n\n\nv\nt1\nv+24\nt\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19\n1t jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny,\na pociąg pospieszny:3,5 1\n2,5\n\ngodziny.\nOdp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie równania z dwiema niewiadomymi\n\n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\ngdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią\nprędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę,\nlub\n\n\n\n1\n24\n210\nt\nv\n\n\n\ngdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią\nprędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n210\n24\n1\n210\nv\nt\nv\nt\nlub \n\n\n210\n1\n24\n210\nt v\nt\nv\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:\n\n\n210\n24\n210\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nlub\n\n\n210\n1\n24\n210\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n24\n1\n210\nt\nt\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n\nrozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny\nalbo\n\nobliczenie czasu jazdy pociągu osobowego:\n5,3\n\nt\ni nie obliczenie czasu pokonania\ntej drogi przez pociąg pospieszny.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne\nrozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy\n210\n24\n1\nv\nt\n\n\n\n\n210\n210\n24\n1\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n1\nt  w nawias. Zapis równania\n210\n24\n1\nv\nt\n\n wskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg\nosobowy\n210\n24\n1\nv\nt\n\n\n210\n210\n24\n1\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n120\n210\n24\nt\nt\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 120\n210\n24\nt\nt\n\n\n zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\nzamiast równania\n2\n4\n4\n35\n0\nt\nt\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,\nktóry może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie\nkwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(176\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości graniastosłupa z pola trójkąta ABF\n\n**Krok 1: Rozpoznaj strukturę trójkąta ABF**\n\nGraniastosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli jego podstawy to trójkąty **równoboczne** o boku \\(AB = 8\\). Wierzchołek \\(F\\) leży **nad wierzchołkiem \\(C\\)** (krawędź boczna \\(CF\\) jest prostopadła do podstawy).\n\nNiech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Ponieważ \\(C\\) leży na osi symetrii odcinka \\(AB\\) (trójkąt równoboczny), wierzchołek \\(F\\) leżący nad \\(C\\) **też leży na tej osi symetrii**. Zatem:\n\n\\[MF \\perp AB\\]\n\nczyli \\(MF\\) jest **wysokością trójkąta \\(ABF\\)** z wierzchołka \\(F\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(|MF|\\) z pola trójkąta ABF**\n\n\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |MF| = 52\\]\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot |MF| = 52\\]\n\\[|MF| = 13\\]\n\n**Krok 3: Rozłóż \\(MF\\) na dwie prostopadłe składowe**\n\nOdcinek \\(MF\\) składa się z:\n- składowej **poziomej** \\(|MC|\\) - odległość od środka \\(AB\\) do wierzchołka \\(C\\) w podstawie (to jest wysokość trójkąta równobocznego)\n- składowej **pionowej** \\(h\\) - wysokość graniastosłupa\n\nWysokość trójkąta równobocznego o boku 8:\n\\[|MC| = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(MCF\\):\n\\[|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\]\n\\[13^2 = (4\\sqrt{3})^2 + h^2\\]\n\\[169 = 48 + h^2\\]\n\\[h^2 = 121\\]\n\\[\\boxed{h = 11}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz objętość graniastosłupa**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny o boku 8):\n\\[P_{ABC} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość:\n\\[V = P_{ABC} \\cdot h = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = \\boxed{176\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)\n\nUmieszczamy graniastosłup w układzie współrzędnych:\n\\[A = (0,\\, 0,\\, 0), \\quad B = (8,\\, 0,\\, 0), \\quad C = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, 0)\\]\n\\[F = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h)\\]\n\n(F leży nad C, bo krawędź \\(CF\\) jest pionowa)\n\nWektory boków trójkąta \\(ABF\\):\n\\[\\vec{AB} = [8,\\, 0,\\, 0], \\qquad \\vec{AF} = [4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h]\\]\n\nIloczyn wektorowy:\n\\[\\vec{AB} \\times \\vec{AF} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 8 & 0 & 0 \\\\ 4 & 4\\sqrt{3} & h \\end{vmatrix} = (0,\\ -8h,\\ 32\\sqrt{3})\\]\n\nPole trójkąta:\n\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2}|\\vec{AB} \\times \\vec{AF}| = \\frac{1}{2}\\sqrt{0 + 64h^2 + 1024 \\cdot 3} = 52\\]\n\\[\\sqrt{64h^2 + 3072} = 104\\]\n\\[64h^2 + 3072 = 10816\\]\n\\[64h^2 = 7744 \\implies h^2 = 121 \\implies h = 11\\]\n\n**Objętość:** \\(V = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nGraniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w ostatnim kroku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia pola trójkąta \\(ABF\\) (podstawa \\(a = AB = 8\\), wysokość \\(h_a = MF\\)) oraz do znalezienia pola podstawy równobocznej.\n\nPole trójkąta równobocznego (dział 10, s. 17):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Dział 10 - twierdzenie Pitagorasa (s. 15):**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\nUżyte do wyznaczenia \\(h\\) z relacji \\(|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(ABF\\) to **nie jest** trójkąt w podstawie - łączy dwa wierzchołki dolnej podstawy z jednym wierzchołkiem górnej. Nie wolno mylić go z trójkątem \\(ABC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to spostrzeżenie, że \\(MF \\perp AB\\). Wynika to z symetrii: \\(F\\) leży nad \\(C\\), a \\(C\\) leży na osi symetrii boku \\(AB\\) w trójkącie równobocznym. Bez tego nie możemy wprost użyć wzoru na pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|MC| = 4\\sqrt{3}\\) to **wysokość trójkąta równobocznego**, nie połowa boku. Łatwo tu wstawić \\(4\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), co daje błędne \\(h\\).\n\n### Strategia\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa to trójkąt równoboczny \\(ABC\\) z \\(|AB|=8\\); krawędzie boczne prostopadłe do podstawy. Trójkąt \\(ABF\\) ma jeden bok \\(AB\\) w podstawie, a \\(F\\) - wierzchołek górnej podstawy (nad \\(C\\)). Korzystamy z pola \\(\\triangle ABF\\) do wyznaczenia wysokości graniastosłupa.\n\n### Krok 1 - Wysokość trójkąta \\(ABF\\) ze względu na \\(AB\\)\nNiech \\(G\\) - środek krawędzi \\(AB\\). Wysokość \\(FG\\) trójkąta \\(ABF\\):\n\\[P_{\\triangle ABF} = \\dfrac{|AB|\\cdot|FG|}{2} = \\dfrac{8\\cdot|FG|}{2} = 4|FG|.\\]\n\\[4|FG| = 52 \\Rightarrow |FG| = 13.\\]\n\n### Krok 2 - Odległość \\(CG\\) w podstawie\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) o boku 8, wysokość (odległość \\(C\\) od środka \\(AB\\)):\n\\[|CG| = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n### Krok 3 - Wysokość graniastosłupa \\(CF\\)\nTrójkąt \\(CGF\\) jest prostokątny w \\(C\\) (\\(CF\\perp\\) podstawa, \\(CG\\) leży w podstawie). Z Pitagorasa:\n\\[|CF|^2 + |CG|^2 = |FG|^2\\]\n\\[|CF|^2 = 169 - 48 = 121 \\Rightarrow |CF| = 11.\\]\n\n### Krok 4 - Objętość\nPole podstawy (trójkąta równobocznego):\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\dfrac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}.\\]\nObjętość:\n\\[V = P_{\\triangle ABC}\\cdot|CF| = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z twierdzenia Pitagorasa dla \\(AF\\)\n\\(|AF|^2 = |FG|^2 + |AG|^2 = 169 + 16 = 185\\) (w \\(\\triangle AGF\\)).\n\\(|CF|^2 = |AF|^2 - |AC|^2 = 185 - 64 = 121\\), \\(|CF|=11\\). Dalej \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób CKE\n\\(|FG| = 13\\), \\(|CG|=4\\sqrt{3}\\), \\(|CF| = \\sqrt{169-48} = 11\\). \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{V = 176\\sqrt{3}.}\\]\n\n### Uwagi o typowych błędach\n- Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\): pole \\(= \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), wysokość \\(= \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n- Krawędź boczna graniastosłupa **prawidłowego** jest prostopadła do podstawy.\n- Trójkąt \\(ABF\\) jest równoramienny: \\(|AF|=|BF|\\); wysokość z \\(F\\) pada na środek \\(AB\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu
pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego.
Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas
pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

\n

Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
18
BRUDNOPIS
Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-5)
I sposób rozwiązania
Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.
Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla
pociągu pospiesznego: 


1
24
210
t
v




Następnie zapisujemy układ równań 


210
1
24
210
t v
t
v







Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:


210
24
210
1










t
t
210
210
24
24
210
t
t




2
24
24
210
0
t
t



2
4
4
35
0
t
t



2
16
560
24



1
4
24
5
8
2
t



,
2
4
24
7
3,5
8
2
t




1t jest sprzeczne z warunkami zadania.
Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:3,5 1
2,5

Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
(III.3.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
18
II sposób rozwiązania
Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla
pociągu pospiesznego: 


1
24
210
t
v




Następnie zapisujemy układ równań 


210
1
24
210
t v
t
v







Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:


210
24
1
210









v
v
5040
210
24
210
v
v




5040
24
0
v
v



2
24
5040
0
v
v




2
576
20160
144



1
24
144
60
2
v




,
2
24
144
84
2
v




,
2v jest sprzeczne z warunkami zadania.
Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy:
210
210
7
3,5
60
2
t
v




Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5.
Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
III sposób rozwiązania
Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.
Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają
zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość


24
1
1


t
v . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem


24
1



v t
t
t .
Ponieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie


24
1
210
t
t


Stąd
2
24
24
210
0
t
t



2
4
4
35
0
t
t



2
16
560
24



1
4
24
5
8
2
t



,
2
4
24
7
3,5
8
2
t




v
t1
v+24
t
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
19
1t jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny,
a pociąg pospieszny:3,5 1
2,5

godziny.
Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi



1
24
210
t
v



gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią
prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę,
lub



1
24
210
t
v



gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią
prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:












210
24
1
210
v
t
v
t
lub 


210
1
24
210
t v
t
v







Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:


210
24
210
1










t
t
lub


210
1
24
210
v
v










lub


24
1
210
t
t


Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały
popełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt

rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny
albo

obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego:
5,3

t
i nie obliczenie czasu pokonania
tej drogi przez pociąg pospieszny.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.
  2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne
\n

rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
20
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy
210
24
1
v
t




210
210
24
1
v t
v
t






i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
ujął wyrażenia
1
t  w nawias. Zapis równania
210
24
1
v
t

 wskazuje na poprawną
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy
210
24
1
v
t


210
210
24
1
v
t
v
t







120
210
24
t
t



i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 120
210
24
t
t


 zdający
przestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka.
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.
2
4
4
35
0
t
t



zamiast równania
2
4
4
35
0
t
t



(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak
rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,
który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie
kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(176\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości graniastosłupa z pola trójkąta ABF

\n

Krok 1: Rozpoznaj strukturę trójkąta ABF

\n

Graniastosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli jego podstawy to trójkąty równoboczne o boku \\(AB = 8\\). Wierzchołek \\(F\\) leży nad wierzchołkiem \\(C\\) (krawędź boczna \\(CF\\) jest prostopadła do podstawy).

\n

Niech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Ponieważ \\(C\\) leży na osi symetrii odcinka \\(AB\\) (trójkąt równoboczny), wierzchołek \\(F\\) leżący nad \\(C\\) też leży na tej osi symetrii. Zatem:

\n

\\[MF \\perp AB\\]

\n

czyli \\(MF\\) jest wysokością trójkąta \\(ABF\\) z wierzchołka \\(F\\).

\n

Krok 2: Wyznacz \\(|MF|\\) z pola trójkąta ABF

\n

\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |MF| = 52\\]
\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot |MF| = 52\\]
\\[|MF| = 13\\]

\n

Krok 3: Rozłóż \\(MF\\) na dwie prostopadłe składowe

\n

Odcinek \\(MF\\) składa się z:

\n\n

Wysokość trójkąta równobocznego o boku 8:
\\[|MC| = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(MCF\\):
\\[|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\]
\\[13^2 = (4\\sqrt{3})^2 + h^2\\]
\\[169 = 48 + h^2\\]
\\[h^2 = 121\\]
\\[\\boxed{h = 11}\\]

\n

Krok 4: Oblicz objętość graniastosłupa

\n

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku 8):
\\[P_{ABC} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]

\n

Objętość:
\\[V = P_{ABC} \\cdot h = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = \\boxed{176\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)

\n

Umieszczamy graniastosłup w układzie współrzędnych:
\\[A = (0,\\, 0,\\, 0), \\quad B = (8,\\, 0,\\, 0), \\quad C = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, 0)\\]
\\[F = (4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h)\\]

\n

(F leży nad C, bo krawędź \\(CF\\) jest pionowa)

\n

Wektory boków trójkąta \\(ABF\\):
\\[\\vec{AB} = [8,\\, 0,\\, 0], \\qquad \\vec{AF} = [4,\\, 4\\sqrt{3},\\, h]\\]

\n

Iloczyn wektorowy:
\\[\\vec{AB} \\times \\vec{AF} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 8 & 0 & 0 \\\\ 4 & 4\\sqrt{3} & h \\end{vmatrix} = (0,\\ -8h,\\ 32\\sqrt{3})\\]

\n

Pole trójkąta:
\\[P_{ABF} = \\frac{1}{2}|\\vec{AB} \\times \\vec{AF}| = \\frac{1}{2}\\sqrt{0 + 64h^2 + 1024 \\cdot 3} = 52\\]
\\[\\sqrt{64h^2 + 3072} = 104\\]
\\[64h^2 + 3072 = 10816\\]
\\[64h^2 = 7744 \\implies h^2 = 121 \\implies h = 11\\]

\n

Objętość: \\(V = 16\\sqrt{3} \\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)

\n

Graniastosłup prosty:
\\[V = P_p \\cdot h\\]

\n

gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w ostatnim kroku.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]

\n

Użyliśmy do obliczenia pola trójkąta \\(ABF\\) (podstawa \\(a = AB = 8\\), wysokość \\(h_a = MF\\)) oraz do znalezienia pola podstawy równobocznej.

\n

Pole trójkąta równobocznego (dział 10, s. 17):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Dział 10 - twierdzenie Pitagorasa (s. 15):
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]

\n

Użyte do wyznaczenia \\(h\\) z relacji \\(|MF|^2 = |MC|^2 + h^2\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(ABF\\) to nie jest trójkąt w podstawie - łączy dwa wierzchołki dolnej podstawy z jednym wierzchołkiem górnej. Nie wolno mylić go z trójkątem \\(ABC\\).
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowy krok to spostrzeżenie, że \\(MF \\perp AB\\). Wynika to z symetrii: \\(F\\) leży nad \\(C\\), a \\(C\\) leży na osi symetrii boku \\(AB\\) w trójkącie równobocznym. Bez tego nie możemy wprost użyć wzoru na pole.
\n
⚠️ Uwaga: \\(|MC| = 4\\sqrt{3}\\) to wysokość trójkąta równobocznego, nie połowa boku. Łatwo tu wstawić \\(4\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), co daje błędne \\(h\\).
\n
Strategia
\n

Graniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa to trójkąt równoboczny \\(ABC\\) z \\(|AB|=8\\); krawędzie boczne prostopadłe do podstawy. Trójkąt \\(ABF\\) ma jeden bok \\(AB\\) w podstawie, a \\(F\\) - wierzchołek górnej podstawy (nad \\(C\\)). Korzystamy z pola \\(\\triangle ABF\\) do wyznaczenia wysokości graniastosłupa.

\n
Krok 1 - Wysokość trójkąta \\(ABF\\) ze względu na \\(AB\\)
\n

Niech \\(G\\) - środek krawędzi \\(AB\\). Wysokość \\(FG\\) trójkąta \\(ABF\\):
\\[P_{\\triangle ABF} = \\dfrac{|AB|\\cdot|FG|}{2} = \\dfrac{8\\cdot|FG|}{2} = 4|FG|.\\]
\\[4|FG| = 52 \\Rightarrow |FG| = 13.\\]

\n
Krok 2 - Odległość \\(CG\\) w podstawie
\n

W trójkącie równobocznym \\(ABC\\) o boku 8, wysokość (odległość \\(C\\) od środka \\(AB\\)):
\\[|CG| = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]

\n
Krok 3 - Wysokość graniastosłupa \\(CF\\)
\n

Trójkąt \\(CGF\\) jest prostokątny w \\(C\\) (\\(CF\\perp\\) podstawa, \\(CG\\) leży w podstawie). Z Pitagorasa:
\\[|CF|^2 + |CG|^2 = |FG|^2\\]
\\[|CF|^2 = 169 - 48 = 121 \\Rightarrow |CF| = 11.\\]

\n
Krok 4 - Objętość
\n

Pole podstawy (trójkąta równobocznego):
\\[P_{\\triangle ABC} = \\dfrac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}.\\]
Objętość:
\\[V = P_{\\triangle ABC}\\cdot|CF| = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Z twierdzenia Pitagorasa dla \\(AF\\)
\n

\\(|AF|^2 = |FG|^2 + |AG|^2 = 169 + 16 = 185\\) (w \\(\\triangle AGF\\)).
\\(|CF|^2 = |AF|^2 - |AC|^2 = 185 - 64 = 121\\), \\(|CF|=11\\). Dalej \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).

\n
Sposób CKE
\n

\\(|FG| = 13\\), \\(|CG|=4\\sqrt{3}\\), \\(|CF| = \\sqrt{169-48} = 11\\). \\(V = 16\\sqrt{3}\\cdot 11 = 176\\sqrt{3}\\).

\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{V = 176\\sqrt{3}.}\\]

\n
Uwagi o typowych błędach
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy $2{,}5$ godziny.

"}]}