{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nIloczyn\n1\n3\n2 log 9\n\njest równy\nA. - 6\nB. - 4\nC. - 1\nD. 1\nIloczyn 2*log_{1/3}9 jest równy A. -6, B. -4, C. -1, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie wartości logarytmu (II.1.h)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(200\\,000\\) zł\n\n## Sposób 1 - równanie procentowe\n\nSzukamy kapitału \\(K\\), z którego \\(1{,}5\\%\\) wynosi \\(3000\\) zł.\n\nZapisujemy to jako równanie:\n\\[1{,}5\\% \\cdot K = 3000\\]\n\nZamieniamy procent na ułamek:\n\\[\\frac{1{,}5}{100} \\cdot K = 3000\\]\n\nWyznaczamy \\(K\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{1{,}5}{100}\\), czyli mnożymy przez \\(\\frac{100}{1{,}5}\\):\n\\[K = 3000 \\cdot \\frac{100}{1{,}5}\\]\n\nUpraszczamy:\n\\[K = \\frac{300\\,000}{1{,}5} = \\frac{300\\,000}{\\frac{3}{2}} = 300\\,000 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{600\\,000}{3} = 200\\,000\\]\n\n**Pożyczono \\(K = 200\\,000\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - myślenie proporcjonalne (przez 1%)\n\nSkoro \\(1{,}5\\%\\) kapitału to \\(3000\\) zł, to wyznaczamy najpierw wartość \\(1\\%\\):\n\\[1\\% = \\frac{3000}{1{,}5} = 2000 \\text{ zł}\\]\n\nA cały kapitał to \\(100\\%\\):\n\\[K = 2000 \\cdot 100 = 200\\,000 \\text{ zł}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(1{,}5\\% \\cdot 200\\,000 = \\frac{1{,}5}{100} \\cdot 200\\,000 = 1{,}5 \\cdot 2000 = 3000\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (równanie pierwszego stopnia).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(45\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot \\frac{1{,}5}{100} = 45\\) - obliczono \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), zamiast odwrócić operację |\n| B: \\(2000\\) zł | Obliczono \\(1\\%\\) kapitału (wynik pośredni \\(\\frac{3000}{1{,}5} = 2000\\)), ale nie pomnożono przez \\(100\\) |\n| D: \\(450\\,000\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot 150 = 450\\,000\\) - zamieniono \\(1{,}5\\%\\) na \\(150\\) zamiast na \\(\\frac{1{,}5}{100}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach „p% z X = Y, znajdź X\" łatwo wykonać odwrotną operację - czyli zamiast dzielić przez procent, pomnożyć. Zawsze sprawdzaj, czy pytanie pyta o CAŁOŚĆ czy o CZĘŚĆ.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1{,}5\\% = \\frac{1{,}5}{100} = 0{,}015\\), NIE \\(1{,}5\\) ani \\(15\\). Przestawienie przecinka to najczęstszy błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik pośredni \\(2000\\) (czyli \\(1\\%\\) kapitału) jest jedną z odpowiedzi - celowa pułapka! Zawsze doczytaj pytanie do końca i upewnij się, że odpowiadasz na właściwe pytanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie procentowe\nNiech \\(K\\) - kwota pożyczonego kapitału. \\(1{,}5\\%\\) z \\(K\\) to \\(0{,}015K\\).\n\\[0{,}015K = 3000.\\]\n\\[K = \\dfrac{3000}{0{,}015} = \\dfrac{3000\\cdot 1000}{15} = \\dfrac{3\\,000\\,000}{15} = 200\\,000.\\]\n\nPożyczono **\\(200\\,000\\) zł**.\n\n### Sposób 2 - Proporcja\n\\(1{,}5\\%\\) kapitału \\(= 3000\\) zł, więc \\(1\\%\\) \\(= 2000\\) zł, a \\(100\\%\\) \\(= 200\\,000\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45\\)** - to \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), a nie z \\(K\\).\n- **B. \\(2000\\)** - to \\(1\\%\\) kwoty, a nie całość.\n- **D. \\(450\\,000\\)** - błędne \\(0{,}015\\cdot 3000\\cdot 10\\) lub podobny rachunek.\n\n**Pamiętaj:** \\(p\\%\\) z \\(K\\) \\(= \\dfrac{p}{100}\\cdot K\\); stąd \\(K = \\dfrac{\\text{wartość}}{p/100}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (1 pkt)<br>Iloczyn<br>1<br>3<br>2 log 9<br><br>jest równy<br>A. - 6<br>B. - 4<br>C. - 1<br>D. 1<br>Iloczyn 2*log_{1/3}9 jest równy A. -6, B. -4, C. -1, D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Obliczenie wartości logarytmu (II.1.h)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(200\\,000\\) zł</h4>\n<h4>Sposób 1 - równanie procentowe</h4>\n<p>Szukamy kapitału \\(K\\), z którego \\(1{,}5\\%\\) wynosi \\(3000\\) zł.</p>\n<p>Zapisujemy to jako równanie:<br>\\[1{,}5\\% \\cdot K = 3000\\]</p>\n<p>Zamieniamy procent na ułamek:<br>\\[\\frac{1{,}5}{100} \\cdot K = 3000\\]</p>\n<p>Wyznaczamy \\(K\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{1{,}5}{100}\\), czyli mnożymy przez \\(\\frac{100}{1{,}5}\\):<br>\\[K = 3000 \\cdot \\frac{100}{1{,}5}\\]</p>\n<p>Upraszczamy:<br>\\[K = \\frac{300\\,000}{1{,}5} = \\frac{300\\,000}{\\frac{3}{2}} = 300\\,000 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{600\\,000}{3} = 200\\,000\\]</p>\n<p><strong>Pożyczono \\(K = 200\\,000\\) zł.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - myślenie proporcjonalne (przez 1%)</h4>\n<p>Skoro \\(1{,}5\\%\\) kapitału to \\(3000\\) zł, to wyznaczamy najpierw wartość \\(1\\%\\):<br>\\[1\\% = \\frac{3000}{1{,}5} = 2000 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>A cały kapitał to \\(100\\%\\):<br>\\[K = 2000 \\cdot 100 = 200\\,000 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(1{,}5\\% \\cdot 200\\,000 = \\frac{1{,}5}{100} \\cdot 200\\,000 = 1{,}5 \\cdot 2000 = 3000\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (równanie pierwszego stopnia).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(45\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot \\frac{1{,}5}{100} = 45\\) - obliczono \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), zamiast odwrócić operację |<br>| B: \\(2000\\) zł | Obliczono \\(1\\%\\) kapitału (wynik pośredni \\(\\frac{3000}{1{,}5} = 2000\\)), ale nie pomnożono przez \\(100\\) |<br>| D: \\(450\\,000\\) zł | Pomnożono \\(3000 \\cdot 150 = 450\\,000\\) - zamieniono \\(1{,}5\\%\\) na \\(150\\) zamiast na \\(\\frac{1{,}5}{100}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zadaniach „p% z X = Y, znajdź X&quot; łatwo wykonać odwrotną operację - czyli zamiast dzielić przez procent, pomnożyć. Zawsze sprawdzaj, czy pytanie pyta o CAŁOŚĆ czy o CZĘŚĆ.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(1{,}5\\% = \\frac{1{,}5}{100} = 0{,}015\\), NIE \\(1{,}5\\) ani \\(15\\). Przestawienie przecinka to najczęstszy błąd rachunkowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik pośredni \\(2000\\) (czyli \\(1\\%\\) kapitału) jest jedną z odpowiedzi - celowa pułapka! Zawsze doczytaj pytanie do końca i upewnij się, że odpowiadasz na właściwe pytanie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równanie procentowe</h5>\n<p>Niech \\(K\\) - kwota pożyczonego kapitału. \\(1{,}5\\%\\) z \\(K\\) to \\(0{,}015K\\).<br>\\[0{,}015K = 3000.\\]<br>\\[K = \\dfrac{3000}{0{,}015} = \\dfrac{3000\\cdot 1000}{15} = \\dfrac{3\\,000\\,000}{15} = 200\\,000.\\]</p>\n<p>Pożyczono <strong>\\(200\\,000\\) zł</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Proporcja</h5>\n<p>\\(1{,}5\\%\\) kapitału \\(= 3000\\) zł, więc \\(1\\%\\) \\(= 2000\\) zł, a \\(100\\%\\) \\(= 200\\,000\\) zł.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(45\\)</strong> - to \\(1{,}5\\%\\) z \\(3000\\), a nie z \\(K\\).</li><li><strong>B. \\(2000\\)</strong> - to \\(1\\%\\) kwoty, a nie całość.</li><li><strong>D. \\(450\\,000\\)</strong> - błędne \\(0{,}015\\cdot 3000\\cdot 10\\) lub podobny rachunek.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(p\\%\\) z \\(K\\) \\(= \\dfrac{p}{100}\\cdot K\\); stąd \\(K = \\dfrac{\\text{wartość}}{p/100}\\).</p>"}]}