{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWskaż liczbę, która spełnia równanie 3\n1\n4\n\n\nx\nx .\nA.\n1\n\n\nx\nB.\n1\n\nx\nC.\n2\n\nx\nD.\n2\n\n\nx\nWskaż liczbę, która spełnia równanie |3x+1|=4x. A. x=-1, B. x=1, C. x=2, D. x=-2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej do rozwiązania równania\ntypu x\na\nb\n\n\n(II.1.f)\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Zamiana na postać kanoniczną i odczyt cech wykresu\n\nPrzekształćmy funkcję \\(y = x^2 + 2x - 3\\) do postaci kanonicznej, żeby łatwo odczytać wierzchołek paraboli.\n\n**Uzupełniamy do pełnego kwadratu:**\n\\[y = x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3\\]\n\\[y = (x + 1)^2 - 4\\]\n\n**Wierzchołek paraboli** to punkt \\(W = (-1, -4)\\).\n\n**Kierunek otwarcia:** współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwarta **ku górze** (ramiona idą w górę).\n\n**Miejsca zerowe** (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)):\n\\[(x+1)^2 - 4 = 0 \\implies (x+1)^2 = 4 \\implies x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)** (podstawiamy \\(x = 0\\)):\n\\[y = 0 + 0 - 3 = -3\\]\n\n**Podsumowanie cech wykresu:**\n- otwarta ku górze\n- wierzchołek w \\((-1, -4)\\) - poniżej osi \\(Ox\\)\n- przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\)\n- przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -3)\\)\n\n**Szukamy rysunku, który spełnia WSZYSTKIE te warunki → rysunek A.**\n\n## Sposób 2 - Podstawianie wybranych punktów\n\nSprawdzamy wartości funkcji dla kilku \"łatwych\" argumentów i weryfikujemy, który rysunek je pokazuje.\n\n| \\(x\\) | \\(y = x^2 + 2x - 3\\) | Obliczenie |\n| \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(9 - 6 - 3 = 0\\) |\n| \\(-1\\) | \\(-4\\) | \\(1 - 2 - 3 = -4\\) |\n| \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(0 + 0 - 3 = -3\\) |\n| \\(1\\) | \\(0\\) | \\(1 + 2 - 3 = 0\\) |\n\nSzukamy rysunku, na którym:\n- parabola **przechodzi przez \\((-3, 0)\\)** i **\\((1, 0)\\)** - przekroje z osią \\(Ox\\) po obu stronach, asymetrycznie względem osi \\(Oy\\),\n- **wierzchołek leży w \\((-1, -4)\\)** - najniższy punkt jest lekko po lewej stronie osi \\(Oy\\),\n- w \\(x = 0\\) wartość wynosi \\(-3\\).\n\nRysunek spełniający te warunki to **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka \\((-1, -4)\\).\n\n**Dział 7 (s. 8)** - miejsca zerowe przy \\(\\Delta > 0\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nLub równoważnie - rozkład na czynniki z postaci kanonicznej. Wyznaczono \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń bierze parabolę otwartą **ku dołowi** (jakby \\(a = -1\\)) - zapomina, że współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni |\n| C | Uczeń poprawnie otwiera ku górze, ale przyjmuje wierzchołek **po prawej stronie** osi \\(Oy\\) (np. myli znak - bierze \\((+1, -4)\\) zamiast \\((-1, -4)\\)) |\n| D | Uczeń odczytuje miejsca zerowe jako \\(x = 3\\) i \\(x = -1\\) (zamienia znaki wyraz wolny z środkowym - klasyczna pomyłka przy faktoryzacji \\(x^2 + 2x - 3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(y = x^2 + 2x - 3\\) na postać kanoniczną - pamiętaj, że dodajesz i **odejmujesz** tę samą liczbę. Tu: \\(+1 - 1\\). Jeśli zapomnisz odjąć, dostaniesz błędny wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli \\(y = (x+1)^2 - 4\\) jest w \\((-1, -4)\\), **nie** w \\((1, -4)\\). Znak w nawiasie jest odwrotny niż współrzędna \\(x\\) wierzchołka - to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli na rysunku oś \\(Oy\\) jest zaznaczona krótko, łatwo przeoczyć, że \\(y(0) = -3\\). Zawsze warto sprawdzić punkt dla \\(x = 0\\) - liczy się w 2 sekundy i pozwala od razu wyeliminować błędne wykresy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\nWykres to parabola \\(y = x^2+2x-3\\) (\\(a=1>0\\)) - ramiona w górę.\n\nWspółrzędne wierzchołka:\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{2}{2} = -1.\\]\n\\[y_w = (-1)^2 + 2\\cdot(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, -4)\\).\n\n### Sposób 2 - Miejsca zerowe i punkt z osią \\(Oy\\)\nMiejsca zerowe: \\(x^2+2x-3 = 0\\), \\((x+3)(x-1) = 0 \\Rightarrow x = -3\\) lub \\(x = 1\\).\nPunkt przecięcia z osią \\(Oy\\): \\(y(0) = -3\\).\n\nSzukamy rysunku paraboli z ramionami w górę, przechodzącej przez \\((-3, 0)\\), \\((1, 0)\\), z wierzchołkiem w \\((-1, -4)\\) i punktem \\((0, -3)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Ramiona w dół (\\(a<0\\)) - niezgodne z \\(a=1\\).\n- **C.** Zły wierzchołek lub miejsca zerowe.\n- **D.** Ramiona w dół.\n\n**Pamiętaj:** Znak \\(a\\) wskazuje kierunek ramion; pierwiastki i wierzchołek określają położenie.","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Wskaż liczbę, która spełnia równanie 3
1
4


x
x .
A.
1


x
B.
1

x
C.
2

x
D.
2


x
Wskaż liczbę, która spełnia równanie |3x+1|=4x. A. x=-1, B. x=1, C. x=2, D. x=-2

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie pojęcia wartości
bezwzględnej do rozwiązania równania
typu x
a
b


(II.1.f)
B
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Sposób 1 - Zamiana na postać kanoniczną i odczyt cech wykresu

\n

Przekształćmy funkcję \\(y = x^2 + 2x - 3\\) do postaci kanonicznej, żeby łatwo odczytać wierzchołek paraboli.

\n

Uzupełniamy do pełnego kwadratu:
\\[y = x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3\\]
\\[y = (x + 1)^2 - 4\\]

\n

Wierzchołek paraboli to punkt \\(W = (-1, -4)\\).

\n

Kierunek otwarcia: współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwarta ku górze (ramiona idą w górę).

\n

Miejsca zerowe (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)):
\\[(x+1)^2 - 4 = 0 \\implies (x+1)^2 = 4 \\implies x + 1 = \\pm 2\\]
\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]

\n

Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) (podstawiamy \\(x = 0\\)):
\\[y = 0 + 0 - 3 = -3\\]

\n

Podsumowanie cech wykresu:

\n\n

Szukamy rysunku, który spełnia WSZYSTKIE te warunki → rysunek A.

\n

Sposób 2 - Podstawianie wybranych punktów

\n

Sprawdzamy wartości funkcji dla kilku "łatwych" argumentów i weryfikujemy, który rysunek je pokazuje.

\n

| \\(x\\) | \\(y = x^2 + 2x - 3\\) | Obliczenie |
| \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(9 - 6 - 3 = 0\\) |
| \\(-1\\) | \\(-4\\) | \\(1 - 2 - 3 = -4\\) |
| \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(0 + 0 - 3 = -3\\) |
| \\(1\\) | \\(0\\) | \\(1 + 2 - 3 = 0\\) |

\n

Szukamy rysunku, na którym:

\n\n

Rysunek spełniający te warunki to A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka \\((-1, -4)\\).

\n

Dział 7 (s. 8) - miejsca zerowe przy \\(\\Delta > 0\\):
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Lub równoważnie - rozkład na czynniki z postaci kanonicznej. Wyznaczono \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń bierze parabolę otwartą ku dołowi (jakby \\(a = -1\\)) - zapomina, że współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni |
| C | Uczeń poprawnie otwiera ku górze, ale przyjmuje wierzchołek po prawej stronie osi \\(Oy\\) (np. myli znak - bierze \\((+1, -4)\\) zamiast \\((-1, -4)\\)) |
| D | Uczeń odczytuje miejsca zerowe jako \\(x = 3\\) i \\(x = -1\\) (zamienia znaki wyraz wolny z środkowym - klasyczna pomyłka przy faktoryzacji \\(x^2 + 2x - 3\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy zamianie \\(y = x^2 + 2x - 3\\) na postać kanoniczną - pamiętaj, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę. Tu: \\(+1 - 1\\). Jeśli zapomnisz odjąć, dostaniesz błędny wierzchołek.
\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołek paraboli \\(y = (x+1)^2 - 4\\) jest w \\((-1, -4)\\), nie w \\((1, -4)\\). Znak w nawiasie jest odwrotny niż współrzędna \\(x\\) wierzchołka - to klasyczna pułapka!
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli na rysunku oś \\(Oy\\) jest zaznaczona krótko, łatwo przeoczyć, że \\(y(0) = -3\\). Zawsze warto sprawdzić punkt dla \\(x = 0\\) - liczy się w 2 sekundy i pozwala od razu wyeliminować błędne wykresy.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wierzchołek paraboli
\n

Wykres to parabola \\(y = x^2+2x-3\\) (\\(a=1>0\\)) - ramiona w górę.

\n

Współrzędne wierzchołka:
\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{2}{2} = -1.\\]
\\[y_w = (-1)^2 + 2\\cdot(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\\]

\n

Wierzchołek: \\(W = (-1, -4)\\).

\n
Sposób 2 - Miejsca zerowe i punkt z osią \\(Oy\\)
\n

Miejsca zerowe: \\(x^2+2x-3 = 0\\), \\((x+3)(x-1) = 0 \\Rightarrow x = -3\\) lub \\(x = 1\\).
Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\): \\(y(0) = -3\\).

\n

Szukamy rysunku paraboli z ramionami w górę, przechodzącej przez \\((-3, 0)\\), \\((1, 0)\\), z wierzchołkiem w \\((-1, -4)\\) i punktem \\((0, -3)\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: Znak \\(a\\) wskazuje kierunek ramion; pierwiastki i wierzchołek określają położenie.

"}]}