{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nLiczby\n2\n1, x\nx\nsą różnymi rozwiązaniami równania\n2\n2\n3\n7\n0\n\n\n\nx\nx\n. Suma\n1\n2\nx\nx\n\njest równa\nA.\n7\n2\n\nB.\n7\n4\n\nC.\n3\n2\n\nD.\n3\n4\n\nLiczby x_1, x_2 są różnymi rozwiązaniami równania 2x^2+3x-7=0. Suma x_1+x_2 jest równa A. -7/2, B. -7/4, C. -3/2, D. -3/4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie sumy rozwiązań równania\nkwadratowego (II.3.a)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((2, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (wyłączenie pełnego kwadratu)\n\nMamy \\(f(x) = x^2 - 4x + 4\\). Zauważamy, że wyrażenie to jest **pełnym kwadratem**:\n\n\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\\]\n\nTo już postać kanoniczna \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie:\n\\[p = 2, \\quad q = 0\\]\n\n**Wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q) = (2, 0)\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzory na współrzędne wierzchołka\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) współrzędne wierzchołka wyznaczamy wzorami:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 4\\).\n\n**Obliczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Obliczamy \\(\\Delta\\):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]\n\n**Obliczamy \\(q\\):**\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{0}{4} = 0\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).** ✓\n\nDodatkowo: skoro \\(\\Delta = 0\\), parabola **dotyka osi OX** dokładnie w punkcie \\(x = 2\\) - wierzchołek leży na osi OX. To potwierdza, że \\(q = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(W = (p, q)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 1 - rozpoznanie pełnego kwadratu daje wierzchołek wprost.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\((0, 2)\\) | Podmiana kolejności - uczeń wziął \\(x = 0\\) i obliczył \\(f(0) = 4\\), albo pomylił \\(p\\) z \\(q\\) i zamienił współrzędne miejsca zerowego z wierzchołkiem |\n| B: \\((0, -2)\\) | Wzięcie \\(x = 0\\) i błędne obliczenie \\(f(0)\\), lub wzięcie \\(-\\frac{b}{2} = 2\\) ale jako odciętą zamienioną na odciętą \\(= 0\\) z dodatkowym błędem znaku |\n| C: \\((-2, 0)\\) | Błąd znaku w wzorze - uczeń wziął \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) ale bez zmiany znaku \\(b\\): \\(-\\frac{(-4)}{2} = -2\\) zamiast \\(+2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - zwróć uwagę na **minus** przed ułamkiem! Przy \\(b = -4\\) łatwo zgubić znak i otrzymać \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (błąd odpowiedzi C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek **nie** jest punktem przecięcia z osią OY! Punkt \\((0, f(0))\\) to coś innego niż wierzchołek - wiele osób myli te dwa punkty (błąd odpowiedzi A).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy widzisz \\(x^2 - 4x + 4\\), od razu sprawdź, czy to nie jest pełny kwadrat \\((x-2)^2\\). Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia to najszybsza droga do wierzchołka!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.\\]\nPostać kanoniczna \\((x-p)^2 + q\\) ma wierzchołek \\(W = (p, q)\\). Tutaj \\(p = 2\\), \\(q = 0\\).\nWierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory na wierzchołek paraboli\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-4}{2} = 2.\\]\n\\[y_w = f(2) = 4 - 8 + 4 = 0.\\]\nWierzchołek: \\((2, 0)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((0,2)\\)** - pomylono współrzędne; \\(f(0) = 4\\), nie 2.\n- **B. \\((0,-2)\\)** - zły znak i współrzędne.\n- **C. \\((-2,0)\\)** - zły znak przy \\(x\\); \\(x_w = +2\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(f(x) = ax^2+bx+c\\): \\(x_w = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(y_w = f(x_w)\\). Gdy \\(\\Delta = 0\\) - wierzchołek leży na osi \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Liczby<br>2<br>1, x<br>x<br>są różnymi rozwiązaniami równania<br>2<br>2<br>3<br>7<br>0<br><br><br><br>x<br>x<br>. Suma<br>1<br>2<br>x<br>x<br><br>jest równa<br>A.<br>7<br>2<br><br>B.<br>7<br>4<br><br>C.<br>3<br>2<br><br>D.<br>3<br>4<br><br>Liczby x_1, x_2 są różnymi rozwiązaniami równania 2x^2+3x-7=0. Suma x_1+x_2 jest równa A. -7/2, B. -7/4, C. -3/2, D. -3/4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Obliczenie sumy rozwiązań równania<br>kwadratowego (II.3.a)<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\((2, 0)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Postać kanoniczna (wyłączenie pełnego kwadratu)</h4>\n<p>Mamy \\(f(x) = x^2 - 4x + 4\\). Zauważamy, że wyrażenie to jest <strong>pełnym kwadratem</strong>:</p>\n<p>\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\\]</p>\n<p>To już postać kanoniczna \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie:<br>\\[p = 2, \\quad q = 0\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q) = (2, 0)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wzory na współrzędne wierzchołka</h4>\n<p>Dla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) współrzędne wierzchołka wyznaczamy wzorami:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Odczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 4\\).</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(p\\):</strong><br>\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(\\Delta\\):</strong><br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(q\\):</strong><br>\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{0}{4} = 0\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).</strong> ✓</p>\n<p>Dodatkowo: skoro \\(\\Delta = 0\\), parabola <strong>dotyka osi OX</strong> dokładnie w punkcie \\(x = 2\\) - wierzchołek leży na osi OX. To potwierdza, że \\(q = 0\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędne wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(W = (p, q)\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Użyta w Sposobie 1 - rozpoznanie pełnego kwadratu daje wierzchołek wprost.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\((0, 2)\\) | Podmiana kolejności - uczeń wziął \\(x = 0\\) i obliczył \\(f(0) = 4\\), albo pomylił \\(p\\) z \\(q\\) i zamienił współrzędne miejsca zerowego z wierzchołkiem |<br>| B: \\((0, -2)\\) | Wzięcie \\(x = 0\\) i błędne obliczenie \\(f(0)\\), lub wzięcie \\(-\\frac{b}{2} = 2\\) ale jako odciętą zamienioną na odciętą \\(= 0\\) z dodatkowym błędem znaku |<br>| C: \\((-2, 0)\\) | Błąd znaku w wzorze - uczeń wziął \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) ale bez zmiany znaku \\(b\\): \\(-\\frac{(-4)}{2} = -2\\) zamiast \\(+2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - zwróć uwagę na <strong>minus</strong> przed ułamkiem! Przy \\(b = -4\\) łatwo zgubić znak i otrzymać \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (błąd odpowiedzi C).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wierzchołek <strong>nie</strong> jest punktem przecięcia z osią OY! Punkt \\((0, f(0))\\) to coś innego niż wierzchołek - wiele osób myli te dwa punkty (błąd odpowiedzi A).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kiedy widzisz \\(x^2 - 4x + 4\\), od razu sprawdź, czy to nie jest pełny kwadrat \\((x-2)^2\\). Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia to najszybsza droga do wierzchołka!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia</h5>\n<p>\\[f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.\\]<br>Postać kanoniczna \\((x-p)^2 + q\\) ma wierzchołek \\(W = (p, q)\\). Tutaj \\(p = 2\\), \\(q = 0\\).<br>Wierzchołek: \\(W = (2, 0)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzory na wierzchołek paraboli</h5>\n<p>\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-4}{2} = 2.\\]<br>\\[y_w = f(2) = 4 - 8 + 4 = 0.\\]<br>Wierzchołek: \\((2, 0)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((0,2)\\)</strong> - pomylono współrzędne; \\(f(0) = 4\\), nie 2.</li><li><strong>B. \\((0,-2)\\)</strong> - zły znak i współrzędne.</li><li><strong>C. \\((-2,0)\\)</strong> - zły znak przy \\(x\\); \\(x_w = +2\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dla \\(f(x) = ax^2+bx+c\\): \\(x_w = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(y_w = f(x_w)\\). Gdy \\(\\Delta = 0\\) - wierzchołek leży na osi \\(Ox\\).</p>"}]}