{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nMiejscami zerowymi funkcji kwadratowej\n\n\n\n2\n7\n3\n\n\n\n\nx\nx\ny\nsą\nA.\n2\n,7\n\n\n\nx\nx\nB.\n2\n,7\n\n\n\n\nx\nx\nC.\n2\n,7\n\n\nx\nx\nD.\n2\n,7\n\n\n\nx\nx\nMiejscami zerowymi funkcji kwadratowej y=-3(x-7)(x+2) są A. x=7, x=-2, B. x=-7, x=-2, C. x=7, x=2, D. x=-7, x=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nOdczytanie z postaci iloczynowej funkcji\nkwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(18°\\) i \\(108°\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Co wiemy:** suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\). Jeden kąt to \\(54°\\), a pozostałe dwa oznaczamy \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\), gdzie jeden jest 6 razy większy od drugiego.\n\n**Krok 1.** Zapisujemy warunek \"jeden jest 6 razy większy od drugiego\":\n\\[\\beta = 6\\alpha\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z faktu, że suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\):\n\\[54° + \\alpha + \\beta = 180°\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy \\(\\beta = 6\\alpha\\):\n\\[54° + \\alpha + 6\\alpha = 180°\\]\n\\[54° + 7\\alpha = 180°\\]\n\\[7\\alpha = 126°\\]\n\\[\\alpha = 18°\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy drugi kąt:\n\\[\\beta = 6 \\cdot 18° = 108°\\]\n\n**Wynik: \\(\\alpha = 18°\\) i \\(\\beta = 108°\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy wyznaczone kąty spełniają wszystkie warunki zadania.\n\n**Warunek 1** - suma kątów trójkąta:\n\\[54° + 18° + 108° = 180° \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2** - jeden kąt jest 6 razy większy od drugiego:\n\\[\\frac{108°}{18°} = 6 \\checkmark\\]\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź **C** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowej własności trójkąta: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartości | Błąd |\n| A | \\(21°\\) i \\(105°\\) | \\(54° + 21° + 105° = 180°\\) ✓, ale \\(\\frac{105°}{21°} = 5\\), nie \\(6\\) - błędny stosunek |\n| B | \\(11°\\) i \\(66°\\) | \\(54° + 11° + 66° = 131° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |\n| D | \\(16°\\) i \\(96°\\) | \\(54° + 16° + 96° = 166° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"6 razy większy\" znaczy \\(\\beta = 6\\alpha\\), a **nie** \\(\\beta = \\alpha + 6\\). To częsty błąd - pomylenie \"6 razy większy\" z \"o 6 większy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że odejmujemy znany kąt od \\(180°\\) **przed** ustawieniem równania - zostaje nam \\(180° - 54° = 126°\\) do podziału między dwa nieznane kąty. To skraca obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A jest \"prawie poprawna\" - suma kątów się zgadza, ale stosunek wynosi \\(5\\), nie \\(6\\). To klasyczna pułapka zastawiona przez twórców testu!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie na sumę kątów\nSuma kątów w trójkącie: \\(180^{\\circ}\\).\nNiech mniejszy z dwóch pozostałych = \\(x\\), drugi = \\(6x\\). Wtedy:\n\\[54^{\\circ} + x + 6x = 180^{\\circ}\\]\n\\[7x = 126^{\\circ}\\]\n\\[x = 18^{\\circ}.\\]\nDrugi kąt: \\(6x = 108^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi\nSprawdzamy: czy dwa kąty dają w sumie \\(126^{\\circ}\\) i czy jeden jest \\(6\\) razy większy.\n- **C.** \\(18+108 = 126\\) ✓, \\(108 = 6\\cdot 18\\) ✓\n- **A.** \\(21+105 = 126\\) ✓, ale \\(105 = 5\\cdot 21\\), nie \\(6\\) razy.\n- **B.** \\(11+66 = 77\\) ≠ 126.\n- **D.** \\(16+96 = 112\\) ≠ 126.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Suma się zgadza, ale proporcja nie (\\(5:1\\) zamiast \\(6:1\\)).\n- **B, D.** Błędne sumy kątów.\n\n**Pamiętaj:** suma kątów trójkąta zawsze = \\(180^{\\circ}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej



2
7
3




x
x
y
są
A.
2
,7



x
x
B.
2
,7




x
x
C.
2
,7


x
x
D.
2
,7



x
x
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y=-3(x-7)(x+2) są A. x=7, x=-2, B. x=-7, x=-2, C. x=7, x=2, D. x=-7, x=2

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji
kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j)
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(18°\\) i \\(108°\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań

\n

Co wiemy: suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\). Jeden kąt to \\(54°\\), a pozostałe dwa oznaczamy \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\), gdzie jeden jest 6 razy większy od drugiego.

\n

Krok 1. Zapisujemy warunek "jeden jest 6 razy większy od drugiego":
\\[\\beta = 6\\alpha\\]

\n

Krok 2. Korzystamy z faktu, że suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\):
\\[54° + \\alpha + \\beta = 180°\\]

\n

Krok 3. Podstawiamy \\(\\beta = 6\\alpha\\):
\\[54° + \\alpha + 6\\alpha = 180°\\]
\\[54° + 7\\alpha = 180°\\]
\\[7\\alpha = 126°\\]
\\[\\alpha = 18°\\]

\n

Krok 4. Wyznaczamy drugi kąt:
\\[\\beta = 6 \\cdot 18° = 108°\\]

\n

Wynik: \\(\\alpha = 18°\\) i \\(\\beta = 108°\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)

\n

Sprawdzamy, czy wyznaczone kąty spełniają wszystkie warunki zadania.

\n

Warunek 1 - suma kątów trójkąta:
\\[54° + 18° + 108° = 180° \\checkmark\\]

\n

Warunek 2 - jeden kąt jest 6 razy większy od drugiego:
\\[\\frac{108°}{18°} = 6 \\checkmark\\]

\n

Oba warunki spełnione - odpowiedź C jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowej własności trójkąta: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartości | Błąd |
| A | \\(21°\\) i \\(105°\\) | \\(54° + 21° + 105° = 180°\\) ✓, ale \\(\\frac{105°}{21°} = 5\\), nie \\(6\\) - błędny stosunek |
| B | \\(11°\\) i \\(66°\\) | \\(54° + 11° + 66° = 131° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |
| D | \\(16°\\) i \\(96°\\) | \\(54° + 16° + 96° = 166° \\neq 180°\\) - kąty nie sumują się do \\(180°\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: "6 razy większy" znaczy \\(\\beta = 6\\alpha\\), a nie \\(\\beta = \\alpha + 6\\). To częsty błąd - pomylenie "6 razy większy" z "o 6 większy".
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że odejmujemy znany kąt od \\(180°\\) przed ustawieniem równania - zostaje nam \\(180° - 54° = 126°\\) do podziału między dwa nieznane kąty. To skraca obliczenia.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź A jest "prawie poprawna" - suma kątów się zgadza, ale stosunek wynosi \\(5\\), nie \\(6\\). To klasyczna pułapka zastawiona przez twórców testu!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Równanie na sumę kątów
\n

Suma kątów w trójkącie: \\(180^{\\circ}\\).
Niech mniejszy z dwóch pozostałych = \\(x\\), drugi = \\(6x\\). Wtedy:
\\[54^{\\circ} + x + 6x = 180^{\\circ}\\]
\\[7x = 126^{\\circ}\\]
\\[x = 18^{\\circ}.\\]
Drugi kąt: \\(6x = 108^{\\circ}\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi
\n

Sprawdzamy: czy dwa kąty dają w sumie \\(126^{\\circ}\\) i czy jeden jest \\(6\\) razy większy.

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: suma kątów trójkąta zawsze = \\(180^{\\circ}\\).

"}]}