{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem \n6\n\nax\nx\nf\n, gdzie\n0\n\na\n. Wówczas spełniony jest\nwarunek\nA.\n\n1\n1 \nf\nB.\n\n2\n2 \nf\nC.\n\n3\n3 \nf\nD.\n\n4\n4 \nf\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+6, gdzie a>0. Wówczas spełniony jest warunek A. f(1)>1, B. f(2)=2, C. f(3)<3, D. f(4)=4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\nwspółczynników we wzorze funkcji\nliniowej (I.4.g)\nA\nD\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\nNarysujmy prostokąt \\(ABCD\\), gdzie krótszy bok \\(AB = 6\\), dłuższy bok \\(BC = x\\).\n\nPrzekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(BC\\) kąt \\(30°\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):\n- Bok naprzeciw kąta \\(30°\\) to krótszy bok \\(AB = 6\\)\n- Bok przyległy do kąta \\(30°\\) to dłuższy bok \\(BC = x\\)\n\nKorzystamy z definicji tangensa:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{AB}{BC} = \\frac{6}{x}\\]\n\nStąd:\n\\[x = \\frac{6}{\\operatorname{tg} 30°}\\]\n\nZ tabeli wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:\n\\[x = \\frac{6}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 6 \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{18}{\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{3}}{3} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - sinus i weryfikacja\n\nW tym samym trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):\n- Kąt przy \\(C\\) wynosi \\(30°\\)\n- Kąt przy \\(A\\) wynosi \\(90° - 30° = 60°\\)\n\nKorzystamy z sinusa:\n\\[\\sin 30° = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{AC}\\]\n\\[AC = \\frac{6}{\\sin 30°} = \\frac{6}{\\frac{1}{2}} = 12\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\\]\n\\[BC = \\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik: \\(6\\sqrt{3}\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\nSprawdzamy, czy \\(6\\sqrt{3} > 6\\) (warunek, że to rzeczywiście dłuższy bok):\n\\[6\\sqrt{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}732 = 10{,}39 > 6 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia dłuższego boku.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nNiezbędne przy podstawianiu.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastków:\n\\[\\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 przy twierdzeniu Pitagorasa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((2\\sqrt{3})\\) | Odwrócono stosunek: policzono \\(\\operatorname{tg}30° \\cdot 6 = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 6 = 2\\sqrt{3}\\) zamiast dzielić |\n| B \\((4\\sqrt{3})\\) | Brak sensownego błędu prowadzącego do tego wyniku - prawdopodobnie błędne oszacowanie lub pomylenie kąta z kątem \\(45°\\) i poprawienie \"na oko\" |\n| D \\((12)\\) | Podana jest długość przekątnej \\(AC = 12\\), nie dłuższego boku - pominięto ostatni krok |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a **dłuższym** bokiem - nie krótszym! Łatwo narysować trójkąt \"odwrotnie\" i zamienić role boków. Zawsze zaznacz kąty na rysunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - wielu uczniów odwraca i pisze \\(\\sqrt{3}\\), które jest wartością \\(\\operatorname{tg} 60°\\). Sprawdź w tabeli!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(12\\) to długość przekątnej - odpowiedź D jest kusząca, bo \"wychodzi\" przy obliczeniach. Zawsze czytaj, **co** pytanie pyta: bok czy przekątna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja tangensa\nW trójkącie prostokątnym utworzonym przez boki i przekątną prostokąta, kąt \\(30^{\\circ}\\) leży między dłuższym bokiem \\(b\\) a przekątną. Przeciwległa to krótszy bok \\(a = 6\\), przyległa to dłuższy bok \\(b\\).\n\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{6}{b}.\\]\n\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{6}{b}\\ \\Rightarrow\\ b = \\dfrac{6\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{18}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Cotangens\n\\[\\operatorname{ctg} 30^{\\circ} = \\dfrac{b}{a} = \\dfrac{b}{6}.\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\dfrac{b}{6}\\ \\Rightarrow\\ b = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sqrt{3}\\)** - błąd: użyto \\(\\tan 60^{\\circ}\\) lub odwrócono relację.\n- **B. \\(4\\sqrt{3}\\)** - pomyłkowe obliczenia.\n- **D. \\(12\\)** - to odpowiednie, gdyby kąt był \\(60^{\\circ}\\) (dwa razy krótszy bok).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\tan 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\tan 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Funkcja liniowa f jest określona wzorem 
6

ax
x
f
, gdzie
0

a
. Wówczas spełniony jest
warunek
A.

1
1 
f
B.

2
2 
f
C.

3
3 
f
D.

4
4 
f

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+6, gdzie a>0. Wówczas spełniony jest warunek A. f(1)>1, B. f(2)=2, C. f(3)<3, D. f(4)=4

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie interpretacji
współczynników we wzorze funkcji
liniowej (I.4.g)
A
D
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym

\n

Narysujmy prostokąt \\(ABCD\\), gdzie krótszy bok \\(AB = 6\\), dłuższy bok \\(BC = x\\).

\n

Przekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(BC\\) kąt \\(30°\\).

\n

W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):

\n\n

Korzystamy z definicji tangensa:
\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{AB}{BC} = \\frac{6}{x}\\]

\n

Stąd:
\\[x = \\frac{6}{\\operatorname{tg} 30°}\\]

\n

Z tabeli wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:
\\[x = \\frac{6}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 6 \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{18}{\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{3}}{3} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - sinus i weryfikacja

\n

W tym samym trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):

\n\n

Korzystamy z sinusa:
\\[\\sin 30° = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{AC}\\]
\\[AC = \\frac{6}{\\sin 30°} = \\frac{6}{\\frac{1}{2}} = 12\\]

\n

Teraz z twierdzenia Pitagorasa:
\\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\\]
\\[BC = \\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik: \\(6\\sqrt{3}\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Sprawdzamy, czy \\(6\\sqrt{3} > 6\\) (warunek, że to rzeczywiście dłuższy bok):
\\[6\\sqrt{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}732 = 10{,}39 > 6 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia dłuższego boku.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]
Niezbędne przy podstawianiu.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - upraszczanie pierwiastków:
\\[\\sqrt{108} = \\sqrt{36 \\cdot 3} = 6\\sqrt{3}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 przy twierdzeniu Pitagorasa.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((2\\sqrt{3})\\) | Odwrócono stosunek: policzono \\(\\operatorname{tg}30° \\cdot 6 = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 6 = 2\\sqrt{3}\\) zamiast dzielić |
| B \\((4\\sqrt{3})\\) | Brak sensownego błędu prowadzącego do tego wyniku - prawdopodobnie błędne oszacowanie lub pomylenie kąta z kątem \\(45°\\) i poprawienie "na oko" |
| D \\((12)\\) | Podana jest długość przekątnej \\(AC = 12\\), nie dłuższego boku - pominięto ostatni krok |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a dłuższym bokiem - nie krótszym! Łatwo narysować trójkąt "odwrotnie" i zamienić role boków. Zawsze zaznacz kąty na rysunku.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - wielu uczniów odwraca i pisze \\(\\sqrt{3}\\), które jest wartością \\(\\operatorname{tg} 60°\\). Sprawdź w tabeli!
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(12\\) to długość przekątnej - odpowiedź D jest kusząca, bo "wychodzi" przy obliczeniach. Zawsze czytaj, co pytanie pyta: bok czy przekątna.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja tangensa
\n

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez boki i przekątną prostokąta, kąt \\(30^{\\circ}\\) leży między dłuższym bokiem \\(b\\) a przekątną. Przeciwległa to krótszy bok \\(a = 6\\), przyległa to dłuższy bok \\(b\\).
\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{6}{b}.\\]
\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{6}{b}\\ \\Rightarrow\\ b = \\dfrac{6\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{18}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Cotangens
\n

\\[\\operatorname{ctg} 30^{\\circ} = \\dfrac{b}{a} = \\dfrac{b}{6}.\\]
\\[\\sqrt{3} = \\dfrac{b}{6}\\ \\Rightarrow\\ b = 6\\sqrt{3}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\tan 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\tan 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).

"}]}