{"id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWskaż wykres funkcji, która w przedziale\n4\n,4\n\nma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nA.\nB.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nC.\nD.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nWskaż wykres funkcji, która w przedziale <-4,4> ma dokładnie jedno miejsce zerowe.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nOdczytanie z wykresu funkcji jej miejsc\nzerowych (I.4.b)\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\) cm\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (prostopadłość promienia do cięciwy)\n\n**Kluczowy fakt geometryczny:** promień poprowadzony ze środka okręgu do środka cięciwy jest prostopadły do tej cięciwy.\n\nNiech \\(O\\) będzie środkiem okręgu, \\(AB\\) cięciwą, a \\(M\\) środkiem cięciwy.\n\nMamy:\n- \\(|AB| = 8\\) cm, więc \\(|AM| = 4\\) cm (promień dzieli cięciwę na pół)\n- \\(|OM| = 3\\) cm (odległość środka okręgu od cięciwy)\n- \\(\\angle OMA = 90°\\) (promień do środka cięciwy jest prostopadły)\n\nTrójkąt \\(OMA\\) jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[|OA|^2 = |OM|^2 + |AM|^2\\]\n\n\\[r^2 = 3^2 + 4^2\\]\n\n\\[r^2 = 9 + 16 = 25\\]\n\n\\[\\boxed{r = 5 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie trójki Pitagorejskiej\n\nOtrzymane liczby \\(3, 4, 5\\) tworzą **trójkę pitagorejską** - znany układ liczb całkowitych spełniający twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\\] ✓\n\nMożemy też zweryfikować od strony definicji okręgu: każdy punkt cięciwy musi być oddalony od środka dokładnie o \\(r = 5\\) cm. Sprawdzamy dla punktu \\(A\\):\n\n\\[|OA| = \\sqrt{|OM|^2 + |AM|^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\] ✓\n\nWynik jest spójny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1: trójkąt prostokątny \\(OMA\\) z ramionami \\(3\\) i \\(4\\) oraz przeciwprostokątną \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) cm | Uczeń bierze samą odległość środka od cięciwy jako promień - ignoruje połowę cięciwy |\n| B. \\(4\\) cm | Uczeń bierze połowę cięciwy jako promień - ignoruje odległość \\(3\\) cm od środka |\n| D. \\(8\\) cm | Uczeń bierze całą długość cięciwy jako promień - całkowite nieporozumienie definicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od środka do cięciwy to odległość **prostopadła** - czyli do środka cięciwy, nie do jej końca. Nie myl z długością \\(|OA|\\), która jest właśnie promieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że do wzoru Pitagorasa wstawiasz **połowę** cięciwy (\\(4\\) cm), nie całą (\\(8\\) cm). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby \\(3, 4, 5\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć. Inne popularne: \\(5, 12, 13\\) oraz \\(8, 15, 17\\). Ich znajomość przyspiesza liczenie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nOdległość od środka do cięciwy (wysokość trójkąta rozchodząca się do cięciwy prostopadle) dzieli cięciwę na połowy. Połowa cięciwy \\(= 4\\) cm. Promień \\(r\\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(3\\) cm i \\(4\\) cm:\n\\[r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\\ \\Rightarrow\\ r = 5\\ \\text{cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej\n\\((3, 4, 5)\\) - klasyczna trójka pitagorejska. Promień \\(= 5\\) cm.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to odległość od środka, nie promień.\n- **B. \\(4\\)** - to połowa cięciwy.\n- **D. \\(8\\)** - to długość cięciwy, a nie promień.\n\n**Pamiętaj:** promień prostopadły do cięciwy **dzieli ją na połowy** (podobnie oś symetrii).","image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (1 pkt)
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale
4
,4

ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
A.
B.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
C.
D.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale <-4,4> ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie informacji
Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc
zerowych (I.4.b)
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\) cm

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (prostopadłość promienia do cięciwy)

\n

Kluczowy fakt geometryczny: promień poprowadzony ze środka okręgu do środka cięciwy jest prostopadły do tej cięciwy.

\n

Niech \\(O\\) będzie środkiem okręgu, \\(AB\\) cięciwą, a \\(M\\) środkiem cięciwy.

\n

Mamy:

\n\n

Trójkąt \\(OMA\\) jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\n

\\[|OA|^2 = |OM|^2 + |AM|^2\\]

\n

\\[r^2 = 3^2 + 4^2\\]

\n

\\[r^2 = 9 + 16 = 25\\]

\n

\\[\\boxed{r = 5 \\text{ cm}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie trójki Pitagorejskiej

\n

Otrzymane liczby \\(3, 4, 5\\) tworzą trójkę pitagorejską - znany układ liczb całkowitych spełniający twierdzenie Pitagorasa:

\n

\\[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\\] ✓

\n

Możemy też zweryfikować od strony definicji okręgu: każdy punkt cięciwy musi być oddalony od środka dokładnie o \\(r = 5\\) cm. Sprawdzamy dla punktu \\(A\\):

\n

\\[|OA| = \\sqrt{|OM|^2 + |AM|^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\] ✓

\n

Wynik jest spójny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 1: trójkąt prostokątny \\(OMA\\) z ramionami \\(3\\) i \\(4\\) oraz przeciwprostokątną \\(r\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(3\\) cm | Uczeń bierze samą odległość środka od cięciwy jako promień - ignoruje połowę cięciwy |
| B. \\(4\\) cm | Uczeń bierze połowę cięciwy jako promień - ignoruje odległość \\(3\\) cm od środka |
| D. \\(8\\) cm | Uczeń bierze całą długość cięciwy jako promień - całkowite nieporozumienie definicji |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Odległość od środka do cięciwy to odległość prostopadła - czyli do środka cięciwy, nie do jej końca. Nie myl z długością \\(|OA|\\), która jest właśnie promieniem!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że do wzoru Pitagorasa wstawiasz połowę cięciwy (\\(4\\) cm), nie całą (\\(8\\) cm). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Liczby \\(3, 4, 5\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć. Inne popularne: \\(5, 12, 13\\) oraz \\(8, 15, 17\\). Ich znajomość przyspiesza liczenie!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa
\n

Odległość od środka do cięciwy (wysokość trójkąta rozchodząca się do cięciwy prostopadle) dzieli cięciwę na połowy. Połowa cięciwy \\(= 4\\) cm. Promień \\(r\\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(3\\) cm i \\(4\\) cm:
\\[r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\\ \\Rightarrow\\ r = 5\\ \\text{cm}.\\]

\n
Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej
\n

\\((3, 4, 5)\\) - klasyczna trójka pitagorejska. Promień \\(= 5\\) cm.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy (podobnie oś symetrii).

"}]}