{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n3\n36\n0\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 22. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n3\n36\n0\nx\nx\n\n\n\n\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n3\n36\nx\nx\n\n\n\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n9\n432\n441\n\n\n\ni stąd\n1\n3\n21\n4\n6\nx\n\n\n\n\n,\n2\n3\n21\n3\n6\nx\n\n\n\n\nalbo\n stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n\n oraz\n1\n2\n12\nx\nx\n\n\ni stąd\n1\n4\nx \noraz\n2\n3\nx \nalbo\n podajemy je bezpośrednio (explicite lub zapisując postać iloczynową trójmianu lub\nzaznaczając na wykresie)\n1\n4\nx \n,\n2\n3\nx \nlub\n\n\n\n3\n4\n3\n0\nx\nx\n\n\n\n\nlub\nx\ny\n3\n\n4\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n3\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n1\n147\n3\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na następnie\n przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n2\n1\n49\n3\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n7\n1\n7\n3\n0\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n4\n3\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności\n3, 4\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n4\nx \n,\n3\nx  i na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n\n2\n3\n3\n36\nf x\nx\nx\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n\n3\n4\n3\nx\nx\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność\n realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n\n\ni\n1\n2\n12\nx\nx\n\n\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności :\n3, 4\n\nlub\n3, 4\nx\nlub 3\n4\nx\n\n\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3\nx ,\n4\nx \nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n4\nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n3\nx  i\n2\n4\nx \ni zapisze\n3, 4\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli błąd zdającego w obliczeniu pierwiastków trójmianu nie wynika z wykonywanych\nprzez niego czynności (zdający rozwiązuje „swoje zadanie”), to otrzymuje 0 punktów za\ncałe zadanie.","solution":"$x \\\\in \\\\langle -3, 4 \\\\rangle$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
3
36
0
x
x




Odpowiedź:

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
3
36
0
x
x




Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
3
3
36
x
x



 obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
9
432
441



i stąd
1
3
21
4
6
x




,
2
3
21
3
6
x




albo
 stosujemy wzory Viète’a:
1
2
1
x
x

 oraz
1
2
12
x
x


i stąd
1
4
x 
oraz
2
3
x 
albo
 podajemy je bezpośrednio (explicite lub zapisując postać iloczynową trójmianu lub
zaznaczając na wykresie)
1
4
x 
,
2
3
x 
lub



3
4
3
0
x
x




lub
x
y
3

4
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
3
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego
2
1
147
3
0
2
4
x










a następnie
 przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
2
1
49
3
0
2
4
x


















1
7
1
7
3
0
2
2
2
2
x
x



















3
4
3
0
x
x





Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności
3, 4

Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
4
x 
,
3
x  i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji

2
3
3
36
f x
x
x



i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.



3
4
3
x
x




i na
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność
 realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a:
1
2
1
x
x


i
1
2
12
x
x


i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
 poda zbiór rozwiązań nierówności :
3, 4

lub
3, 4
x
lub 3
4
x


albo
 sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci
3
x ,
4
x 
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
4
albo
 poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
3
x  i
2
4
x 
i zapisze
3, 4
x
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za
takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli błąd zdającego w obliczeniu pierwiastków trójmianu nie wynika z wykonywanych
\n

przez niego czynności (zdający rozwiązuje „swoje zadanie”), to otrzymuje 0 punktów za
całe zadanie.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

xinlangle−3,4rangle

"}]}