{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nTrójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są\nwspółliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM\nCN\n\n. Wykaż, że BM\nMN\n\nA\nB\nC\nM\nN\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n13","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nTrójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są\nwspółliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM\nCN\n\n. Wykaż, że BM\nMN\n\nA\nB\nC\nM\nN\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n6\nI sposób rozwiązania\nRysujemy odcinek MD równoległy do odcinka AB.\nUzasadniamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające na podstawie cechy bkb:\n\nBD\nCN\n\n, bo BD\nAM\n\n\nMD\nCM\n\n, bo trójkąt MDC jest równoboczny\n\n120\nBDM\nNCM\n\n\n\n\nZatem BM\nMN\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże BM\nMN\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże BM\nMN\n\nUwaga\nZdający może też dorysować odcinek MD\nBC\n\ni analogicznie pokazać, że trójkąty\nBMD i MNC są przystające.\nII sposób rozwiązania\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABM obliczamy\n2\nBM :\n2\n2\n2\n2\ncos60\nBM\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nAM\nAB\nAM\nAB\n\n\n\n\nA\nB\nC\nM\nN\nD\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n7\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta MCN obliczamy\n2\nMN :\n2\n2\n2\n2\ncos120\nMN\nMC\nCN\nMC\nCN\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\nMC\nCN\nMC\nCN \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nMC\nCN\nMC\nCN\n\n\n\n\nPonieważ AM\nCN\n\ni MC\nAB\nAM\n\n\n, więc\n\n\n\n\n2\n2\n2\nMN\nAB\nAM\nAM\nAB\nAM\nAM\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\nAB\nAM\nAB\nAM\nAM\nAB\nAM\nAM\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nAB\nAM\nAB\nAM\n\n\n\nZatem\n2\n2\nBM\nMN\n\n, czyli BM\nMN\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczy kwadraty długości odcinków BM i MN.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że BM\nMN\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 25. (2 pkt)
Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są
współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM
CN

. Wykaż, że BM
MN

A
B
C
M
N

\n

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
13

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (2 pkt)
Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są
współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM
CN

. Wykaż, że BM
MN

A
B
C
M
N
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
6
I sposób rozwiązania
Rysujemy odcinek MD równoległy do odcinka AB.
Uzasadniamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające na podstawie cechy bkb:

BD
CN

, bo BD
AM


MD
CM

, bo trójkąt MDC jest równoboczny

120
BDM
NCM




Zatem BM
MN

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy napisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,
że BM
MN

Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,
że BM
MN

Uwaga
Zdający może też dorysować odcinek MD
BC

i analogicznie pokazać, że trójkąty
BMD i MNC są przystające.
II sposób rozwiązania
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABM obliczamy
2
BM :
2
2
2
2
cos60
BM
AM
AB
AM
AB






2
2
1
2
2
AM
AB
AM
AB






2
2
AM
AB
AM
AB




A
B
C
M
N
D
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
7
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta MCN obliczamy
2
MN :
2
2
2
2
cos120
MN
MC
CN
MC
CN






2
2
1
2
2
MC
CN
MC
CN 











2
2
MC
CN
MC
CN




Ponieważ AM
CN

i MC
AB
AM


, więc




2
2
2
MN
AB
AM
AM
AB
AM
AM







2
2
2
2
2
AB
AM
AB
AM
AM
AB
AM
AM









2
2
AB
AM
AB
AM



Zatem
2
2
BM
MN

, czyli BM
MN

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczy kwadraty długości odcinków BM i MN.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że BM
MN

","solutions":[]}