{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma\nmiarę 120 oraz\n10\nAS\nCS\n\n\ni BS\nDS\n\n. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS\ndo płaszczyzny podstawy ostrosłupa.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n18","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę\n120 oraz\n10\nAS\nCS\n\n\ni BS\nDS\n\n. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do\npłaszczyzny podstawy ostrosłupa.\nI sposób rozwiązania\nWprowadźmy oznaczenia:\na - długość boku rombu\ne, f - długości przekątnych rombu\nh - wysokość ostrosłupa\nb\nAS\nCS\n\n\nc\nBS\nDS\n\n\nObliczamy długości przekątnych podstawy. Ponieważ\n120\nABC \n\n\n, to trójkąt ABD jest\nrównoboczny. Zatem mamy:\ne\nBD\na\n\n\ni\n3\n2\n2\nf\na\nOC\n\n\n,\nstąd\n4\ne \n,\n2 3\n2\nf \nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n2 3\n88\n2\nf\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n88\n2 22\nh \n\nObliczamy długość krawędzi bocznej BS:\n2\n2\n2\n88\n4\n2\ne\nc\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n92\n2 23\nc \n\nA\nC\nO\nD\nB\na\nf\ne\na\n\n\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\n\na\nc\nb\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n13\nObliczamy sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej BS ostrosłupa do płaszczyzny podstawy:\n2 22\n22\n506\nsin\n23\n23\n2 23\nh\nc\n\n\n\n\nsin\n0,9780\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie długości przekątnych podstawy ostrosłupa:\n4\ne \ni\n4 3\nf \n(lub\n2\n2\ne \ni\n2 3\n2\nf \n).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa\n2 22\nh \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa:\n2 23\nc \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n22\nsin\n23\n\nII sposób rozwiązania\nWprowadźmy oznaczenia:\na - długość boku rombu\ne, f - długości przekątnych rombu\nh - wysokość ostrosłupa\nb\nAS\nCS\n\n\nc\nBS\nDS\n\n\nA\nC\nO\nD\nB\na\nf\ne\na\n\n\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\n\na\nc\nb\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n14\nObliczamy długości przekątnych podstawy.\nPonieważ\n120\nABC \n\n\n, to trójkąt ABD jest równoboczny. Zatem mamy:\ne\nBD\na\n\n\ni\n3\n2\n2\n2\na\nf\nOC\n\n\n\n\n,\nstąd\n4\ne \n,\n4 3\nf \nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:\n2\n2\n2\n2\nf\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n10\n2 3\n88\nh \n\n\n,\nstąd\n88\n2 22\nh \n\nObliczamy tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy:\ntg\n22\n2\nh\ne\n\n\nObliczamy sin  korzystając z tożsamości trygonometrycznych:\n2\nsin\nsin\ntg\ncos\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\nsin\n22\n1 sin\n\n\n\n\n2\n2\nsin\n22\n1 sin\n\n\n\n2\n22\n23sin \n\n,\nzatem\n22\nsin\n23\n\nUwaga\nJeżeli zdający, korzystając z przybliżonej wartości tangensa kąta  ( tg\n22\n4,6904\n\n\n),\nodczyta miarę kąta\n78\n\ni następnie zapisze sin\nsin 78\n0,9781\n\n\n, to za takie\nrozwiązanie otrzymuje 4 punkty.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie\ndługości\nprzekątnych\npodstawy\nostrosłupa:\n4\ne \ni\n4 3\nf \n(lub\n2\n2\ne \ni\n2 3\n2\nf \n).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa:\n2 22\nh \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie tangensa kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy tg\n22\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie\n22\nsin\n23\n\nalbo sin\nsin 78\n0,9781\n\n\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n15","solution":"$\\\\sin \\\\beta = \\\\dfrac{\\\\sqrt{22}}{\\\\sqrt{23}}$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 30. (4 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma
miarę 120 oraz
10
AS
CS


i BS
DS

. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

\n

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:

\n

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
18

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (4 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę
120 oraz
10
AS
CS


i BS
DS

. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
I sposób rozwiązania
Wprowadźmy oznaczenia:
a - długość boku rombu
e, f - długości przekątnych rombu
h - wysokość ostrosłupa
b
AS
CS


c
BS
DS


Obliczamy długości przekątnych podstawy. Ponieważ
120
ABC 


, to trójkąt ABD jest
równoboczny. Zatem mamy:
e
BD
a


i
3
2
2
f
a
OC


,
stąd
4
e 
,
2 3
2
f 
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:


2
2
2
2
2
10
2 3
88
2
f
h
b











88
2 22
h 

Obliczamy długość krawędzi bocznej BS:
2
2
2
88
4
2
e
c
h










92
2 23
c 

A
C
O
D
B
a
f
e
a


S
h
A
C
O
D
B
a

a
c
b
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
13
Obliczamy sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej BS ostrosłupa do płaszczyzny podstawy:
2 22
22
506
sin
23
23
2 23
h
c




sin
0,9780

Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie długości przekątnych podstawy ostrosłupa:
4
e 
i
4 3
f 
(lub
2
2
e 
i
2 3
2
f 
).
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa
2 22
h 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie długości krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa:
2 23
c 
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie
22
sin
23

II sposób rozwiązania
Wprowadźmy oznaczenia:
a - długość boku rombu
e, f - długości przekątnych rombu
h - wysokość ostrosłupa
b
AS
CS


c
BS
DS


A
C
O
D
B
a
f
e
a


S
h
A
C
O
D
B
a

a
c
b
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
14
Obliczamy długości przekątnych podstawy.
Ponieważ
120
ABC 


, to trójkąt ABD jest równoboczny. Zatem mamy:
e
BD
a


i
3
2
2
2
a
f
OC




,
stąd
4
e 
,
4 3
f 
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa:
2
2
2
2
f
h
b









2
2
2
10
2 3
88
h 


,
stąd
88
2 22
h 

Obliczamy tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny
podstawy:
tg
22
2
h
e


Obliczamy sin  korzystając z tożsamości trygonometrycznych:
2
sin
sin
tg
cos
1 sin








2
sin
22
1 sin




2
2
sin
22
1 sin



2
22
23sin 

,
zatem
22
sin
23

Uwaga
Jeżeli zdający, korzystając z przybliżonej wartości tangensa kąta  ( tg
22
4,6904


),
odczyta miarę kąta
78

i następnie zapisze sin
sin 78
0,9781


, to za takie
rozwiązanie otrzymuje 4 punkty.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie
długości
przekątnych
podstawy
ostrosłupa:
4
e 
i
4 3
f 
(lub
2
2
e 
i
2 3
2
f 
).
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa:
2 22
h 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie tangensa kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny
podstawy tg
22

Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie
22
sin
23

albo sin
sin 78
0,9781


Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
15

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

sinbeta=dfracsqrt22sqrt23

"}]}