{"id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt\n\n\n2, 1\nA \ni stycznego do obu osi\nukładu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\n\nArkusz ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom podstawowy\n20","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt\n\n\n2, 1\nA \ni stycznego do obu osi\nukładu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.\nRozwiązanie\nx\ny\n\n\n,\nS\nr r\n\n\n\n1\n,\nS\nR R\n\n\n\n2,1\nA \nPonieważ okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt\n\n\n2, 1\nA \nleżący w I ćwiartce układu współrzędnych, to jego środek również leży\nw I ćwiartce układu współrzędnych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzędne\n\n\n,\nS\nr r\n\n,\ngdzie r jest promieniem tego okręgu. Równanie okręgu ma zatem postać \n\n\n\n2\n2\n2\nx r\ny r\nr\n\n\n\n.\nPunkt\n\n\n2, 1\nA \nleży na tym okręgu, więc \n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\n. Stąd otrzymujemy\n2\n6\n5\n0\nr\nr\n\n\n\n. Rozwiązaniami tego równania są liczby:\n1\nr ,\n5\nr \n. To oznacza, że są\ndwa\nokręgi\nspełniające\nwarunki\nzadania\no\nrównaniach\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n\ni \n\n\n\n2\n2\n5\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie współrzędnych środka S szukanego okręgu w zależności od promienia r tego\nokręgu:\n\n\n,\nS\nr r\n\nlub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu y\nx\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\nczyli\n2\n6\n5\n0\nr\nr\n\n\n\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 pkt\nZadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe.\nKlucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych\nMarzec 2012\n16\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZapisanie równań obu okręgów:\nw postaci kanonicznej: \n\n\n\n2\n2\n1\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n i \n\n\n\n2\n2\n5\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nlub w postaci ogólnej:\n2\n2\n2\n2\n1\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\ni\n2\n2\n10\n10\n25\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje\n1 punkt.\n2.\nJeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje\n2 punkty.","solution":"$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ i $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25$","image":"img/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 31. (4 pkt)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt


2, 1
A 
i stycznego do obu osi
układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

\n

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:

\n

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
20

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (4 pkt)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt


2, 1
A 
i stycznego do obu osi
układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie
x
y


,
S
r r



1
,
S
R R



2,1
A 
Ponieważ okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt


2, 1
A 
leżący w I ćwiartce układu współrzędnych, to jego środek również leży
w I ćwiartce układu współrzędnych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzędne


,
S
r r

,
gdzie r jest promieniem tego okręgu. Równanie okręgu ma zatem postać 



2
2
2
x r
y r
r



.
Punkt


2, 1
A 
leży na tym okręgu, więc 



2
2
2
2
1
r
r
r




. Stąd otrzymujemy
2
6
5
0
r
r



. Rozwiązaniami tego równania są liczby:
1
r ,
5
r 
. To oznacza, że są
dwa
okręgi
spełniające
warunki
zadania
o
równaniach




2
2
1
1
1
x
y




i 



2
2
5
5
25
x
y




Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Zapisanie współrzędnych środka S szukanego okręgu w zależności od promienia r tego
okręgu:


,
S
r r

lub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu y
x

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą:




2
2
2
2
1
r
r
r




czyli
2
6
5
0
r
r



Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 pkt
Zadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe.
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
16
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zapisanie równań obu okręgów:
w postaci kanonicznej: 



2
2
1
1
1
x
y



 i 



2
2
5
5
25
x
y




lub w postaci ogólnej:
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y




i
2
2
10
10
25
0
x
y
x
y





Uwagi
1.
Jeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje
1 punkt.
2.
Jeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje
2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

(x−1)2+(y−1)2=1 i (x−5)2+(y−5)2=25

"}]}