Zadanie 32. (5 pkt)
Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj
turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B.
Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta
szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
21
Odpowiedź:
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki
Poziom podstawowy
22
BRUDNOPIS
Zadanie 32. (5 pkt)
Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj
turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B.
Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta
szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.
Uwaga
W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych
A
v ,
B
v , x, t oznaczających
odpowiednio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta B oraz drogę i czas do
momentu spotkania. Oczywiście niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób.
Nie wymagamy, by niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile
z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.
Rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia, np.:
A
v ,
B
v , x, t - prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty
z miasta B oraz droga i czas do momentu spotkania.
Zapisujemy zależność między drogą x, prędkością
A
v i czasem t dla jednego z turystów, np.:
1
A
x
v
t
(prędkość do chwili spotkania) i
18
1,5
A
x
v
(prędkość od chwili spotkania).
Zapisujemy zależność między drogą x, prędkością
B
v i czasem t dla drugiego z turysty
(wychodzącego z miasta B), np.:
18
B
x
v
t
(prędkość do chwili spotkania),
4
B
x
v
(prędkość od chwili spotkania).
Zapisujemy zależność między drogą a czasem w sytuacji opisanej w zadaniu za pomocą
układu równań
18
1
1,5
18
4
x
x
t
x
x
t
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
17
Rozwiązując układ równań, doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:
Rozwiązujemy równania otrzymując kolejno:
Z drugiego równania wyznaczamy x
72
4
x
t
i wstawiamy do pierwszego równania
72
72
1,5
18
1
4
4
t
t
t
108
72
72
18
18
4
4
4
t
t
t
t
t
mnożymy obustronnie przez
4
t
108
18
4
18
4
72
72
t t
t
t
2
18
18
108
0
t
t
dzielimy obustronnie przez 18
2
6
0
t
t
2
1
24
5
1
1 5
3
2
t
2
1 5
2
2
t
1t jest sprzeczne z warunkami zadania
obliczamy
72
72
12
4
6
x
t
,
a następnie prędkość z jaką szedł każdy
z turystów, np:
12
4km/h
1
3
A
x
v
t
18
6
3km/h
2
B
x
v
t
Z drugiego równania wyznaczamy t
72
4x
t
x
i wstawiamy do pierwszego równania
72
4
1,5
18
1
x
x
x
x
18 72
4
1,5
18
72
4
x
x
x
x
x
18 72
4
1,5
54
3
x
x
x
x
mnożymy obustronnie przez x
2
2
1,5
1296
72
54
3
x
x
x
x
2
1,5
126
1296
0
x
x
dzielimy obustronnie przez 1,5
2
84
864
0
x
x
2
7056
3456
60
1
84
60
12
2
x
2
84
60
72
2
x
2x jest sprzeczne z warunkami zadania
obliczamy
72
4
24
2
12
x
t
x
,
a następnie prędkość z jaką szedł każdy z
turystów, np.:
18
6
4km/h
1,5
1,5
A
x
v
12
3km/h
4
4
B
x
v
Z pierwszego równania wyznaczamy x
18
18
2,5
t
x
t
i wstawiamy do drugiego równania
18
18
18
18
4
18
2,5
2,5
t
t
t
t
t
2
18
18
72
72
72
2,5
2,5
t
t
t
t
t
mnożymy obustronnie przez
2,5
t
2
18
18
72
2,5
72
72
t
t
t
t
2
18
18
108
0
t
t
dzielimy obustronnie przez 18
Z pierwszego równania wyznaczamy t
2,5
18
18
x
t
x
i wstawiamy do drugiego równania
2,5
18
18
4
18
x
x
x
x
mnożymy obustronnie przez 18
x
2
2
324
36
4
2,5
18
x
x
x
x
2
2
4
144
1296
2,5
18
x
x
x
x
2
1,5
126
1296
0
x
x
dzielimy obustronnie przez 1,5
2
84
864
0
x
x
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
18
2
6
0
t
t
2
1 24
5
1
1 5
3
2
t
2
1 5
2
2
t
1t jest sprzeczne z warunkami zadania
obliczamy
72
72
12
4
6
x
t
,
a następnie prędkość z jaką szedł każdy
z turystów, np:
12
4km/h
1
3
A
x
v
t
18
6
3km/h
2
B
x
v
t
2
7056
3456
60
1
84
60
12
2
x
2
84
60
72
2
x
2x jest sprzeczne z warunkami zadania
obliczamy
72
4
24
2
12
x
t
x
,
a następnie prędkość z jaką szedł każdy
z turystów, np.:
18
6
4km/h
1,5
1,5
A
x
v
12
3km/h
4
4
B
x
v
Zapisujemy odpowiedź: Turyści szli z prędkościami:
4 km/h,
3 km/h
A
B
v
v
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie zależności między prędkością
A
v , prędkością
B
v , drogą x i czasem t dla jednego
z turystów, np.:
18
1
1,5
x
x
t
lub 18
4
x
x
t
lub
18
1 1,5
A
v
t
lub
18
4
B
v
t
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.:
18
1
1,5
18
4
x
x
t
x
x
t
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.:
72
72
1,5
18
1
4
4
t
t
t
lub
72
4
1,5
18
1
x
x
x
x
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Uwaga:
Jeżeli zdający przy pokonywaniu zasadniczych trudności zadania popełni błędy
rachunkowe, usterki i na tym zakończy to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie:
2
t
h
i nie obliczenie
prędkości turystów
Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych
Marzec 2012
19
albo
rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie:
12
x
i nie obliczenie
prędkości turystów
albo
obliczenie t lub x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie szukanych prędkości:
4 km/h
3 km/h
A
B
v
v
,
"}]}