{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nDługość boku kwadratu\n2k jest o 10% większa od długości boku kwadratu\n1k . Wówczas pole\nkwadratu\n2k jest większe od pola kwadratu\n1k\nA. o 10%\nB. o 110%\nC. o 21%\nD. o 121%\nDługość boku kwadratu k_2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k_1. Wówczas pole kwadratu k_2 jest większe od pola kwadratu k_1. A. o 10%, B. o 110%, C. o 21%, D. o 121%","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZakres umiejętności\n(standardy)\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonuje obliczenia procentowe;\nwykorzystuje własności figur podobnych.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - o \\(21\\%\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby\n\nPrzyjmijmy, że bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a = 10\\).\n\nBok kwadratu \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, więc:\n\\[b = 10 + 10\\% \\cdot 10 = 10 + 1 = 11\\]\n\nPole kwadratu \\(k_1\\):\n\\[P_1 = a^2 = 10^2 = 100\\]\n\nPole kwadratu \\(k_2\\):\n\\[P_2 = b^2 = 11^2 = 121\\]\n\nRóżnica pól:\n\\[P_2 - P_1 = 121 - 100 = 21\\]\n\nO ile procent pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\)?\n\\[\\frac{P_2 - P_1}{P_1} \\cdot 100\\% = \\frac{21}{100} \\cdot 100\\% = 21\\%\\]\n\n**Pole kwadratu \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - ogólny wzór algebraiczny\n\nNiech bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a\\).\n\nBok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, czyli:\n\\[b = a \\cdot \\left(1 + \\frac{10}{100}\\right) = a \\cdot 1{,}1 = 1{,}1a\\]\n\nPorównujemy pola:\n\\[P_1 = a^2\\]\n\\[P_2 = (1{,}1a)^2 = 1{,}1^2 \\cdot a^2 = 1{,}21 \\cdot a^2\\]\n\nStosunek pól:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = \\frac{1{,}21a^2}{a^2} = 1{,}21\\]\n\nCzyli pole \\(k_2\\) stanowi \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\), co oznacza, że jest od niego większe o:\n\\[121\\% - 100\\% = 21\\%\\]\n\n**Pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą wzory skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7) i definicja procentu.\n\nEwentualnie pomocne:\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyte w Sposobie 2: \\((1{,}1a)^2 = 1{,}21a^2\\), czyli:\n\\[(a + 0{,}1a)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 0{,}1a + (0{,}1a)^2 = a^2 + 0{,}2a^2 + 0{,}01a^2 = 1{,}21a^2\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń myśli, że pole rośnie tak samo jak bok - o \\(10\\%\\). Zapomina, że pole to **kwadrat** boku, więc wzrost jest zwielokrotniony. |\n| B | Uczeń liczy \\(1{,}1^2 = 1{,}21\\) poprawnie, ale zamiast odjąć \\(100\\%\\) (by dostać **wzrost**), podaje \\(110\\%\\) - myli stosunek pól z procentowym wzrostem. |\n| D | Uczeń poprawnie oblicza \\(P_2 = 1{,}21 \\cdot P_1\\), czyli pole \\(k_2\\) to \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\) - ale odpowiada \"o \\(121\\%\\)\" zamiast \"o \\(21\\%\\)\". Myli wartość bezwzględną (\\(121\\%\\) bazowej) z różnicą procentową (\\(+21\\%\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost boku o \\(p\\%\\) NIE oznacza wzrostu pola o \\(p\\%\\). Pole to kwadrat boku, więc wzrasta zgodnie ze wzorem \\((1 + \\frac{p}{100})^2 - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(121\\%\\)) to **nowe pole jako procent starego**, a nie **wzrost pola**. Wzrost to zawsze: nowa wartość minus stara, czyli \\(121\\% - 100\\% = 21\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ta sama zasada działa dla objętości brył - wzrost krawędzi o \\(p\\%\\) powoduje wzrost objętości o \\((1 + \\frac{p}{100})^3 - 1\\), nie o \\(p\\%\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa i stosunek pól\nJeśli bok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy od boku \\(k_1\\), to skala podobieństwa wynosi \\(k = 1{,}1\\).\n\nStosunek pól kwadratów jest równy kwadratowi skali:\n\\[\\dfrac{P_2}{P_1} = k^2 = 1{,}1^2 = 1{,}21.\\]\nZatem \\(P_2 = 1{,}21\\,P_1\\), co oznacza, że \\(P_2\\) jest o \\(21\\%\\) większe od \\(P_1\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretne wartości\nPrzyjmijmy bok \\(k_1 = 10\\), wtedy bok \\(k_2 = 11\\).\n\\[P_1 = 100,\\quad P_2 = 121.\\]\n\\[\\dfrac{P_2 - P_1}{P_1} = \\dfrac{21}{100} = 21\\%.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\%\\)** - ktoś błędnie przeniósł stosunek boków na pola.\n- **B. \\(110\\%\\)** - pomylone nowe pole (\\(110\\%\\) starego) z przyrostem.\n- **D. \\(121\\%\\)** - to jest stosunek \\(P_2/P_1\\), a nie przyrost.\n\n**Pamiętaj:** dla figur podobnych stosunek pól to \\(k^2\\), a przyrost to \\(k^2 - 1\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Długość boku kwadratu
2k jest o 10% większa od długości boku kwadratu
1k . Wówczas pole
kwadratu
2k jest większe od pola kwadratu
1k
A. o 10%
B. o 110%
C. o 21%
D. o 121%
Długość boku kwadratu k_2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k_1. Wówczas pole kwadratu k_2 jest większe od pola kwadratu k_1. A. o 10%, B. o 110%, C. o 21%, D. o 121%

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Zakres umiejętności
(standardy)
Opis wymagań
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykonuje obliczenia procentowe;
wykorzystuje własności figur podobnych.
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - o \\(21\\%\\)

\n

Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby

\n

Przyjmijmy, że bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a = 10\\).

\n

Bok kwadratu \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, więc:
\\[b = 10 + 10\\% \\cdot 10 = 10 + 1 = 11\\]

\n

Pole kwadratu \\(k_1\\):
\\[P_1 = a^2 = 10^2 = 100\\]

\n

Pole kwadratu \\(k_2\\):
\\[P_2 = b^2 = 11^2 = 121\\]

\n

Różnica pól:
\\[P_2 - P_1 = 121 - 100 = 21\\]

\n

O ile procent pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\)?
\\[\\frac{P_2 - P_1}{P_1} \\cdot 100\\% = \\frac{21}{100} \\cdot 100\\% = 21\\%\\]

\n

Pole kwadratu \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).

\n

Sposób 2 - ogólny wzór algebraiczny

\n

Niech bok kwadratu \\(k_1\\) wynosi \\(a\\).

\n

Bok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy, czyli:
\\[b = a \\cdot \\left(1 + \\frac{10}{100}\\right) = a \\cdot 1{,}1 = 1{,}1a\\]

\n

Porównujemy pola:
\\[P_1 = a^2\\]
\\[P_2 = (1{,}1a)^2 = 1{,}1^2 \\cdot a^2 = 1{,}21 \\cdot a^2\\]

\n

Stosunek pól:
\\[\\frac{P_2}{P_1} = \\frac{1{,}21a^2}{a^2} = 1{,}21\\]

\n

Czyli pole \\(k_2\\) stanowi \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\), co oznacza, że jest od niego większe o:
\\[121\\% - 100\\% = 21\\%\\]

\n

Pole \\(k_2\\) jest większe od pola \\(k_1\\) o \\(21\\%\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą wzory skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7) i definicja procentu.

\n

Ewentualnie pomocne:
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyte w Sposobie 2: \\((1{,}1a)^2 = 1{,}21a^2\\), czyli:
\\[(a + 0{,}1a)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 0{,}1a + (0{,}1a)^2 = a^2 + 0{,}2a^2 + 0{,}01a^2 = 1{,}21a^2\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń myśli, że pole rośnie tak samo jak bok - o \\(10\\%\\). Zapomina, że pole to kwadrat boku, więc wzrost jest zwielokrotniony. |
| B | Uczeń liczy \\(1{,}1^2 = 1{,}21\\) poprawnie, ale zamiast odjąć \\(100\\%\\) (by dostać wzrost), podaje \\(110\\%\\) - myli stosunek pól z procentowym wzrostem. |
| D | Uczeń poprawnie oblicza \\(P_2 = 1{,}21 \\cdot P_1\\), czyli pole \\(k_2\\) to \\(121\\%\\) pola \\(k_1\\) - ale odpowiada "o \\(121\\%\\)" zamiast "o \\(21\\%\\)". Myli wartość bezwzględną (\\(121\\%\\) bazowej) z różnicą procentową (\\(+21\\%\\)). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzrost boku o \\(p\\%\\) NIE oznacza wzrostu pola o \\(p\\%\\). Pole to kwadrat boku, więc wzrasta zgodnie ze wzorem \\((1 + \\frac{p}{100})^2 - 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź D (\\(121\\%\\)) to nowe pole jako procent starego, a nie wzrost pola. Wzrost to zawsze: nowa wartość minus stara, czyli \\(121\\% - 100\\% = 21\\%\\).
\n
⚠️ Uwaga: Ta sama zasada działa dla objętości brył - wzrost krawędzi o \\(p\\%\\) powoduje wzrost objętości o \\((1 + \\frac{p}{100})^3 - 1\\), nie o \\(p\\%\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Skala podobieństwa i stosunek pól
\n

Jeśli bok \\(k_2\\) jest o \\(10\\%\\) większy od boku \\(k_1\\), to skala podobieństwa wynosi \\(k = 1{,}1\\).

\n

Stosunek pól kwadratów jest równy kwadratowi skali:
\\[\\dfrac{P_2}{P_1} = k^2 = 1{,}1^2 = 1{,}21.\\]
Zatem \\(P_2 = 1{,}21\\,P_1\\), co oznacza, że \\(P_2\\) jest o \\(21\\%\\) większe od \\(P_1\\).

\n
Sposób 2 - Konkretne wartości
\n

Przyjmijmy bok \\(k_1 = 10\\), wtedy bok \\(k_2 = 11\\).
\\[P_1 = 100,\\quad P_2 = 121.\\]
\\[\\dfrac{P_2 - P_1}{P_1} = \\dfrac{21}{100} = 21\\%.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla figur podobnych stosunek pól to \\(k^2\\), a przyrost to \\(k^2 - 1\\).

"}]}