{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWielomian\n\n6\n3\n2\nW x\nx\nx\n\n\n\njest równy iloczynowi\nA. \n\n\n3\n2\n1\n2\nx\nx\n\n\nB. \n\n\n3\n3\n1\n2\nx\nx\n\n\nC. \n\n\n2\n4\n2\n1\n\n\nx\nx\nD. \n\n\n4\n2\n1\nx\nx\n\n\nWielomian W(x) = x^6 + x^3 -2 jest równy iloczynowi A. (x^3+1)(x^2-2), B. (x^3-1)(x^3+2), C (x^2+2)(x^4-1), D. (x^4-2)(x+1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozkłada wielomian na czynniki stosując\ngrupowanie wyrazów.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((x^3-1)(x^3+2)\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie (zamiana zmiennej)\n\n**Kluczowa obserwacja:** wielomian \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6\\) i \\(x^3\\). Jeśli podstawimy \\(t = x^3\\), dostaniemy zwykłe równanie kwadratowe!\n\n**Podstawiamy** \\(t = x^3\\):\n\\[W(x) = x^6 + x^3 - 2 = t^2 + t - 2\\]\n\n**Rozkładamy trójmian kwadratowy** \\(t^2 + t - 2\\) na czynniki.\n\nSzukamy dwóch liczb, których:\n- **suma** wynosi \\(+1\\) (współczynnik przy \\(t\\))\n- **iloczyn** wynosi \\(-2\\) (wyraz wolny)\n\nTe liczby to \\(+2\\) i \\(-1\\), bo \\(2 + (-1) = 1\\) oraz \\(2 \\cdot (-1) = -2\\). Zatem:\n\\[t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)\\]\n\n**Wracamy do zmiennej \\(x\\)** (przypominamy: \\(t = x^3\\)):\n\\[W(x) = (x^3 + 2)(x^3 - 1)\\]\n\n**Wynik: \\(W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2)\\) - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie mnożenie\n\nSprawdzamy odpowiedź B, mnożąc nawiasy metodą krzyżową (każdy przez każdy):\n\n\\[(x^3 - 1)(x^3 + 2)\\]\n\\[= x^3 \\cdot x^3 + x^3 \\cdot 2 + (-1) \\cdot x^3 + (-1) \\cdot 2\\]\n\\[= x^6 + 2x^3 - x^3 - 2\\]\n\\[= x^6 + x^3 - 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się dokładnie z \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\). Odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a i postać iloczynowa:\n\n\\[t^2 + t - 2 = (t - t_1)(t - t_2), \\quad \\text{gdzie } t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a} = -1, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a} = -2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - zamiast liczyć \\(\\Delta\\), od razu znaleźliśmy \\(t_1 = 1\\), \\(t_2 = -2\\) z warunków Viète'a i zapisaliśmy rozkład \\((t-1)(t+2)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Mnożenie | Błąd |\n| A | \\((x^3+1)(x^2-2) = x^5 - 2x^3 + x^2 - 2\\) | Wynik to wielomian **5. stopnia**, a \\(W(x)\\) ma stopień 6. Pomylono \\(x^3\\) z \\(x^2\\) w jednym nawiasie. |\n| C | \\((x^2+2)(x^4-1) = x^6 + 2x^4 - x^2 - 2\\) | Stopień 6 - OK, ale pojawia się \\(+2x^4 - x^2\\) zamiast \\(+x^3\\). Brak składnika \\(x^3\\). |\n| D | \\((x^4-2)(x+1) = x^5 + x^4 - 2x - 2\\) | Wynik to wielomian **5. stopnia** - znów pomylony stopień. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz do zadania to dostrzeżenie, że \\(x^6 = (x^3)^2\\) - wtedy wielomian 6. stopnia zamienia się w zwykły trójmian kwadratowy. Jeśli tego nie zauważysz, możesz szukać rozkładu na ślepo i zmarnować czas.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(t = x^3\\) i rozłożeniu, **pamiętaj wrócić do \\(x\\)**! Częsty błąd to zostawienie wyniku w postaci \\((t-1)(t+2)\\) i wybieranie odpowiedzi z \\(t\\) zamiast z \\(x^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i D to wielomiany stopnia 5 - wystarczy sprawdzić stopnie, by je natychmiast odrzucić (bez liczenia). To szybki filtr na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\nZauważamy, że \\(W(x) = (x^3)^2 + x^3 - 2\\). Podstawmy \\(t = x^3\\):\n\\[t^2 + t - 2 = 0 \\iff (t-1)(t+2) = 0.\\]\nCofając podstawienie:\n\\[W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja poprzez wymnożenie odpowiedzi B\n\\[(x^3-1)(x^3+2) = x^6 + 2x^3 - x^3 - 2 = x^6 + x^3 - 2 = W(x).\\] ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((x^3+1)(x^2-2) = x^5-2x^3+x^2-2\\) - zły stopień i niezgodne wyrazy.\n- **C.** \\((x^2+2)(x^4-1) = x^6-x^2+2x^4-2\\) - nie pasuje.\n- **D.** \\((x^4-2)(x+1) = x^5+x^4-2x-2\\) - zły stopień.\n\n**Pamiętaj:** rozpoznaj strukturę trójmianu kwadratowego w potęgach \\(x^3\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Wielomian

6
3
2
W x
x
x



jest równy iloczynowi
A. 


3
2
1
2
x
x


B. 


3
3
1
2
x
x


C. 


2
4
2
1


x
x
D. 


4
2
1
x
x


Wielomian W(x) = x^6 + x^3 -2 jest równy iloczynowi A. (x^3+1)(x^2-2), B. (x^3-1)(x^3+2), C (x^2+2)(x^4-1), D. (x^4-2)(x+1)

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozkłada wielomian na czynniki stosując
grupowanie wyrazów.
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\((x^3-1)(x^3+2)\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie (zamiana zmiennej)

\n

Kluczowa obserwacja: wielomian \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6\\) i \\(x^3\\). Jeśli podstawimy \\(t = x^3\\), dostaniemy zwykłe równanie kwadratowe!

\n

Podstawiamy \\(t = x^3\\):
\\[W(x) = x^6 + x^3 - 2 = t^2 + t - 2\\]

\n

Rozkładamy trójmian kwadratowy \\(t^2 + t - 2\\) na czynniki.

\n

Szukamy dwóch liczb, których:

\n\n

Te liczby to \\(+2\\) i \\(-1\\), bo \\(2 + (-1) = 1\\) oraz \\(2 \\cdot (-1) = -2\\). Zatem:
\\[t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)\\]

\n

Wracamy do zmiennej \\(x\\) (przypominamy: \\(t = x^3\\)):
\\[W(x) = (x^3 + 2)(x^3 - 1)\\]

\n

Wynik: \\(W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2)\\) - odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie mnożenie

\n

Sprawdzamy odpowiedź B, mnożąc nawiasy metodą krzyżową (każdy przez każdy):

\n

\\[(x^3 - 1)(x^3 + 2)\\]
\\[= x^3 \\cdot x^3 + x^3 \\cdot 2 + (-1) \\cdot x^3 + (-1) \\cdot 2\\]
\\[= x^6 + 2x^3 - x^3 - 2\\]
\\[= x^6 + x^3 - 2 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się dokładnie z \\(W(x) = x^6 + x^3 - 2\\). Odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a i postać iloczynowa:

\n

\\[t^2 + t - 2 = (t - t_1)(t - t_2), \\quad \\text{gdzie } t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a} = -1, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a} = -2\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - zamiast liczyć \\(\\Delta\\), od razu znaleźliśmy \\(t_1 = 1\\), \\(t_2 = -2\\) z warunków Viète'a i zapisaliśmy rozkład \\((t-1)(t+2)\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Mnożenie | Błąd |
| A | \\((x^3+1)(x^2-2) = x^5 - 2x^3 + x^2 - 2\\) | Wynik to wielomian 5. stopnia, a \\(W(x)\\) ma stopień 6. Pomylono \\(x^3\\) z \\(x^2\\) w jednym nawiasie. |
| C | \\((x^2+2)(x^4-1) = x^6 + 2x^4 - x^2 - 2\\) | Stopień 6 - OK, ale pojawia się \\(+2x^4 - x^2\\) zamiast \\(+x^3\\). Brak składnika \\(x^3\\). |
| D | \\((x^4-2)(x+1) = x^5 + x^4 - 2x - 2\\) | Wynik to wielomian 5. stopnia - znów pomylony stopień. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Klucz do zadania to dostrzeżenie, że \\(x^6 = (x^3)^2\\) - wtedy wielomian 6. stopnia zamienia się w zwykły trójmian kwadratowy. Jeśli tego nie zauważysz, możesz szukać rozkładu na ślepo i zmarnować czas.
\n
⚠️ Uwaga: Po podstawieniu \\(t = x^3\\) i rozłożeniu, pamiętaj wrócić do \\(x\\)! Częsty błąd to zostawienie wyniku w postaci \\((t-1)(t+2)\\) i wybieranie odpowiedzi z \\(t\\) zamiast z \\(x^3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedzi A i D to wielomiany stopnia 5 - wystarczy sprawdzić stopnie, by je natychmiast odrzucić (bez liczenia). To szybki filtr na egzaminie!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)
\n

Zauważamy, że \\(W(x) = (x^3)^2 + x^3 - 2\\). Podstawmy \\(t = x^3\\):
\\[t^2 + t - 2 = 0 \\iff (t-1)(t+2) = 0.\\]
Cofając podstawienie:
\\[W(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 2).\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja poprzez wymnożenie odpowiedzi B
\n

\\[(x^3-1)(x^3+2) = x^6 + 2x^3 - x^3 - 2 = x^6 + x^3 - 2 = W(x).\\] ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: rozpoznaj strukturę trójmianu kwadratowego w potęgach \\(x^3\\).

"}]}