{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nRównanie \n\n\n\n\n\n3\n2\n0\n3\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nma\nA. dokładnie jedno rozwiązanie\nB. dokładnie dwa rozwiązania\nC. dokładnie trzy rozwiązania\nD. dokładnie cztery rozwiązania\nRównanie (x+3)(x-2) / (x-3)(x+2)} = 0 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie, B. dokładnie dwa rozwiązania, C. dokładnie trzy rozwiązania, D. dokładnie cztery rozwiązania","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązuje proste równanie wymierne.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie ma **dokładnie dwa rozwiązania**.\n\n## Sposób 1 - analiza licznika i mianownika\n\nUłamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik równa się zero**, a jednocześnie **mianownik jest różny od zera**.\n\n**Krok 1: Kiedy licznik = 0?**\n\n\\[(x+3)(x-2) = 0\\]\n\n\\[x + 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0\\]\n\n\\[x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\n**Krok 2: Kiedy mianownik = 0? (te wartości musimy wykluczyć!)**\n\n\\[(x-3)(x+2) = 0\\]\n\n\\[x = 3 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy kandydatów**\n\n| Kandydat | Mianownik w tym punkcie | Dopuszczalny? |\n| \\(x = -3\\) | \\((-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6 \\neq 0\\) | ✅ TAK |\n| \\(x = 2\\) | \\((2-3)(2+2) = (-1)(4) = -4 \\neq 0\\) | ✅ TAK |\n\n**Oba kandydaci są dopuszczalni** - żaden z nich nie zeruje mianownika.\n\n**Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \\(x = -3\\) oraz \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = -3\\):\n\\[\\frac{(-3+3)(-3-2)}{(-3-3)(-3+2)} = \\frac{0 \\cdot (-5)}{(-6)(-1)} = \\frac{0}{6} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\frac{(2+3)(2-2)}{(2-3)(2+2)} = \\frac{5 \\cdot 0}{(-1)(4)} = \\frac{0}{-4} = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też, że \"fałszywe\" miejsca zerowe mianownika nie są rozwiązaniami:\n\nDla \\(x = 3\\): mianownik \\(= 0\\) - **wyrażenie niezdefiniowane**, nie jest rozwiązaniem.\n\nDla \\(x = -2\\): mianownik \\(= 0\\) - **wyrażenie niezdefiniowane**, nie jest rozwiązaniem.\n\nWynik potwierdzony: **dwa rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka i jego dziedziny oraz podstawowe rozwiązywanie równań iloczynowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń zauważa, że licznik i mianownik mają wspólną formę, próbuje \"upraszczać\" i myśli, że jedno rozwiązanie odpada - błąd, bo \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) nie są miejscami zerowymi mianownika |\n| C | Uczeń liczy miejsca zerowe **całego wyrażenia** (licznik + mianownik razem) i dodaje \\(x = -2\\) lub \\(x = 3\\) jako \"rozwiązania\" |\n| D | Uczeń liczy wszystkie cztery miejsca zerowe obu nawiasów (\\(-3, 2, 3, -2\\)) bez sprawdzania dziedziny - to typowy błąd, gdy pomija się warunek \\(\\text{mianownik} \\neq 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe mianownika (\\(x = 3\\) i \\(x = -2\\)) NIE są rozwiązaniami - w tych punktach wyrażenie w ogóle nie istnieje. Ułamka zerowego mianownika po prostu nie wolno liczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie ułamkowe \"= 0\" rozwiązujemy przez przyrównanie **licznika do zera**, a nie całego wyrażenia - ale zawsze pod warunkiem sprawdzenia dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"upraszczać\" ułamka przez skracanie nawiasów przed sprawdzeniem dziedziny - mogłoby to ukryć, które wartości są niedopuszczalne.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek na zero ułamka i dziedzinę\nUłamek \\(\\dfrac{L(x)}{M(x)} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L(x) = 0\\) i \\(M(x)\\ne 0\\).\n\nDziedzina: \\(M(x) = (x-3)(x+2)\\ne 0 \\iff x\\ne 3\\) i \\(x\\ne -2\\).\n\nLicznik: \\((x+3)(x-2) = 0 \\iff x = -3\\) lub \\(x = 2\\).\n\nObie wartości \\(-3\\) i \\(2\\) należą do dziedziny (\\(-3\\ne 3, -2\\); \\(2\\ne 3, -2\\)).\n\nZatem rozwiązania: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\) - **dwa rozwiązania**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pominięto jedno z miejsc zerowych licznika.\n- **C.** Uwzględniono jedno z miejsc mianownika (błąd - to eliminacja, nie rozwiązanie).\n- **D.** Uznano wszystkie 4 wartości (\\(\\pm 3, \\pm 2\\)) za rozwiązania.\n\n**Pamiętaj:** w równaniu wymiernym sprawdź dziedzinę - miejsca zerowe mianownika są wykluczone.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11. (1 pkt)<br>Równanie <br><br><br><br><br><br>3<br>2<br>0<br>3<br>2<br>x<br>x<br>x<br>x<br><br><br><br><br><br>ma<br>A. dokładnie jedno rozwiązanie<br>B. dokładnie dwa rozwiązania<br>C. dokładnie trzy rozwiązania<br>D. dokładnie cztery rozwiązania<br>Równanie (x+3)(x-2) / (x-3)(x+2)} = 0 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie, B. dokładnie dwa rozwiązania, C. dokładnie trzy rozwiązania, D. dokładnie cztery rozwiązania</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Rozwiązuje proste równanie wymierne.<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Równanie ma <strong>dokładnie dwa rozwiązania</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - analiza licznika i mianownika</h4>\n<p>Ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>licznik równa się zero</strong>, a jednocześnie <strong>mianownik jest różny od zera</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Kiedy licznik = 0?</strong></p>\n<p>\\[(x+3)(x-2) = 0\\]</p>\n<p>\\[x + 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0\\]</p>\n<p>\\[x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kiedy mianownik = 0? (te wartości musimy wykluczyć!)</strong></p>\n<p>\\[(x-3)(x+2) = 0\\]</p>\n<p>\\[x = 3 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdzamy kandydatów</strong></p>\n<p>| Kandydat | Mianownik w tym punkcie | Dopuszczalny? |<br>| \\(x = -3\\) | \\((-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6 \\neq 0\\) | ✅ TAK |<br>| \\(x = 2\\) | \\((2-3)(2+2) = (-1)(4) = -4 \\neq 0\\) | ✅ TAK |</p>\n<p><strong>Oba kandydaci są dopuszczalni</strong> - żaden z nich nie zeruje mianownika.</p>\n<p><strong>Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \\(x = -3\\) oraz \\(x = 2\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:</p>\n<p>Dla \\(x = -3\\):<br>\\[\\frac{(-3+3)(-3-2)}{(-3-3)(-3+2)} = \\frac{0 \\cdot (-5)}{(-6)(-1)} = \\frac{0}{6} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla \\(x = 2\\):<br>\\[\\frac{(2+3)(2-2)}{(2-3)(2+2)} = \\frac{5 \\cdot 0}{(-1)(4)} = \\frac{0}{-4} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy też, że &quot;fałszywe&quot; miejsca zerowe mianownika nie są rozwiązaniami:</p>\n<p>Dla \\(x = 3\\): mianownik \\(= 0\\) - <strong>wyrażenie niezdefiniowane</strong>, nie jest rozwiązaniem.</p>\n<p>Dla \\(x = -2\\): mianownik \\(= 0\\) - <strong>wyrażenie niezdefiniowane</strong>, nie jest rozwiązaniem.</p>\n<p>Wynik potwierdzony: <strong>dwa rozwiązania</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka i jego dziedziny oraz podstawowe rozwiązywanie równań iloczynowych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń zauważa, że licznik i mianownik mają wspólną formę, próbuje &quot;upraszczać&quot; i myśli, że jedno rozwiązanie odpada - błąd, bo \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) nie są miejscami zerowymi mianownika |<br>| C | Uczeń liczy miejsca zerowe <strong>całego wyrażenia</strong> (licznik + mianownik razem) i dodaje \\(x = -2\\) lub \\(x = 3\\) jako &quot;rozwiązania&quot; |<br>| D | Uczeń liczy wszystkie cztery miejsca zerowe obu nawiasów (\\(-3, 2, 3, -2\\)) bez sprawdzania dziedziny - to typowy błąd, gdy pomija się warunek \\(\\text{mianownik} \\neq 0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsca zerowe mianownika (\\(x = 3\\) i \\(x = -2\\)) NIE są rozwiązaniami - w tych punktach wyrażenie w ogóle nie istnieje. Ułamka zerowego mianownika po prostu nie wolno liczyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie ułamkowe &quot;= 0&quot; rozwiązujemy przez przyrównanie <strong>licznika do zera</strong>, a nie całego wyrażenia - ale zawsze pod warunkiem sprawdzenia dziedziny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno &quot;upraszczać&quot; ułamka przez skracanie nawiasów przed sprawdzeniem dziedziny - mogłoby to ukryć, które wartości są niedopuszczalne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek na zero ułamka i dziedzinę</h5>\n<p>Ułamek \\(\\dfrac{L(x)}{M(x)} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L(x) = 0\\) i \\(M(x)\\ne 0\\).</p>\n<p>Dziedzina: \\(M(x) = (x-3)(x+2)\\ne 0 \\iff x\\ne 3\\) i \\(x\\ne -2\\).</p>\n<p>Licznik: \\((x+3)(x-2) = 0 \\iff x = -3\\) lub \\(x = 2\\).</p>\n<p>Obie wartości \\(-3\\) i \\(2\\) należą do dziedziny (\\(-3\\ne 3, -2\\); \\(2\\ne 3, -2\\)).</p>\n<p>Zatem rozwiązania: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\) - <strong>dwa rozwiązania</strong>.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Pominięto jedno z miejsc zerowych licznika.</li><li><strong>C.</strong> Uwzględniono jedno z miejsc mianownika (błąd - to eliminacja, nie rozwiązanie).</li><li><strong>D.</strong> Uznano wszystkie 4 wartości (\\(\\pm 3, \\pm 2\\)) za rozwiązania.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w równaniu wymiernym sprawdź dziedzinę - miejsca zerowe mianownika są wykluczone.</p>"}]}