{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest ciąg \n\nna\nokreślony wzorem\n\n\n2\nn\nn\nn\na \n\ndla\n1\n\nn\n. Wówczas\nA.\n3\n1\n2\na \nB.\n3\n1\n2\na \nC.\n3\n3\n8\na \nD.\n3\n3\n8\na \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = {n / (-2)^n} dla n >= 1. Wówczas A. a_3 = 1/2, B. a_3 = -1/2, C. a_3 = 3/8, D. a_3 = -3/8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznacza wyraz ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wprost do wzoru\n\nMamy wzór ogólny:\n\\[a_n = \\frac{n}{(-2)^n}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3}\\]\n\nObliczamy mianownik - **uwaga na ujemną podstawę potęgi!**\n\\[(-2)^3 = (-2) \\cdot (-2) \\cdot (-2) = 4 \\cdot (-2) = -8\\]\n\nZatem:\n\\[a_3 = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]\n\n**Wynik: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład na części\n\nRozkładamy ułamek, korzystając z tego, że \\((-2)^n = (-1)^n \\cdot 2^n\\):\n\n\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3} = \\frac{3}{(-1)^3 \\cdot 2^3} = \\frac{3}{(-1) \\cdot 8} = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]\n\nTen zapis pokazuje, że **znak wyrazu zależy od parzystości \\(n\\)**:\n- \\(n\\) nieparzyste \\(\\Rightarrow (-1)^n = -1 \\Rightarrow a_n < 0\\)\n- \\(n\\) parzyste \\(\\Rightarrow (-1)^n = 1 \\Rightarrow a_n > 0\\)\n\nDla \\(n = 3\\) (nieparzyste) wyraz jest **ujemny** - to wyklucza odpowiedzi A i C.\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja potęgi o wykładniku naturalnym oraz zasada, że potęga ujemnej liczby zmienia znak co wyraz.\n\nPomocniczo można odwołać się do **Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]\nDla \\(a = -2\\), \\(n = 3\\): \\((-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Policzono \\((-2)^3 = 6\\) (dodawanie zamiast potęgowania), otrzymując \\(\\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\) |\n| B | Policzono \\((-2)^3 = -6\\), otrzymując \\(\\frac{3}{-6} = -\\frac{1}{2}\\) |\n| C | Zapomniano o znaku - wzięto \\(2^3 = 8\\) zamiast \\((-2)^3 = -8\\), otrzymując \\(\\frac{3}{8}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-2)^3 \\neq 2^3\\). Ujemna podstawa przy **nieparzystym** wykładniku daje wynik ujemny. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\((-2)^3 = -8\\) z \\(-2^3 = -8\\) - tu wynik jest ten sam, ale z innych powodów. Dla parzystych wykładników różnica jest kluczowa: \\((-2)^2 = +4\\), ale \\(-2^2 = -4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie obliczaj pochopnie \\((-2) \\cdot 3 = -6\\) - potęga to **mnożenie podstawy przez siebie**, nie przez wykładnik!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\\[a_3 = \\dfrac{3}{(-2)^3} = \\dfrac{3}{-8} = -\\dfrac{3}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczanie znaku\n\\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna).\nLicznik \\(3 > 0\\), mianownik \\(-8 < 0\\), więc \\(a_3 < 0\\).\nWartość bezwzględna: \\(\\left|\\dfrac{3}{-8}\\right| = \\dfrac{3}{8}\\).\nZatem \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to jest \\(a_2 = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}\\), nie \\(a_3\\).\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - zły znak lub zły indeks.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{8}\\)** - pominięto znak minus w \\((-2)^3\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((-a)^n\\) jest ujemne gdy \\(n\\) jest nieparzyste, dodatnie gdy parzyste.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
Dany jest ciąg 

na
określony wzorem


2
n
n
n
a 

dla
1

n
. Wówczas
A.
3
1
2
a 
B.
3
1
2
a 
C.
3
3
8
a 
D.
3
3
8
a 

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = {n / (-2)^n} dla n >= 1. Wówczas A. a_3 = 1/2, B. a_3 = -1/2, C. a_3 = 3/8, D. a_3 = -3/8

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Wyznacza wyraz ciągu określonego
wzorem ogólnym.
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie wprost do wzoru

\n

Mamy wzór ogólny:
\\[a_n = \\frac{n}{(-2)^n}\\]

\n

Podstawiamy \\(n = 3\\):
\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3}\\]

\n

Obliczamy mianownik - uwaga na ujemną podstawę potęgi!
\\[(-2)^3 = (-2) \\cdot (-2) \\cdot (-2) = 4 \\cdot (-2) = -8\\]

\n

Zatem:
\\[a_3 = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]

\n

Wynik: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład na części

\n

Rozkładamy ułamek, korzystając z tego, że \\((-2)^n = (-1)^n \\cdot 2^n\\):

\n

\\[a_3 = \\frac{3}{(-2)^3} = \\frac{3}{(-1)^3 \\cdot 2^3} = \\frac{3}{(-1) \\cdot 8} = \\frac{3}{-8} = -\\frac{3}{8}\\]

\n

Ten zapis pokazuje, że znak wyrazu zależy od parzystości \\(n\\):

\n\n

Dla \\(n = 3\\) (nieparzyste) wyraz jest ujemny - to wyklucza odpowiedzi A i C.

\n

Wynik potwierdzony: \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja potęgi o wykładniku naturalnym oraz zasada, że potęga ujemnej liczby zmienia znak co wyraz.

\n

Pomocniczo można odwołać się do Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]
Dla \\(a = -2\\), \\(n = 3\\): \\((-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Policzono \\((-2)^3 = 6\\) (dodawanie zamiast potęgowania), otrzymując \\(\\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\) |
| B | Policzono \\((-2)^3 = -6\\), otrzymując \\(\\frac{3}{-6} = -\\frac{1}{2}\\) |
| C | Zapomniano o znaku - wzięto \\(2^3 = 8\\) zamiast \\((-2)^3 = -8\\), otrzymując \\(\\frac{3}{8}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\((-2)^3 \\neq 2^3\\). Ujemna podstawa przy nieparzystym wykładniku daje wynik ujemny. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\((-2)^3 = -8\\) z \\(-2^3 = -8\\) - tu wynik jest ten sam, ale z innych powodów. Dla parzystych wykładników różnica jest kluczowa: \\((-2)^2 = +4\\), ale \\(-2^2 = -4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie obliczaj pochopnie \\((-2) \\cdot 3 = -6\\) - potęga to mnożenie podstawy przez siebie, nie przez wykładnik!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie
\n

\\[a_3 = \\dfrac{3}{(-2)^3} = \\dfrac{3}{-8} = -\\dfrac{3}{8}.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczanie znaku
\n

\\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna).
Licznik \\(3 > 0\\), mianownik \\(-8 < 0\\), więc \\(a_3 < 0\\).
Wartość bezwzględna: \\(\\left|\\dfrac{3}{-8}\\right| = \\dfrac{3}{8}\\).
Zatem \\(a_3 = -\\dfrac{3}{8}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\((-a)^n\\) jest ujemne gdy \\(n\\) jest nieparzyste, dodatnie gdy parzyste.

"}]}