{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nna\ndane są:\n1\n36\na \n,\n2\n18\na \n. Wtedy\nA.\n4\n18\na \nB.\n4\n0\na \nC.\n4\n4,5\na \nD.\n4\n144\na \nW ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1 = 36, a_2 = 18. Wtedy A. a_4 = -18, B. a_4 = 0, C. a_4 = 4,5, D. a_4 = 144","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_4 = 4{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i wzór ogólny\n\n**Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nIloraz \\(q\\) obliczamy jako:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(a_4\\) wzorem ogólnym.**\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\\[a_4 = 36 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = 36 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{36}{8} = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\n**Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)**\n\n## Sposób 2 - wypisanie kolejnych wyrazów\n\nZamiast wzoru, mnożymy każdy wyraz przez \\(q = \\frac{1}{2}\\):\n\n\\[a_1 = 36\\]\n\\[a_2 = 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 18\\]\n\\[a_3 = 18 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]\n\\[a_4 = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = 4{,}5\\]\n\n**Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz definicja ilorazu:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów: najpierw wyznaczyli iloraz \\(q\\), potem obliczyliśmy \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a_4 = -18\\) - uczeń myśli, że ciąg jest arytmetyczny i odejmuje \\(18\\) od \\(a_1 = 36\\), otrzymując np. \\(36 - 18 - 18 - 18 = -18\\). Błąd: ciąg **geometryczny** wymaga mnożenia, nie odejmowania. |\n| B | \\(a_4 = 0\\) - brak sensu matematycznego; wyraz ciągu geometrycznego (przy \\(q \\neq 0\\)) nigdy nie wynosi 0. |\n| D | \\(a_4 = 144\\) - uczeń mnożył zamiast dzielić, tzn. przyjął \\(q = 2\\) (odwrotność prawidłowego ilorazu). Błąd znaku: \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), nie \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz liczymy zawsze jako \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a NIE \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Odwrócenie ułamka daje \\(q = 2\\) i prowadzi do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny to mnożenie przez stałą liczbę - nie mylić z ciągiem arytmetycznym, gdzie dodajemy stałą różnicę. Tu \\(r = a_2 - a_1 = -18\\) to różnica arytmetyczna, ale nie używamy jej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) to \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) potęgujemy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego\nIloraz: \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{18}{36} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nWzór: \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = 36\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = 36\\cdot\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{36}{8} = 4{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie kolejnych wyrazów\n\\(a_1 = 36\\), \\(a_2 = 18\\), \\(a_3 = a_2\\cdot q = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9\\), \\(a_4 = 9\\cdot\\dfrac{1}{2} = 4{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-18\\)** - błędnie przyjęto \\(q = -1\\) lub pomyłka w znaku.\n- **B. \\(0\\)** - w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie jest zerem (gdy \\(a_1\\ne 0\\)).\n- **D. \\(144\\)** - błędnie wzięto \\(q = 2\\) (odwrotny iloraz).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>W ciągu geometrycznym <br><br>na<br>dane są:<br>1<br>36<br>a <br>,<br>2<br>18<br>a <br>. Wtedy<br>A.<br>4<br>18<br>a <br>B.<br>4<br>0<br>a <br>C.<br>4<br>4,5<br>a <br>D.<br>4<br>144<br>a <br>W ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1 = 36, a_2 = 18. Wtedy A. a_4 = -18, B. a_4 = 0, C. a_4 = 4,5, D. a_4 = 144</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wyznacza n-ty wyraz ciągu<br>geometrycznego.<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a_4 = 4{,}5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i wzór ogólny</h4>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Iloraz \\(q\\) obliczamy jako:<br>\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz \\(a_4\\) wzorem ogólnym.</strong></p>\n<p>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>\\[a_4 = 36 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = 36 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{36}{8} = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wypisanie kolejnych wyrazów</h4>\n<p>Zamiast wzoru, mnożymy każdy wyraz przez \\(q = \\frac{1}{2}\\):</p>\n<p>\\[a_1 = 36\\]<br>\\[a_2 = 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 18\\]<br>\\[a_3 = 18 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]<br>\\[a_4 = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a_4 = 4{,}5\\)</strong> - zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór ogólny ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>oraz definicja ilorazu:<br>\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]</p>\n<p>Użyliśmy obu wzorów: najpierw wyznaczyli iloraz \\(q\\), potem obliczyliśmy \\(a_4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(a_4 = -18\\) - uczeń myśli, że ciąg jest arytmetyczny i odejmuje \\(18\\) od \\(a_1 = 36\\), otrzymując np. \\(36 - 18 - 18 - 18 = -18\\). Błąd: ciąg <strong>geometryczny</strong> wymaga mnożenia, nie odejmowania. |<br>| B | \\(a_4 = 0\\) - brak sensu matematycznego; wyraz ciągu geometrycznego (przy \\(q \\neq 0\\)) nigdy nie wynosi 0. |<br>| D | \\(a_4 = 144\\) - uczeń mnożył zamiast dzielić, tzn. przyjął \\(q = 2\\) (odwrotność prawidłowego ilorazu). Błąd znaku: \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), nie \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloraz liczymy zawsze jako \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a NIE \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Odwrócenie ułamka daje \\(q = 2\\) i prowadzi do odpowiedzi D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg geometryczny to mnożenie przez stałą liczbę - nie mylić z ciągiem arytmetycznym, gdzie dodajemy stałą różnicę. Tu \\(r = a_2 - a_1 = -18\\) to różnica arytmetyczna, ale nie używamy jej!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wykładnik we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) to \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) potęgujemy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego</h5>\n<p>Iloraz: \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{18}{36} = \\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>Wzór: \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n = 4\\):<br>\\[a_4 = 36\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = 36\\cdot\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{36}{8} = 4{,}5.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Mnożenie kolejnych wyrazów</h5>\n<p>\\(a_1 = 36\\), \\(a_2 = 18\\), \\(a_3 = a_2\\cdot q = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9\\), \\(a_4 = 9\\cdot\\dfrac{1}{2} = 4{,}5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-18\\)</strong> - błędnie przyjęto \\(q = -1\\) lub pomyłka w znaku.</li><li><strong>B. \\(0\\)</strong> - w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie jest zerem (gdy \\(a_1\\ne 0\\)).</li><li><strong>D. \\(144\\)</strong> - błędnie wzięto \\(q = 2\\) (odwrotny iloraz).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\).</p>"}]}