{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n7\nsin\n13\n\n. Wtedy tg jest równy\nA. 7\n6\nB.\n7 13\n120\n\nC.\n7\n120\nD.\n7\n13 120\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 7/13. Wtedy tg alfa jest równy A. 7/16, B. 7/13, C. 7 / pierwiastek z 120, D. 7 / 13 pierwiastków z 120","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nZnając wartość jednej funkcji\ntrygonometrycznej wyznacza wartości\npozostałych funkcji trygonometrycznych.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPoprawna odpowiedź to **C**: \\(\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Cel:** znamy \\(\\sin\\alpha\\), potrzebujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Krok 1.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\):\n\\[\\left(\\frac{7}{13}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{49}{169} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{169} = \\frac{169 - 49}{169} = \\frac{120}{169}\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{120}{169}} = \\frac{\\sqrt{120}}{13}\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy tangens:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{7}{13}}{\\dfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\frac{7}{13} \\cdot \\frac{13}{\\sqrt{120}} = \\boxed{\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\n**Myśl:** Jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\), to w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna wynosi \\(13\\), a przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\) wynosi \\(7\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy brakującą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\\[7^2 + b^2 = 13^2\\]\n\\[49 + b^2 = 169\\]\n\\[b^2 = 120 \\implies b = \\sqrt{120}\\]\n\n**Krok 2.** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przyległej:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przyległa}} = \\frac{7}{\\sqrt{120}}\\]\n\nWynik identyczny - **C** potwierdzone.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).\n\n- Definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w Sposobie 1 jako końcowy krok.\n\n- Twierdzenie Pitagorasa (**Dział 10, s. 15**):\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\dfrac{7}{6}\\) | Uczeń odejmuje: \"brakujący bok = \\(13 - 7 = 6\\)\". To błąd - brakujący bok wyznacza się **Pitagorasem**: \\(\\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{120}\\), nie odejmowaniem! |\n| **B** \\(\\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\) | Uczeń dzieli \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast przez \\(\\cos\\alpha\\): \\(\\dfrac{7/13}{120/169} = \\dfrac{7}{13} \\cdot \\dfrac{169}{120} = \\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\). Pomylone \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\). |\n| **D** \\(\\dfrac{7}{13\\sqrt{120}}\\) | Uczeń nie upraszcza \\(\\dfrac{13}{13}\\) po podzieleniu: \\(\\dfrac{7/13}{\\sqrt{120}/\\mathbf{1}}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha\\), zgubiono jeden czynnik \\(13\\) w mianowniku. Wynik jest \\(\\frac{1}{13}\\) razy za mały. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyznaczaj brakującego boku przez odejmowanie od przeciwprostokątnej! Zawsze używaj Pitagorasa: \\(b = \\sqrt{c^2 - a^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o założeniu \\(\\alpha\\) ostry → \\(\\cos\\alpha > 0\\). Gdyby kąt był rozwarty, \\(\\cos\\alpha < 0\\) i tangens byłby ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{120}\\) można też zapisać jako \\(2\\sqrt{30}\\) - obie formy są poprawne. Sprawdź, która pasuje do podanych odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{49}{169} = \\dfrac{120}{169}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha>0\\), więc\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{120}}{13}.\\]\nZatem\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{7}{13}}{\\tfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nBok naprzeciw \\(\\alpha\\) ma długość \\(7\\), przeciwprostokątna \\(13\\). Bok przyległy z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a = \\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{169-49} = \\sqrt{120}.\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{6}\\)** - błędne \\(\\sqrt{120}\\) jako \\(6\\).\n- **B. \\(\\tfrac{7\\cdot 13}{120}\\)** - pomylenie mianownika (\\(\\sqrt{120}\\cdot 13\\) vs \\(120\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{7}{13\\sqrt{120}}\\)** - dodatkowy czynnik \\(13\\) w mianowniku (to byłoby \\(\\sin\\alpha / \\sqrt{120}\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); przy dzieleniu ułamków \\(\\dfrac{13}{13}\\) się kasuje.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i
7
sin
13

. Wtedy tg jest równy
A. 7
6
B.
7 13
120

C.
7
120
D.
7
13 120
Kąt alfa jest ostry i sin alfa = 7/13. Wtedy tg alfa jest równy A. 7/16, B. 7/13, C. 7 / pierwiastek z 120, D. 7 / 13 pierwiastków z 120

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Znając wartość jednej funkcji
trygonometrycznej wyznacza wartości
pozostałych funkcji trygonometrycznych.
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Poprawna odpowiedź to C: \\(\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}\\)

\n

Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + definicja tangensa

\n

Cel: znamy \\(\\sin\\alpha\\), potrzebujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Krok 1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\):
\\[\\left(\\frac{7}{13}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\frac{49}{169} + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{169} = \\frac{169 - 49}{169} = \\frac{120}{169}\\]

\n

Krok 3. Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{120}{169}} = \\frac{\\sqrt{120}}{13}\\]

\n

Krok 4. Wyznaczamy tangens:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{7}{13}}{\\dfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\frac{7}{13} \\cdot \\frac{13}{\\sqrt{120}} = \\boxed{\\dfrac{7}{\\sqrt{120}}}\\]

\n

Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)

\n

Myśl: Jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{13}\\), to w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna wynosi \\(13\\), a przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\) wynosi \\(7\\).

\n

Krok 1. Wyznaczamy brakującą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
\\[7^2 + b^2 = 13^2\\]
\\[49 + b^2 = 169\\]
\\[b^2 = 120 \\implies b = \\sqrt{120}\\]

\n

Krok 2. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przyległej:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przyległa}} = \\frac{7}{\\sqrt{120}}\\]

\n

Wynik identyczny - C potwierdzone.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)

\n\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).

\n\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyta w Sposobie 1 jako końcowy krok.

\n\n

\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\(\\dfrac{7}{6}\\) | Uczeń odejmuje: "brakujący bok = \\(13 - 7 = 6\\)". To błąd - brakujący bok wyznacza się Pitagorasem: \\(\\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{120}\\), nie odejmowaniem! |
| B \\(\\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\) | Uczeń dzieli \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast przez \\(\\cos\\alpha\\): \\(\\dfrac{7/13}{120/169} = \\dfrac{7}{13} \\cdot \\dfrac{169}{120} = \\dfrac{7 \\cdot 13}{120}\\). Pomylone \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\). |
| D \\(\\dfrac{7}{13\\sqrt{120}}\\) | Uczeń nie upraszcza \\(\\dfrac{13}{13}\\) po podzieleniu: \\(\\dfrac{7/13}{\\sqrt{120}/\\mathbf{1}}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha\\), zgubiono jeden czynnik \\(13\\) w mianowniku. Wynik jest \\(\\frac{1}{13}\\) razy za mały. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wyznaczaj brakującego boku przez odejmowanie od przeciwprostokątnej! Zawsze używaj Pitagorasa: \\(b = \\sqrt{c^2 - a^2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o założeniu \\(\\alpha\\) ostry → \\(\\cos\\alpha > 0\\). Gdyby kąt był rozwarty, \\(\\cos\\alpha < 0\\) i tangens byłby ujemny.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{120}\\) można też zapisać jako \\(2\\sqrt{30}\\) - obie formy są poprawne. Sprawdź, która pasuje do podanych odpowiedzi.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa
\n

\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{49}{169} = \\dfrac{120}{169}.\\]
Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha>0\\), więc
\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{120}}{13}.\\]
Zatem
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{7}{13}}{\\tfrac{\\sqrt{120}}{13}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

Bok naprzeciw \\(\\alpha\\) ma długość \\(7\\), przeciwprostokątna \\(13\\). Bok przyległy z twierdzenia Pitagorasa:
\\[a = \\sqrt{13^2 - 7^2} = \\sqrt{169-49} = \\sqrt{120}.\\]
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{7}{\\sqrt{120}}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); przy dzieleniu ułamków \\(\\dfrac{13}{13}\\) się kasuje.

"}]}