{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy\n2 10\n9\n11\nA.\n9\ncos\n11\n\nB.\n9\nsin\n11\n\nC.\n11\nsin\n2 10\n\nD.\n2 10\ncos\n11\n\nW trojkącie prostokatnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy A. cos alfa = 9/11, B. sin alfa = 9/11, C. sin alfa = 11 / 2 pierwiastki z 10, D. cos alfa = 2 pierwiastki z 10 / 11","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje definicje funkcji\ntrygonometrycznych i wyznacza wartości\nfunkcji trygonometrycznych dla kątów\nostrych.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{9}{11}\\]\n\n## Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n**Szkic sytuacji:**\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, z którego wychodzi:\n- **przyprostokątna \\(9\\)** - bok **przyległy** do kąta \\(\\alpha\\)\n- **przeciwprostokątna \\(11\\)** - bok łączący \\(\\alpha\\) z kątem prostym\n\nNatomiast **przyprostokątna \\(2\\sqrt{10}\\)** leży **naprzeciwko** kąta \\(\\alpha\\).\n\n**Weryfikacja danych** (czy to jest prawidłowy trójkąt prostokątny?):\n\\[9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]\n\n**Przypisanie boków względem kąta \\(\\alpha\\):**\n\n| Bok | Długość | Rola względem \\(\\alpha\\) |\n| przyprostokątna | \\(9\\) | **przyległa** (adjacent) |\n| przyprostokątna | \\(2\\sqrt{10}\\) | **przeciwległa** (opposite) |\n| przeciwprostokątna | \\(11\\) | **przeciwprostokątna** (hypotenuse) |\n\n**Obliczamy funkcje trygonometryczne:**\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{9}{11}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\]\n\n**Odpowiedź A: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{9}{11}\\)** jest prawidłowa.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez jedynkę trygonometryczną\n\nSprawdzamy, czy wyniki z Metody 1 są spójne:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\right)^2 + \\left(\\frac{9}{11}\\right)^2\\]\n\n\\[= \\frac{4 \\cdot 10}{121} + \\frac{81}{121} = \\frac{40 + 81}{121} = \\frac{121}{121} = 1 \\checkmark\\]\n\nJedynka trygonometryczna jest spełniona - wartości są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]\n\nUżyliśmy definicji \\(\\cos\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{9}{11}\\) - zamieniono bok przyległy z przeciwległym. Bok \\(9\\) jest **przyległy** do \\(\\alpha\\), więc daje \\(\\cos\\), nie \\(\\sin\\). |\n| **C** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{11}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek (przeciwprostokątna w liczniku!). Wartość wynosi \\(\\frac{11}{2\\sqrt{10}} \\approx 1{,}74 > 1\\), co jest **niemożliwe** dla sinusa - sinus nigdy nie przekracza 1. |\n| **D** | \\(\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\) - poprawna wartość, ale zła nazwa. To jest \\(\\sin\\alpha\\), bo \\(2\\sqrt{10}\\) to bok **przeciwległy**, nie przyległy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie, który bok jest przyległy, a który przeciwległy - **zawsze w stosunku do konkretnego kąta**. Ten sam bok może być przyległy do jednego kąta i przeciwległy do drugiego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wynik sinusa lub cosinusa wychodzi większy od 1 (jak w odpowiedzi C), to **natychmiast** wiesz, że ułamek jest odwrócony. Sinus i cosinus zawsze zawierają się w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) - zapamiętaj skrót **SOH-CAH**: **S**inus = **O**pposite / **H**ypotenuse, **C**osinus = **A**djacent / **H**ypotenuse.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym\nKąt \\(\\alpha\\) znajduje się przy wierzchołku, z którego wychodzi bok \\(9\\) (przyprostokątna) i przeciwprostokątna \\(11\\). Bok \\(9\\) jest przyległy do \\(\\alpha\\), a bok \\(2\\sqrt{10}\\) leży naprzeciw \\(\\alpha\\).\n\nZ definicji cosinusa:\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{9}{11}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja pozostałych funkcji\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{11}\\) (naprzeciw/przeciwprostokątna), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{9}\\).\nSprawdzamy Pitagorasa: \\(9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(\\sin\\alpha \\ne \\dfrac{9}{11}\\) - \\(9\\) to bok przyległy, a sinus to naprzeciw.\n- **C.** \\(\\sin\\alpha\\) ma być \\(\\le 1\\); \\(\\tfrac{11}{2\\sqrt{10}} = \\tfrac{11}{6{,}32}>1\\).\n- **D.** Cosinus to przyległa/przeciwprostokątna, a nie naprzeciw/przeciwprostokątna.\n\n**Pamiętaj:** w trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy<br>2 10<br>9<br>11<br>A.<br>9<br>cos<br>11<br><br>B.<br>9<br>sin<br>11<br><br>C.<br>11<br>sin<br>2 10<br><br>D.<br>2 10<br>cos<br>11<br><br>W trojkącie prostokatnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy A. cos alfa = 9/11, B. sin alfa = 9/11, C. sin alfa = 11 / 2 pierwiastki z 10, D. cos alfa = 2 pierwiastki z 10 / 11</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystuje definicje funkcji<br>trygonometrycznych i wyznacza wartości<br>funkcji trygonometrycznych dla kątów<br>ostrych.<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{9}{11}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Szkic sytuacji:</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, z którego wychodzi:</p>\n<ul><li><strong>przyprostokątna \\(9\\)</strong> - bok <strong>przyległy</strong> do kąta \\(\\alpha\\)</li><li><strong>przeciwprostokątna \\(11\\)</strong> - bok łączący \\(\\alpha\\) z kątem prostym</li></ul>\n<p>Natomiast <strong>przyprostokątna \\(2\\sqrt{10}\\)</strong> leży <strong>naprzeciwko</strong> kąta \\(\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Weryfikacja danych</strong> (czy to jest prawidłowy trójkąt prostokątny?):<br>\\[9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Przypisanie boków względem kąta \\(\\alpha\\):</strong></p>\n<p>| Bok | Długość | Rola względem \\(\\alpha\\) |<br>| przyprostokątna | \\(9\\) | <strong>przyległa</strong> (adjacent) |<br>| przyprostokątna | \\(2\\sqrt{10}\\) | <strong>przeciwległa</strong> (opposite) |<br>| przeciwprostokątna | \\(11\\) | <strong>przeciwprostokątna</strong> (hypotenuse) |</p>\n<p><strong>Obliczamy funkcje trygonometryczne:</strong></p>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{9}{11}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź A: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{9}{11}\\)</strong> jest prawidłowa.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez jedynkę trygonometryczną</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wyniki z Metody 1 są spójne:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\right)^2 + \\left(\\frac{9}{11}\\right)^2\\]</p>\n<p>\\[= \\frac{4 \\cdot 10}{121} + \\frac{81}{121} = \\frac{40 + 81}{121} = \\frac{121}{121} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Jedynka trygonometryczna jest spełniona - wartości są poprawne.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]</p>\n<p>Użyliśmy definicji \\(\\cos\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) w Sposobie 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>B</strong> | \\(\\sin\\alpha = \\frac{9}{11}\\) - zamieniono bok przyległy z przeciwległym. Bok \\(9\\) jest <strong>przyległy</strong> do \\(\\alpha\\), więc daje \\(\\cos\\), nie \\(\\sin\\). |<br>| <strong>C</strong> | \\(\\sin\\alpha = \\frac{11}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek (przeciwprostokątna w liczniku!). Wartość wynosi \\(\\frac{11}{2\\sqrt{10}} \\approx 1{,}74 &gt; 1\\), co jest <strong>niemożliwe</strong> dla sinusa - sinus nigdy nie przekracza 1. |<br>| <strong>D</strong> | \\(\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{11}\\) - poprawna wartość, ale zła nazwa. To jest \\(\\sin\\alpha\\), bo \\(2\\sqrt{10}\\) to bok <strong>przeciwległy</strong>, nie przyległy. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowe jest ustalenie, który bok jest przyległy, a który przeciwległy - <strong>zawsze w stosunku do konkretnego kąta</strong>. Ten sam bok może być przyległy do jednego kąta i przeciwległy do drugiego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli wynik sinusa lub cosinusa wychodzi większy od 1 (jak w odpowiedzi C), to <strong>natychmiast</strong> wiesz, że ułamek jest odwrócony. Sinus i cosinus zawsze zawierają się w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) - zapamiętaj skrót <strong>SOH-CAH</strong>: <strong>S</strong>inus = <strong>O</strong>pposite / <strong>H</strong>ypotenuse, <strong>C</strong>osinus = <strong>A</strong>djacent / <strong>H</strong>ypotenuse.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym</h5>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) znajduje się przy wierzchołku, z którego wychodzi bok \\(9\\) (przyprostokątna) i przeciwprostokątna \\(11\\). Bok \\(9\\) jest przyległy do \\(\\alpha\\), a bok \\(2\\sqrt{10}\\) leży naprzeciw \\(\\alpha\\).</p>\n<p>Z definicji cosinusa:<br>\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{9}{11}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja pozostałych funkcji</h5>\n<p>\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{11}\\) (naprzeciw/przeciwprostokątna), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{9}\\).<br>Sprawdzamy Pitagorasa: \\(9^2 + (2\\sqrt{10})^2 = 81 + 40 = 121 = 11^2\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> \\(\\sin\\alpha \\ne \\dfrac{9}{11}\\) - \\(9\\) to bok przyległy, a sinus to naprzeciw.</li><li><strong>C.</strong> \\(\\sin\\alpha\\) ma być \\(\\le 1\\); \\(\\tfrac{11}{2\\sqrt{10}} = \\tfrac{11}{6{,}32}&gt;1\\).</li><li><strong>D.</strong> Cosinus to przyległa/przeciwprostokątna, a nie naprzeciw/przeciwprostokątna.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).</p>"}]}