{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6.\nDługość boku BC jest równa\nA. 8\nB. 4 10\nC. 2 58\nD. 10\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa A. 8, B. 4 pierwiastki z 10, C. 2 pierwiastki z 58, D. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnajduje i wykorzystuje związki miarowe\nw figurach płaskich.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) każdy kąt wynosi \\(90°\\), więc w trójkącie \\(ABC\\) kąt przy \\(B\\) jest prosty.\n\nMamy:\n- \\(AB = 6\\) (jeden bok prostokąta)\n- \\(AC = 14\\) (przekątna = przeciwprostokątna w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(BC = ?\\) (szukany bok)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[14^2 = 6^2 + BC^2\\]\n\\[196 = 36 + BC^2\\]\n\\[BC^2 = 196 - 36 = 160\\]\n\\[BC = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(BC = 4\\sqrt{10}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości przybliżonej\n\nSprawdzamy, czy \\(4\\sqrt{10}\\) rzeczywiście spełnia warunek:\n\\[\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\]\n\\[4\\sqrt{10} \\approx 4 \\cdot 3{,}162 = 12{,}649\\]\n\nSprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[AB^2 + BC^2 = 6^2 + (4\\sqrt{10})^2 = 36 + 160 = 196 = 14^2 = AC^2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\ngdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna (tu: przekątna \\(AC\\)), a \\(a, b\\) to przyprostokątne (tu: boki \\(AB\\) i \\(BC\\)).\n\nKluczowy fakt: w prostokącie każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są dwa boki prostokąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(8\\) | Odjęcie zamiast Pitagorasa: \\(14 - 6 = 8\\). Błędne użycie działania arytmetycznego zamiast wzoru. |\n| C: \\(2\\sqrt{58}\\) | Dodanie: \\(\\sqrt{14^2 + 6^2} = \\sqrt{196 + 36} = \\sqrt{232} = 2\\sqrt{58}\\). Uczeń dodał kwadraty zamiast odjąć - jakby szukał nowej przekątnej, nie boku. |\n| D: \\(10\\) | Zastosowanie trójki pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ale tutaj \\(14\\) to przekątna, a nie \\(10\\). Błąd: wzięcie standardowej trójki pitagorejskiej bez sprawdzenia, czy pasuje do danych. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna to **przeciwprostokątna** - w Pitagorasie jej kwadrat stoi **sam** po jednej stronie równania. Najczęstszy błąd to \\(\\sqrt{14^2 + 6^2}\\) zamiast \\(\\sqrt{14^2 - 6^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj pierwiastek do końca: \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{160}\\) na maturze może skutkować utratą punktu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie daj się zwieść trójce pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ona działa tylko gdy \\(6\\) i \\(8\\) to **nogi**, a \\(10\\) to **przeciwprostokątna**. Tu przeciwprostokątna wynosi \\(14\\), więc ta trójka nie pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie \\(ABC\\):\n\\[|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2.\\]\n\\[6^2 + |BC|^2 = 14^2.\\]\n\\[|BC|^2 = 196 - 36 = 160.\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{160} = \\sqrt{16\\cdot 10} = 4\\sqrt{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(4\\sqrt{10} \\approx 4\\cdot 3{,}162 \\approx 12{,}65\\).\nSprawdzenie: \\(6^2 + 12{,}65^2 \\approx 36 + 160 = 196 = 14^2\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - wtedy \\(6^2+8^2 = 100\\ne 196\\) (przekątna \\(10\\), nie \\(14\\)).\n- **C. \\(2\\sqrt{58}\\)** - wtedy \\(|BC|^2 = 232\\), błąd.\n- **D. \\(10\\)** - wtedy \\(36+100 = 136\\ne 196\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{10} = 4\\sqrt{10}\\) - upraszczaj pierwiastki.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6.<br>Długość boku BC jest równa<br>A. 8<br>B. 4 10<br>C. 2 58<br>D. 10<br>Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa A. 8, B. 4 pierwiastki z 10, C. 2 pierwiastki z 58, D. 10</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Znajduje i wykorzystuje związki miarowe<br>w figurach płaskich.<br>B<br>Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie</h4>\n<p>W prostokącie \\(ABCD\\) każdy kąt wynosi \\(90°\\), więc w trójkącie \\(ABC\\) kąt przy \\(B\\) jest prosty.</p>\n<p>Mamy:</p>\n<ul><li>\\(AB = 6\\) (jeden bok prostokąta)</li><li>\\(AC = 14\\) (przekątna = przeciwprostokątna w trójkącie \\(ABC\\))</li><li>\\(BC = ?\\) (szukany bok)</li></ul>\n<p>Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[AC^2 = AB^2 + BC^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[14^2 = 6^2 + BC^2\\]<br>\\[196 = 36 + BC^2\\]<br>\\[BC^2 = 196 - 36 = 160\\]<br>\\[BC = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(BC = 4\\sqrt{10}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości przybliżonej</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(4\\sqrt{10}\\) rzeczywiście spełnia warunek:<br>\\[\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\]<br>\\[4\\sqrt{10} \\approx 4 \\cdot 3{,}162 = 12{,}649\\]</p>\n<p>Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[AB^2 + BC^2 = 6^2 + (4\\sqrt{10})^2 = 36 + 160 = 196 = 14^2 = AC^2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:</strong><br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna (tu: przekątna \\(AC\\)), a \\(a, b\\) to przyprostokątne (tu: boki \\(AB\\) i \\(BC\\)).</p>\n<p>Kluczowy fakt: w prostokącie każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są dwa boki prostokąta.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(8\\) | Odjęcie zamiast Pitagorasa: \\(14 - 6 = 8\\). Błędne użycie działania arytmetycznego zamiast wzoru. |<br>| C: \\(2\\sqrt{58}\\) | Dodanie: \\(\\sqrt{14^2 + 6^2} = \\sqrt{196 + 36} = \\sqrt{232} = 2\\sqrt{58}\\). Uczeń dodał kwadraty zamiast odjąć - jakby szukał nowej przekątnej, nie boku. |<br>| D: \\(10\\) | Zastosowanie trójki pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ale tutaj \\(14\\) to przekątna, a nie \\(10\\). Błąd: wzięcie standardowej trójki pitagorejskiej bez sprawdzenia, czy pasuje do danych. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna to <strong>przeciwprostokątna</strong> - w Pitagorasie jej kwadrat stoi <strong>sam</strong> po jednej stronie równania. Najczęstszy błąd to \\(\\sqrt{14^2 + 6^2}\\) zamiast \\(\\sqrt{14^2 - 6^2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upraszczaj pierwiastek do końca: \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{160}\\) na maturze może skutkować utratą punktu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie daj się zwieść trójce pitagorejskiej \\((6, 8, 10)\\) - ona działa tylko gdy \\(6\\) i \\(8\\) to <strong>nogi</strong>, a \\(10\\) to <strong>przeciwprostokątna</strong>. Tu przeciwprostokątna wynosi \\(14\\), więc ta trójka nie pasuje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa</h5>\n<p>Przekątna \\(AC\\) dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie \\(ABC\\):<br>\\[|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2.\\]<br>\\[6^2 + |BC|^2 = 14^2.\\]<br>\\[|BC|^2 = 196 - 36 = 160.\\]<br>\\[|BC| = \\sqrt{160} = \\sqrt{16\\cdot 10} = 4\\sqrt{10}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna</h5>\n<p>\\(4\\sqrt{10} \\approx 4\\cdot 3{,}162 \\approx 12{,}65\\).<br>Sprawdzenie: \\(6^2 + 12{,}65^2 \\approx 36 + 160 = 196 = 14^2\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(8\\)</strong> - wtedy \\(6^2+8^2 = 100\\ne 196\\) (przekątna \\(10\\), nie \\(14\\)).</li><li><strong>C. \\(2\\sqrt{58}\\)</strong> - wtedy \\(|BC|^2 = 232\\), błąd.</li><li><strong>D. \\(10\\)</strong> - wtedy \\(36+100 = 136\\ne 196\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{10} = 4\\sqrt{10}\\) - upraszczaj pierwiastki.</p>"}]}