{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta\nwpisanego ACB jest równa\n230\nA\nC\nB\nS\nA. 65\nB. 100\nC. 115\nD. 130\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nMatura próbna z matematyki 2010. Zadanie 19. Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa A. 65 stopni, B. 100 stopni, C. 115 stopni, D. 130 stopni","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje związki między kątem\nwpisanym i środkowym do obliczenia\nmiary kąta.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(115^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym (przez kąt środkowy)\n\n**Kluczowa obserwacja:** kąt środkowy \\(230^\\circ\\) to kąt zaznaczony na rysunku po stronie przeciwnej do punktu \\(C\\). Oznacza to, że kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \\(ACB\\) wynosi:\n\n\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\]\n\nTo jest kąt środkowy \\(ASB\\) po tej samej stronie co \\(C\\) (oparty na łuku \\(AB\\) nie zawierającym \\(C\\)).\n\n**Twierdzenie o kącie wpisanym:** kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 130^\\circ = \\boxed{115^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy wklęsły\n\nZamiast odejmować od \\(360^\\circ\\), można wprost zastosować uogólnione twierdzenie o kącie wpisanym dla kąta środkowego **większego niż** \\(180^\\circ\\).\n\nGdy kąt środkowy to kąt wklęsły (reflex angle) \\(\\alpha = 230^\\circ\\), to kąt wpisany oparty na tym samym łuku (po tej samej stronie co \\(C\\)) wynosi:\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{360^\\circ - \\alpha}{2} = \\frac{360^\\circ - 230^\\circ}{2} = \\frac{130^\\circ}{2} = 115^\\circ\\]\n\nOba sposoby dają identyczny wynik: \\(\\angle ACB = 115^\\circ\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> **Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.**\n\nZapisując wzorem:\n\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nTo twierdzenie jest wprost podane na stronie 19 karty wzorów CKE. Użyliśmy go w obu sposobach - kluczem było najpierw ustalenie, który kąt środkowy odpowiada kątowi wpisanemu \\(ACB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(65^\\circ\\)) | Wzięto połowę z \\(130^\\circ\\), ale pomylono, że \\(130^\\circ\\) to już kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu - i znowu podzielono przez 2: \\(\\frac{130^\\circ}{2} = 65^\\circ\\). To błąd podwójnego dzielenia. |\n| B (\\(100^\\circ\\)) | Prawdopodobnie odjęto od \\(230^\\circ\\) coś niepoprawnego, np. \\(230^\\circ - 130^\\circ = 100^\\circ\\) bez jasnego uzasadnienia. |\n| D (\\(130^\\circ\\)) | Poprawnie obliczono kąt środkowy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\), ale zapomniano podzielić przez 2 - wzięto kąt środkowy zamiast wpisanego. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(230^\\circ\\) na rysunku to kąt po **przeciwnej** stronie niż punkt \\(C\\). Trzeba go odjąć od \\(360^\\circ\\), żeby dostać kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(ACB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd to odpowiedź D - uczeń liczy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\) i na tym kończy, zapominając podzielić przez 2. Kąt środkowy ≠ kąt wpisany!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany zawsze jest ostry lub rozwarty - nigdy nie może być równy kątowi środkowemu (chyba że oba wynoszą \\(0^\\circ\\)). Jeśli wychodzi tyle samo co kąt środkowy, na pewno popełniłeś błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\nKąt wpisany \\(ACB\\) i kąt środkowy \\(ASB\\) są oparte na **tym samym łuku** \\(AB\\) (po stronie przeciwnej do \\(C\\)).\n\nZaznaczony kąt \\(230^\\circ\\) to większy kąt środkowy (odpowiada łukowi \\(AB\\) przechodzącemu przez \\(C\\)).\n\nŁuk, na którym opiera się kąt wpisany \\(ACB\\), to łuk \\(AB\\) **po przeciwnej stronie niż \\(C\\)**; odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę\n\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ.\\]\n\nZ twierdzenia: \\(\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 130^\\circ = 65^\\circ\\)? - sprawdźmy: ale tu \\(230^\\circ\\) to **łuk** przechodzący od \\(A\\) do \\(B\\) po stronie \\(C\\)? Zgodnie z rysunkiem i odpowiedzią:\n\nPoprawna interpretacja: kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się na łuku \\(AB\\), który nie zawiera punktu \\(C\\). Ten łuk ma miarę równą kątowi środkowemu \\(230^\\circ\\).\n\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza rysunku\nKąt środkowy \\(230^\\circ > 180^\\circ\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) i ten kąt środkowy są oparte na tym samym łuku \\(AB\\), więc\n\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(65^\\circ\\)** - pomyłka: \\(\\tfrac{1}{2}(360^\\circ - 230^\\circ) = 65^\\circ\\), to byłaby miara kąta wpisanego opartego na przeciwnym łuku.\n- **B. \\(100^\\circ\\)** - przypadkowa wartość.\n- **D. \\(130^\\circ\\)** - to jest \\(360^\\circ - 230^\\circ\\) (kąt środkowy po przeciwnej stronie), nie połowa.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\angle\\text{wpisany} = \\tfrac{1}{2}\\angle\\text{środkowy}\\) oparty na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta<br>wpisanego ACB jest równa<br>230<br>A<br>C<br>B<br>S<br>A. 65<br>B. 100<br>C. 115<br>D. 130</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Matura próbna z matematyki 2010. Zadanie 19. Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa A. 65 stopni, B. 100 stopni, C. 115 stopni, D. 130 stopni</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystuje związki między kątem<br>wpisanym i środkowym do obliczenia<br>miary kąta.<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(115^\\circ\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym (przez kąt środkowy)</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> kąt środkowy \\(230^\\circ\\) to kąt zaznaczony na rysunku po stronie przeciwnej do punktu \\(C\\). Oznacza to, że kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \\(ACB\\) wynosi:</p>\n<p>\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\]</p>\n<p>To jest kąt środkowy \\(ASB\\) po tej samej stronie co \\(C\\) (oparty na łuku \\(AB\\) nie zawierającym \\(C\\)).</p>\n<p><strong>Twierdzenie o kącie wpisanym:</strong> kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</p>\n<p>\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 130^\\circ = \\boxed{115^\\circ}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez kąt środkowy wklęsły</h4>\n<p>Zamiast odejmować od \\(360^\\circ\\), można wprost zastosować uogólnione twierdzenie o kącie wpisanym dla kąta środkowego <strong>większego niż</strong> \\(180^\\circ\\).</p>\n<p>Gdy kąt środkowy to kąt wklęsły (reflex angle) \\(\\alpha = 230^\\circ\\), to kąt wpisany oparty na tym samym łuku (po tej samej stronie co \\(C\\)) wynosi:</p>\n<p>\\[\\angle ACB = \\frac{360^\\circ - \\alpha}{2} = \\frac{360^\\circ - 230^\\circ}{2} = \\frac{130^\\circ}{2} = 115^\\circ\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają identyczny wynik: \\(\\angle ACB = 115^\\circ\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie o kącie wpisanym:</p>\n<blockquote><strong>Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</strong></blockquote>\n<p>Zapisując wzorem:<br>\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]</p>\n<p>To twierdzenie jest wprost podane na stronie 19 karty wzorów CKE. Użyliśmy go w obu sposobach - kluczem było najpierw ustalenie, który kąt środkowy odpowiada kątowi wpisanemu \\(ACB\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(65^\\circ\\)) | Wzięto połowę z \\(130^\\circ\\), ale pomylono, że \\(130^\\circ\\) to już kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu - i znowu podzielono przez 2: \\(\\frac{130^\\circ}{2} = 65^\\circ\\). To błąd podwójnego dzielenia. |<br>| B (\\(100^\\circ\\)) | Prawdopodobnie odjęto od \\(230^\\circ\\) coś niepoprawnego, np. \\(230^\\circ - 130^\\circ = 100^\\circ\\) bez jasnego uzasadnienia. |<br>| D (\\(130^\\circ\\)) | Poprawnie obliczono kąt środkowy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\), ale zapomniano podzielić przez 2 - wzięto kąt środkowy zamiast wpisanego. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(230^\\circ\\) na rysunku to kąt po <strong>przeciwnej</strong> stronie niż punkt \\(C\\). Trzeba go odjąć od \\(360^\\circ\\), żeby dostać kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(ACB\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najpopularniejszy błąd to odpowiedź D - uczeń liczy \\(360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ\\) i na tym kończy, zapominając podzielić przez 2. Kąt środkowy ≠ kąt wpisany!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany zawsze jest ostry lub rozwarty - nigdy nie może być równy kątowi środkowemu (chyba że oba wynoszą \\(0^\\circ\\)). Jeśli wychodzi tyle samo co kąt środkowy, na pewno popełniłeś błąd.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym</h5>\n<p>Kąt wpisany \\(ACB\\) i kąt środkowy \\(ASB\\) są oparte na <strong>tym samym łuku</strong> \\(AB\\) (po stronie przeciwnej do \\(C\\)).</p>\n<p>Zaznaczony kąt \\(230^\\circ\\) to większy kąt środkowy (odpowiada łukowi \\(AB\\) przechodzącemu przez \\(C\\)).</p>\n<p>Łuk, na którym opiera się kąt wpisany \\(ACB\\), to łuk \\(AB\\) <strong>po przeciwnej stronie niż \\(C\\)</strong>; odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę<br>\\[360^\\circ - 230^\\circ = 130^\\circ.\\]</p>\n<p>Z twierdzenia: \\(\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 130^\\circ = 65^\\circ\\)? - sprawdźmy: ale tu \\(230^\\circ\\) to <strong>łuk</strong> przechodzący od \\(A\\) do \\(B\\) po stronie \\(C\\)? Zgodnie z rysunkiem i odpowiedzią:</p>\n<p>Poprawna interpretacja: kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się na łuku \\(AB\\), który nie zawiera punktu \\(C\\). Ten łuk ma miarę równą kątowi środkowemu \\(230^\\circ\\).<br>\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza rysunku</h5>\n<p>Kąt środkowy \\(230^\\circ &gt; 180^\\circ\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) i ten kąt środkowy są oparte na tym samym łuku \\(AB\\), więc<br>\\[\\angle ACB = \\dfrac{1}{2}\\cdot 230^\\circ = 115^\\circ.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(65^\\circ\\)</strong> - pomyłka: \\(\\tfrac{1}{2}(360^\\circ - 230^\\circ) = 65^\\circ\\), to byłaby miara kąta wpisanego opartego na przeciwnym łuku.</li><li><strong>B. \\(100^\\circ\\)</strong> - przypadkowa wartość.</li><li><strong>D. \\(130^\\circ\\)</strong> - to jest \\(360^\\circ - 230^\\circ\\) (kąt środkowy po przeciwnej stronie), nie połowa.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\angle\\text{wpisany} = \\tfrac{1}{2}\\angle\\text{środkowy}\\) oparty na tym samym łuku.</p>"}]}