{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDługość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 3 . Promień okręgu wpisanego w ten\ntrójkąt jest równy\nA. 36\nB. 18\nC. 12\nD. 6\nDługość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 pierwiastki z 3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy A. 36, B. 18, C. 12, D. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nZnajduje i wykorzystuje związki miarowe\nw figurach płaskich; wyznacza promień\nokręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\nmając daną długość boku trójkąta.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(r = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) karta wzorów podaje:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wysokość trójkąta. Mamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{24\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{24 \\cdot 3}{2} = \\frac{72}{2} = 36\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy promień okręgu wpisanego:\n\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{36}{3} = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole i półobwód)\n\nZamiast korzystać wprost ze wzoru na \\(r\\), możemy skorzystać z ogólnego wzoru na pole trójkąta.\n\n**Krok 1.** Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(24\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{576 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{1728\\sqrt{3}}{4} = 432\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2.** Półobwód trójkąta:\n\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 24\\sqrt{3}}{2} = \\frac{72\\sqrt{3}}{2} = 36\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3.** Ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\) wyznaczamy \\(r\\):\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{432\\sqrt{3}}{36\\sqrt{3}} = \\frac{432}{36} = \\boxed{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wzory dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - ogólny wzór na pole trójkąta przez promień okręgu wpisanego:\n\\[P = p \\cdot r\\]\ngdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyte w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(36\\) | Uczeń oblicza \\(h = 36\\), ale **myli wysokość z promieniem wpisanym** - zatrzymuje się krok za wcześnie. Promień wpisany to \\(\\frac{h}{3}\\), nie \\(h\\). |\n| B. \\(18\\) | Uczeń dzieli wysokość przez 2 zamiast przez 3, mylnie utożsamiając promień wpisany z połową wysokości. Połowa wysokości to \\(\\frac{h}{2}\\), ale to nie jest promień wpisany! |\n| D. \\(6\\) | Uczeń bierze \\(\\frac{h}{6}\\) zamiast \\(\\frac{h}{3}\\), prawdopodobnie pomylił związek \\(r = \\frac{h}{3}\\) ze wzorem na promień opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(r = \\frac{h}{3}\\), a promień okręgu **opisanego** \\(R = \\frac{2h}{3}\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj, że promień wpisany to **jedna trzecia** wysokości, opisany to **dwie trzecie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((24\\sqrt{3})^2 = 576 \\cdot 3 = 1728\\), a NIE \\(576\\sqrt{3}\\). Przy podnoszeniu do kwadratu pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z \\(\\sqrt{3}\\) przy obliczeniach upraszczaj \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) jak najszybciej - dzięki temu unikniesz błędów z działaniami na pierwiastkach.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[r = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.\\]\nPodstawiamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[r = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{24\\cdot 3}{6} = \\dfrac{72}{6} = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość trójkąta\nWysokość: \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{72}{2} = 36\\).\nŚrodek ciężkości dzieli wysokość \\(1:2\\), a promień okręgu wpisanego to \\(\\tfrac{1}{3}h\\):\n\\[r = \\dfrac{1}{3}\\cdot 36 = 12.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\)** - to wysokość, nie promień okręgu wpisanego.\n- **B. \\(18\\)** - \\(\\tfrac{h}{2}\\), czyli połowa wysokości.\n- **D. \\(6\\)** - \\(\\tfrac{h}{6}\\), błędny podział.\n\n**Pamiętaj:** \\(r = \\tfrac{h}{3}\\) w trójkącie równobocznym; \\(R = \\tfrac{2h}{3}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 3 . Promień okręgu wpisanego w ten
trójkąt jest równy
A. 36
B. 18
C. 12
D. 6
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 pierwiastki z 3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy A. 36, B. 18, C. 12, D. 6

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Znajduje i wykorzystuje związki miarowe
w figurach płaskich; wyznacza promień
okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny
mając daną długość boku trójkąta.
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(r = 12\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

\n

Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) karta wzorów podaje:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]

\n

Krok 1. Wyznaczamy wysokość trójkąta. Mamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{24\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{24 \\cdot 3}{2} = \\frac{72}{2} = 36\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy promień okręgu wpisanego:
\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{36}{3} = \\boxed{12}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole i półobwód)

\n

Zamiast korzystać wprost ze wzoru na \\(r\\), możemy skorzystać z ogólnego wzoru na pole trójkąta.

\n

Krok 1. Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 24\\sqrt{3}\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(24\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{576 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{1728\\sqrt{3}}{4} = 432\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 2. Półobwód trójkąta:
\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 24\\sqrt{3}}{2} = \\frac{72\\sqrt{3}}{2} = 36\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3. Ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\) wyznaczamy \\(r\\):
\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{432\\sqrt{3}}{36\\sqrt{3}} = \\frac{432}{36} = \\boxed{12}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - wzory dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}\\]
Użyte w Sposobie 1 bezpośrednio.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - ogólny wzór na pole trójkąta przez promień okręgu wpisanego:
\\[P = p \\cdot r\\]
gdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyte w Sposobie 2.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - pole trójkąta równobocznego:
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(36\\) | Uczeń oblicza \\(h = 36\\), ale myli wysokość z promieniem wpisanym - zatrzymuje się krok za wcześnie. Promień wpisany to \\(\\frac{h}{3}\\), nie \\(h\\). |
| B. \\(18\\) | Uczeń dzieli wysokość przez 2 zamiast przez 3, mylnie utożsamiając promień wpisany z połową wysokości. Połowa wysokości to \\(\\frac{h}{2}\\), ale to nie jest promień wpisany! |
| D. \\(6\\) | Uczeń bierze \\(\\frac{h}{6}\\) zamiast \\(\\frac{h}{3}\\), prawdopodobnie pomylił związek \\(r = \\frac{h}{3}\\) ze wzorem na promień opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(r = \\frac{h}{3}\\), a promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj, że promień wpisany to jedna trzecia wysokości, opisany to dwie trzecie.
\n
⚠️ Uwaga: \\((24\\sqrt{3})^2 = 576 \\cdot 3 = 1728\\), a NIE \\(576\\sqrt{3}\\). Przy podnoszeniu do kwadratu pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniach z \\(\\sqrt{3}\\) przy obliczeniach upraszczaj \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) jak najszybciej - dzięki temu unikniesz błędów z działaniami na pierwiastkach.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny
\n

Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[r = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.\\]
Podstawiamy \\(a = 24\\sqrt{3}\\):
\\[r = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{24\\cdot 3}{6} = \\dfrac{72}{6} = 12.\\]

\n
Sposób 2 - Wysokość trójkąta
\n

Wysokość: \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{24\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{72}{2} = 36\\).
Środek ciężkości dzieli wysokość \\(1:2\\), a promień okręgu wpisanego to \\(\\tfrac{1}{3}h\\):
\\[r = \\dfrac{1}{3}\\cdot 36 = 12.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(r = \\tfrac{h}{3}\\) w trójkącie równobocznym; \\(R = \\tfrac{2h}{3}\\).

"}]}