{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej\ndo prostej o równaniu\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nA.\n3\ny\nx\n\nB.\n3\ny\nx\n\nC.\n3\n2\ny\nx\n\n\nD.\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nWskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y = -1/3x + 2. A. y = 3x, B. y = -3x, C. y = 3x+2, D. y = 1/3x+2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWskazuje równania prostej prostopadłej\ndo danej.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(y = 3x\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\n\n**Od czego zaczynamy:** Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).\n\nDana prosta ma równanie \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_1 = -\\frac{1}{3}\\]\n\nSzukamy współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej \\(a_2\\). Z warunku prostopadłości:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[-\\frac{1}{3} \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-3\\right) = 3\\]\n\nSzukana prosta przechodzi przez **początek układu współrzędnych**, czyli przez punkt \\((0, 0)\\). Oznacza to, że wyraz wolny \\(b = 0\\).\n\nRównanie szukanej prostej:\n\\[\\boxed{y = 3x}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie prostopadłości wektorami kierunkowymi\n\nProsta \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [3, -1]\\)\n\n(bo na każde \\(3\\) jednostki w prawo, prosta opada o \\(1\\) jednostkę, z współczynnika \\(-\\frac{1}{3}\\)).\n\nProsta prostopadła musi mieć wektor kierunkowy **obrócony o 90°**. Obrót wektora \\([a, b]\\) o 90° daje \\([b, -a]\\) lub \\([-b, a]\\):\n\\[\\vec{v_2} = [1, 3]\\]\n\nSprawdzamy prostopadłość - iloczyn skalarny musi być równy \\(0\\):\n\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 3 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 3 = 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\nWektor kierunkowy \\([1, 3]\\) odpowiada współczynnikowi kierunkowemu \\(a_2 = \\frac{3}{1} = 3\\).\n\nProsta przez początek układu z tym współczynnikiem:\n\\[y = 3x \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych (w równaniu \\(y = ax + b\\)).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(y = -3x\\) - uczeń odwraca ułamek \\(\\frac{1}{3} \\to 3\\), ale **nie zmienia znaku**. Poprawna prostopadłość wymaga: odwróć ułamek I zmień znak. |\n| C | \\(y = 3x + 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(3\\)), ale uczeń \"zostawił\" wyraz wolny \\(+2\\) z oryginalnej prostej. Prosta ma przechodzić przez punkt \\((0,0)\\), więc \\(b = 0\\). |\n| D | \\(y = \\frac{1}{3}x + 2\\) - uczeń tylko usunął minus ze współczynnika kierunkowego, nie odwrócił ułamka. To prosta równoległa do prostej pod kątem do osi, a nie prostopadła. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **dwie operacje jednocześnie** - odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Zapamiętaj: jeśli \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\), to \\(a_2 = +3\\) (nie \\(-3\\) i nie \\(\\frac{1}{3}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Przechodzi przez początek układu współrzędnych\" oznacza punkt \\((0, 0)\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 0\\). Nie przepisuj wyrazu wolnego z danej prostej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy żadna z prostych nie jest pionowa. Dla prostych pionowych i poziomych warunek prostopadłości sprawdzamy inaczej - ale na maturze PP takie przypadki są rzadkie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):\n\\[m_1\\cdot m_2 = -1.\\]\nDana prosta ma \\(m_1 = -\\dfrac{1}{3}\\), więc\n\\[m_2 = \\dfrac{-1}{-1/3} = 3.\\]\n\nProsta przechodzi przez \\((0, 0)\\), więc wyraz wolny wynosi \\(0\\). Równanie:\n\\[y = 3x.\\]\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nPrzez początek układu przechodzą tylko A i B (\\(y = 3x\\) i \\(y = -3x\\)).\n- \\(y = -3x\\) ma \\(m = -3\\); iloczyn z \\(-\\tfrac{1}{3}\\) to \\(1\\), więc nie prostopadła (to prosta równoległa? nie, ale nie prostopadła).\n- \\(y = 3x\\) ma \\(m = 3\\); iloczyn z \\(-\\tfrac{1}{3}\\) to \\(-1\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(y = -3x\\)** - iloczyn współczynników \\(=1\\), to nie prostopadłość.\n- **C. \\(y = 3x+2\\)** - nie przechodzi przez \\((0,0)\\).\n- **D. \\(y = \\tfrac{1}{3}x+2\\)** - równoległa, nie prostopadła, i nie przechodzi przez \\((0,0)\\).\n\n**Pamiętaj:** współczynniki kierunkowe prostopadłe: \\(m_2 = -\\tfrac{1}{m_1}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej
do prostej o równaniu
1
2
3
y
x


A.
3
y
x

B.
3
y
x

C.
3
2
y
x


D.
1
2
3
y
x


Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y = -1/3x + 2. A. y = 3x, B. y = -3x, C. y = 3x+2, D. y = 1/3x+2

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Wskazuje równania prostej prostopadłej
do danej.
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(y = 3x\\)

\n

Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych

\n

Od czego zaczynamy: Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).

\n

Dana prosta ma równanie \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:
\\[a_1 = -\\frac{1}{3}\\]

\n

Szukamy współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej \\(a_2\\). Z warunku prostopadłości:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
\\[-\\frac{1}{3} \\cdot a_2 = -1\\]
\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-3\\right) = 3\\]

\n

Szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, czyli przez punkt \\((0, 0)\\). Oznacza to, że wyraz wolny \\(b = 0\\).

\n

Równanie szukanej prostej:
\\[\\boxed{y = 3x}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie prostopadłości wektorami kierunkowymi

\n

Prosta \\(y = -\\frac{1}{3}x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [3, -1]\\)

\n

(bo na każde \\(3\\) jednostki w prawo, prosta opada o \\(1\\) jednostkę, z współczynnika \\(-\\frac{1}{3}\\)).

\n

Prosta prostopadła musi mieć wektor kierunkowy obrócony o 90°. Obrót wektora \\([a, b]\\) o 90° daje \\([b, -a]\\) lub \\([-b, a]\\):
\\[\\vec{v_2} = [1, 3]\\]

\n

Sprawdzamy prostopadłość - iloczyn skalarny musi być równy \\(0\\):
\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 3 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 3 = 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wektor kierunkowy \\([1, 3]\\) odpowiada współczynnikowi kierunkowemu \\(a_2 = \\frac{3}{1} = 3\\).

\n

Prosta przez początek układu z tym współczynnikiem:
\\[y = 3x \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych (w równaniu \\(y = ax + b\\)).

\n

Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | \\(y = -3x\\) - uczeń odwraca ułamek \\(\\frac{1}{3} \\to 3\\), ale nie zmienia znaku. Poprawna prostopadłość wymaga: odwróć ułamek I zmień znak. |
| C | \\(y = 3x + 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(3\\)), ale uczeń "zostawił" wyraz wolny \\(+2\\) z oryginalnej prostej. Prosta ma przechodzić przez punkt \\((0,0)\\), więc \\(b = 0\\). |
| D | \\(y = \\frac{1}{3}x + 2\\) - uczeń tylko usunął minus ze współczynnika kierunkowego, nie odwrócił ułamka. To prosta równoległa do prostej pod kątem do osi, a nie prostopadła. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prostopadłość to dwie operacje jednocześnie - odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Zapamiętaj: jeśli \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\), to \\(a_2 = +3\\) (nie \\(-3\\) i nie \\(\\frac{1}{3}\\)).
\n
⚠️ Uwaga: "Przechodzi przez początek układu współrzędnych" oznacza punkt \\((0, 0)\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 0\\). Nie przepisuj wyrazu wolnego z danej prostej!
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy żadna z prostych nie jest pionowa. Dla prostych pionowych i poziomych warunek prostopadłości sprawdzamy inaczej - ale na maturze PP takie przypadki są rzadkie.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Warunek prostopadłości
\n

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):
\\[m_1\\cdot m_2 = -1.\\]
Dana prosta ma \\(m_1 = -\\dfrac{1}{3}\\), więc
\\[m_2 = \\dfrac{-1}{-1/3} = 3.\\]

\n

Prosta przechodzi przez \\((0, 0)\\), więc wyraz wolny wynosi \\(0\\). Równanie:
\\[y = 3x.\\]

\n
Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi
\n

Przez początek układu przechodzą tylko A i B (\\(y = 3x\\) i \\(y = -3x\\)).

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: współczynniki kierunkowe prostopadłe: \\(m_2 = -\\tfrac{1}{m_1}\\).

"}]}