{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n2,4\nB \ni\n\n\n5,1\nC \nsą dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole\ntego kwadratu jest równe\nA. 74\nB. 58\nC. 40\nD. 29\nPunkty B=(-2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 74, B. 58, C. 40, D. 29","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza odległość punktów w układzie\nwspółrzędnych; oblicza pole kwadratu.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (58)\n\n## Sposób 1 - Pole kwadratu = kwadrat długości boku\n\n**Skoro \\(B\\) i \\(C\\) to sąsiednie wierzchołki kwadratu, odcinek \\(BC\\) jest bokiem kwadratu.**\n\nObliczamy długość boku ze wzoru na odległość między punktami:\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\):\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(5 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]\n\nPole kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(P = a^2\\), zatem:\n\n\\[P = |BC|^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną\n\nDla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna \\(d = a\\sqrt{2}\\), a pole można liczyć też jako \\(P = \\frac{d^2}{2}\\).\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(a = \\sqrt{58}\\), więc:\n\n\\[d = \\sqrt{58} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{116}\\]\n\n\\[P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{116}{2} = \\mathbf{58}\\] ✓\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia długości boku \\(|BC|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(74\\)) | Pomylono współrzędne - użyto \\(\\Delta y = 5\\) zamiast \\(\\Delta y = -3\\), licząc \\(7^2 + 5^2 = 74\\) (np. wzięto \\(|y_C| = 1\\) i \\(|y_B| = 4\\) i odjęto od siebie liczby bez znaku w złej kolejności, albo pomylono punkt \\(C\\)) |\n| C (\\(40\\)) | Obliczono \\(\\sqrt{7^2 - 3^2} = \\sqrt{40}\\) - odejmując zamiast dodawać kwadraty różnic współrzędnych (błędne „twierdzenie Pitagorasa na odwrót\") |\n| D (\\(29\\)) | Poprawnie policzono \\(|BC|^2 = 58\\), ale podzielono przez 2 - myląc pole kwadratu \\(a^2\\) z polem trójkąta \\(\\frac{1}{2}a^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a^2\\) - nie ma tu żadnego czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)! Czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) pojawia się przy trójkącie, nie kwadracie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pod pierwiastkiem **dodajemy** kwadraty różnic - wzór to \\(\\sqrt{\\Delta x^2 + \\Delta y^2}\\), nigdy minus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać pozostałych wierzchołków \\(A\\) i \\(D\\) - pole kwadratu zależy tylko od długości boku, a bok jest dany wprost przez \\(B\\) i \\(C\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kwadrat długości boku jako pole\nDługość boku kwadratu = odległość między sąsiednimi wierzchołkami. Pole = \\(|BC|^2\\).\n\\[|BC|^2 = (5-(-2))^2 + (1-4)^2 = 7^2 + (-3)^2 = 49 + 9 = 58.\\]\nZatem pole \\(= 58\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na odległość punktów\n\\[|BC| = \\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} = \\sqrt{49+9} = \\sqrt{58}.\\]\nPole kwadratu: \\(P = |BC|^2 = (\\sqrt{58})^2 = 58\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(74\\)** - błąd w obliczeniu (\\(49 + 25\\)?).\n- **C. \\(40\\)** - błąd w odległości.\n- **D. \\(29\\)** - połowa poprawnego wyniku (ktoś dzielił przez 2).\n\n**Pamiętaj:** pole kwadratu \\(=\\) kwadrat długości boku, więc nie trzeba wyciągać pierwiastka.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Punkty


2,4
B 
i


5,1
C 
są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole
tego kwadratu jest równe
A. 74
B. 58
C. 40
D. 29
Punkty B=(-2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 74, B. 58, C. 40, D. 29

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Oblicza odległość punktów w układzie
współrzędnych; oblicza pole kwadratu.
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (58)

\n

Sposób 1 - Pole kwadratu = kwadrat długości boku

\n

Skoro \\(B\\) i \\(C\\) to sąsiednie wierzchołki kwadratu, odcinek \\(BC\\) jest bokiem kwadratu.

\n

Obliczamy długość boku ze wzoru na odległość między punktami:

\n

\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]

\n

Podstawiamy \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\):

\n

\\[|BC| = \\sqrt{(5 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]

\n

Pole kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(P = a^2\\), zatem:

\n

\\[P = |BC|^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną

\n

Dla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna \\(d = a\\sqrt{2}\\), a pole można liczyć też jako \\(P = \\frac{d^2}{2}\\).

\n

Z Sposobu 1 mamy \\(a = \\sqrt{58}\\), więc:

\n

\\[d = \\sqrt{58} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{116}\\]

\n

\\[P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{116}{2} = \\mathbf{58}\\] ✓

\n

Wynik zgodny - odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wzór na odległość między punktami:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia długości boku \\(|BC|\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(74\\)) | Pomylono współrzędne - użyto \\(\\Delta y = 5\\) zamiast \\(\\Delta y = -3\\), licząc \\(7^2 + 5^2 = 74\\) (np. wzięto \\(|y_C| = 1\\) i \\(|y_B| = 4\\) i odjęto od siebie liczby bez znaku w złej kolejności, albo pomylono punkt \\(C\\)) |
| C (\\(40\\)) | Obliczono \\(\\sqrt{7^2 - 3^2} = \\sqrt{40}\\) - odejmując zamiast dodawać kwadraty różnic współrzędnych (błędne „twierdzenie Pitagorasa na odwrót") |
| D (\\(29\\)) | Poprawnie policzono \\(|BC|^2 = 58\\), ale podzielono przez 2 - myląc pole kwadratu \\(a^2\\) z polem trójkąta \\(\\frac{1}{2}a^2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pole kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a^2\\) - nie ma tu żadnego czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)! Czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) pojawia się przy trójkącie, nie kwadracie.
\n
⚠️ Uwaga: Pod pierwiastkiem dodajemy kwadraty różnic - wzór to \\(\\sqrt{\\Delta x^2 + \\Delta y^2}\\), nigdy minus!
\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba wyznaczać pozostałych wierzchołków \\(A\\) i \\(D\\) - pole kwadratu zależy tylko od długości boku, a bok jest dany wprost przez \\(B\\) i \\(C\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Kwadrat długości boku jako pole
\n

Długość boku kwadratu = odległość między sąsiednimi wierzchołkami. Pole = \\(|BC|^2\\).
\\[|BC|^2 = (5-(-2))^2 + (1-4)^2 = 7^2 + (-3)^2 = 49 + 9 = 58.\\]
Zatem pole \\(= 58\\).

\n
Sposób 2 - Wzór na odległość punktów
\n

\\[|BC| = \\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} = \\sqrt{49+9} = \\sqrt{58}.\\]
Pole kwadratu: \\(P = |BC|^2 = (\\sqrt{58})^2 = 58\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: pole kwadratu \\(=\\) kwadrat długości boku, więc nie trzeba wyciągać pierwiastka.

"}]}