{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDany jest okrąg o równaniu \n\n\n\n2\n2\n4\n6\n100\nx\ny\n\n\n\n\n. Środek tego okręgu ma współrzędne\nA. \n\n4,\n6\n\n\nB. \n\n4, 6\nC. \n\n4,\n6\n\nD. \n\n4, 6\n\nDany jest okrąg o równaniu (x+4)^2+(y-6)^2 = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne A. (-4,-6), B. (4,6), C. (4,-6), D. (-4,6)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nPosługuje się postacią równania okręgu;\nz zapisu równania okręgu odczytuje\nwspółrzędne jego środka.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-4, 6)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego okręgu\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) to:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nDane równanie to:\n\\[(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 100\\]\n\n**Kluczowy krok:** przepisujemy, żeby dopasować do wzoru:\n\\[(x - (-4))^2 + (y - 6)^2 = 10^2\\]\n\nPorównując z \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\), odczytujemy wprost:\n\\[a = -4, \\quad b = 6, \\quad r = 10\\]\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-4, 6)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka do równania\n\nŚrodek okręgu leży w odległości \\(r = 0\\) od samego siebie - ale sprawdźmy inaczej: punkt \\((-4, 6)\\) powinien spełniać równanie z zerową \"resztą\" (odległość środka od środka = 0):\n\nPodstawiamy \\(x = -4\\), \\(y = 6\\):\n\\[(-4 + 4)^2 + (6 - 6)^2 = 0^2 + 0^2 = 0 \\neq 100\\]\n\nTo naturalne - środek **nie leży na okręgu**, lecz wewnątrz niego. Sprawdzamy, czy punkt \\((-4, 6)\\) jest w środku, licząc jego odległość od dowolnego punktu na okręgu, np. od \\((6, 6)\\) (bo \\((6+4)^2 + (6-6)^2 = 100\\)):\n\n\\[d = \\sqrt{(6-(-4))^2 + (6-6)^2} = \\sqrt{10^2 + 0} = 10 = r \\checkmark\\]\n\nOdległość od \\((-4, 6)\\) do punktu na okręgu wynosi dokładnie \\(r = 10\\), co potwierdza, że \\((-4, 6)\\) to środek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytu współrzędnych środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Zamiana obu znaków: uczeń bierze liczby z nawiasów bez zmiany znaku, dostaje \\((-4, -6)\\) - ignoruje, że \\((y-6)\\) daje \\(b = +6\\), nie \\(-6\\) |\n| B | Zmiana obu znaków na przeciwne: uczeń \"odwraca\" oba wyrazy i dostaje \\((4, 6)\\) |\n| C | Prawidłowo odwraca znak przy \\(x\\), ale błędnie przy \\(y\\): dostaje \\((4, -6)\\) - podwójny błąd znaków |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\((x - a)^2\\), więc gdy w równaniu jest \\((x + 4)^2\\), to \\(a = -4\\), **nie** \\(+4\\). Znak się odwraca! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\((y - 6)^2\\) - tutaj już nie trzeba odwracać znaku, \\(b = 6\\) wprost. Uczniowie czasem z przyzwyczajenia odwracają też ten znak i wychodzi im \\(-6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba po prawej stronie (\\(100\\)) to \\(r^2\\), a nie \\(r\\). Promień okręgu to \\(r = 10\\), ale to nie wpływa na środek - ważne, żeby nie pomylić środka z promieniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) opisuje okrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\).\n\nNasze równanie: \\((x+4)^2 + (y-6)^2 = 100 = 10^2\\).\nZapiszmy w kanonicznej postaci: \\((x-(-4))^2 + (y-6)^2 = 100\\).\n\nŚrodek: \\((a, b) = (-4, 6)\\), promień \\(r = 10\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nPodstawmy \\((x, y) = (-4, 6)\\) - powinno dać \\(0\\): \\((0)^2 + (0)^2 = 0\\) - to środek (odległość od siebie samego to \\(0\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-4, -6)\\)** - pomylono znak przy \\(y\\) (wyraz \\((y-6)\\) daje \\(+6\\), nie \\(-6\\)).\n- **B. \\((4, 6)\\)** - pomylono znak przy \\(x\\).\n- **C. \\((4, -6)\\)** - błędne oba znaki.\n\n**Pamiętaj:** w postaci \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) znaki \\(a, b\\) są **odwrotne** do znaków wewnątrz nawiasów.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Dany jest okrąg o równaniu 



2
2
4
6
100
x
y




. Środek tego okręgu ma współrzędne
A. 

4,
6


B. 

4, 6
C. 

4,
6

D. 

4, 6

Dany jest okrąg o równaniu (x+4)^2+(y-6)^2 = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne A. (-4,-6), B. (4,6), C. (4,-6), D. (-4,6)

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Posługuje się postacią równania okręgu;
z zapisu równania okręgu odczytuje
współrzędne jego środka.
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\((-4, 6)\\)

\n

Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego okręgu

\n

Wzór kanoniczny okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) to:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]

\n

Dane równanie to:
\\[(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 100\\]

\n

Kluczowy krok: przepisujemy, żeby dopasować do wzoru:
\\[(x - (-4))^2 + (y - 6)^2 = 10^2\\]

\n

Porównując z \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\), odczytujemy wprost:
\\[a = -4, \\quad b = 6, \\quad r = 10\\]

\n

Środek okręgu: \\(S = (-4, 6)\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka do równania

\n

Środek okręgu leży w odległości \\(r = 0\\) od samego siebie - ale sprawdźmy inaczej: punkt \\((-4, 6)\\) powinien spełniać równanie z zerową "resztą" (odległość środka od środka = 0):

\n

Podstawiamy \\(x = -4\\), \\(y = 6\\):
\\[(-4 + 4)^2 + (6 - 6)^2 = 0^2 + 0^2 = 0 \\neq 100\\]

\n

To naturalne - środek nie leży na okręgu, lecz wewnątrz niego. Sprawdzamy, czy punkt \\((-4, 6)\\) jest w środku, licząc jego odległość od dowolnego punktu na okręgu, np. od \\((6, 6)\\) (bo \\((6+4)^2 + (6-6)^2 = 100\\)):

\n

\\[d = \\sqrt{(6-(-4))^2 + (6-6)^2} = \\sqrt{10^2 + 0} = 10 = r \\checkmark\\]

\n

Odległość od \\((-4, 6)\\) do punktu na okręgu wynosi dokładnie \\(r = 10\\), co potwierdza, że \\((-4, 6)\\) to środek.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu w postaci kanonicznej:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]
gdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, a \\(r\\) to promień.

\n

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytu współrzędnych środka.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Zamiana obu znaków: uczeń bierze liczby z nawiasów bez zmiany znaku, dostaje \\((-4, -6)\\) - ignoruje, że \\((y-6)\\) daje \\(b = +6\\), nie \\(-6\\) |
| B | Zmiana obu znaków na przeciwne: uczeń "odwraca" oba wyrazy i dostaje \\((4, 6)\\) |
| C | Prawidłowo odwraca znak przy \\(x\\), ale błędnie przy \\(y\\): dostaje \\((4, -6)\\) - podwójny błąd znaków |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to \\((x - a)^2\\), więc gdy w równaniu jest \\((x + 4)^2\\), to \\(a = -4\\), nie \\(+4\\). Znak się odwraca! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Dla \\((y - 6)^2\\) - tutaj już nie trzeba odwracać znaku, \\(b = 6\\) wprost. Uczniowie czasem z przyzwyczajenia odwracają też ten znak i wychodzi im \\(-6\\).
\n
⚠️ Uwaga: Liczba po prawej stronie (\\(100\\)) to \\(r^2\\), a nie \\(r\\). Promień okręgu to \\(r = 10\\), ale to nie wpływa na środek - ważne, żeby nie pomylić środka z promieniem.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu
\n

Równanie \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) opisuje okrąg o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\).

\n

Nasze równanie: \\((x+4)^2 + (y-6)^2 = 100 = 10^2\\).
Zapiszmy w kanonicznej postaci: \\((x-(-4))^2 + (y-6)^2 = 100\\).

\n

Środek: \\((a, b) = (-4, 6)\\), promień \\(r = 10\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja
\n

Podstawmy \\((x, y) = (-4, 6)\\) - powinno dać \\(0\\): \\((0)^2 + (0)^2 = 0\\) - to środek (odległość od siebie samego to \\(0\\)).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w postaci \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) znaki \\(a, b\\) są odwrotne do znaków wewnątrz nawiasów.

"}]}