{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nObjętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe\nA. 512\nB. 384\nC. 96\nD. 16\nObjętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 512, B. 384, C. 96, D. 16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza związki miarowe\nw wielościanach; wykorzystuje związek\nmiedzy polem powierzchni całkowitej\nsześcianu a jego objętością.\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(96\\)\n\n## Sposób 1 - przez krawędź sześcianu\n\nSześcian ma wszystkie krawędzie równe. Oznaczmy krawędź sześcianu przez \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz krawędź z objętości.**\n\n\\[V = a^3 = 64\\]\n\n\\[a = \\sqrt[3]{64} = 4\\]\n\n**Krok 2: Oblicz pole powierzchni całkowitej.**\n\nSześcian ma 6 jednakowych ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\n\\[P_c = 6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzór na prostopadłościan\n\nSześcian to szczególny prostopadłościan, gdzie \\(a = b = c\\). Korzystamy ze wzoru ogólnego:\n\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2(a \\cdot a + a \\cdot a + a \\cdot a) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]\n\nCo daje ten sam wzór co w Sposobie 1. Przy \\(a = 4\\):\n\n\\[P_c = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do \\(P_c = 6a^2\\). Użyliśmy tego w obu sposobach.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek sześcienny:\n\\[a = \\sqrt[3]{V}\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia krawędzi z objętości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(512\\) | Policzono \\(8^3 = 512\\), czyli sześcian z krawędzią \\(8\\) - pomylono \\(a^2\\) z \\(a^3\\) przy wyznaczaniu krawędzi (wzięto \\(\\sqrt{64}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{64}\\)) |\n| B - \\(384\\) | Wzięto \\(a = 4\\), ale policzono \\(6 \\cdot 4^3 = 384\\) zamiast \\(6 \\cdot 4^2\\) - pomylono potęgę przy obliczaniu pola ściany |\n| D - \\(16\\) | Policzono samo \\(a^2 = 16\\) - wyznaczono pole jednej ściany zamiast wszystkich 6 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To pierwiastek **sześcienny**, nie kwadratowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to **6 ścian**, nie 1 ani 4. Łatwo zapomnieć pomnożyć przez 6 i wybrać odpowiedź D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pola ściany używamy \\(a^2\\), a przy objętości \\(a^3\\) - nie wstawiaj objętości bezpośrednio do wzoru na pole!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi i pola\n\\(V = a^3 = 64 \\implies a = \\sqrt[3]{64} = 4\\).\nPole powierzchni całkowitej sześcianu: \\(P_c = 6a^2\\).\n\\[P_c = 6\\cdot 4^2 = 6\\cdot 16 = 96.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór łączący objętość i pole\nSześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian. Mając \\(a^3 = 64\\), \\(a = 4\\), więc pole jednej ściany \\(= a^2 = 16\\), a całkowite \\(= 6\\cdot 16 = 96\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(512\\)** - to \\(a^3\\cdot\\) coś lub \\(8\\cdot 64\\).\n- **B. \\(384\\)** - to \\(6\\cdot 64\\), czyli \\(6V\\) - pomyłka.\n- **D. \\(16\\)** - to pole jednej ściany, nie całkowite.\n\n**Pamiętaj:** sześcian: \\(V=a^3\\), \\(P_c=6a^2\\). Mając jedno, wylicz krawędź i podstaw.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe<br>A. 512<br>B. 384<br>C. 96<br>D. 16<br>Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 512, B. 384, C. 96, D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wyznacza związki miarowe<br>w wielościanach; wykorzystuje związek<br>miedzy polem powierzchni całkowitej<br>sześcianu a jego objętością.<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(96\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - przez krawędź sześcianu</h4>\n<p>Sześcian ma wszystkie krawędzie równe. Oznaczmy krawędź sześcianu przez \\(a\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz krawędź z objętości.</strong></p>\n<p>\\[V = a^3 = 64\\]</p>\n<p>\\[a = \\sqrt[3]{64} = 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz pole powierzchni całkowitej.</strong></p>\n<p>Sześcian ma 6 jednakowych ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):</p>\n<p>\\[P_c = 6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez wzór na prostopadłościan</h4>\n<p>Sześcian to szczególny prostopadłościan, gdzie \\(a = b = c\\). Korzystamy ze wzoru ogólnego:</p>\n<p>\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2(a \\cdot a + a \\cdot a + a \\cdot a) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]</p>\n<p>Co daje ten sam wzór co w Sposobie 1. Przy \\(a = 4\\):</p>\n<p>\\[P_c = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:<br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]<br>Dla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do \\(P_c = 6a^2\\). Użyliśmy tego w obu sposobach.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - pierwiastek sześcienny:<br>\\[a = \\sqrt[3]{V}\\]<br>Użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia krawędzi z objętości.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(512\\) | Policzono \\(8^3 = 512\\), czyli sześcian z krawędzią \\(8\\) - pomylono \\(a^2\\) z \\(a^3\\) przy wyznaczaniu krawędzi (wzięto \\(\\sqrt{64}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{64}\\)) |<br>| B - \\(384\\) | Wzięto \\(a = 4\\), ale policzono \\(6 \\cdot 4^3 = 384\\) zamiast \\(6 \\cdot 4^2\\) - pomylono potęgę przy obliczaniu pola ściany |<br>| D - \\(16\\) | Policzono samo \\(a^2 = 16\\) - wyznaczono pole jednej ściany zamiast wszystkich 6 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To pierwiastek <strong>sześcienny</strong>, nie kwadratowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole powierzchni całkowitej to <strong>6 ścian</strong>, nie 1 ani 4. Łatwo zapomnieć pomnożyć przez 6 i wybrać odpowiedź D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu pola ściany używamy \\(a^2\\), a przy objętości \\(a^3\\) - nie wstawiaj objętości bezpośrednio do wzoru na pole!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi i pola</h5>\n<p>\\(V = a^3 = 64 \\implies a = \\sqrt[3]{64} = 4\\).<br>Pole powierzchni całkowitej sześcianu: \\(P_c = 6a^2\\).<br>\\[P_c = 6\\cdot 4^2 = 6\\cdot 16 = 96.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór łączący objętość i pole</h5>\n<p>Sześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian. Mając \\(a^3 = 64\\), \\(a = 4\\), więc pole jednej ściany \\(= a^2 = 16\\), a całkowite \\(= 6\\cdot 16 = 96\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(512\\)</strong> - to \\(a^3\\cdot\\) coś lub \\(8\\cdot 64\\).</li><li><strong>B. \\(384\\)</strong> - to \\(6\\cdot 64\\), czyli \\(6V\\) - pomyłka.</li><li><strong>D. \\(16\\)</strong> - to pole jednej ściany, nie całkowite.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> sześcian: \\(V=a^3\\), \\(P_c=6a^2\\). Mając jedno, wylicz krawędź i podstaw.</p>"}]}